CHAPITRE XI

170. Forces élastiques. — Lorsque les molécules sont écartées des positions d'équilibre stable qu'elles ont acquises pendant la cristallisation, il se développe entre elles des forces, dites forces élastiques, qui tendent à les y ramener, et qui sont proportionnelles à la déformation tant que celle-ci reste petite.

Ces forces élastiques ' peuvent être considérées comme des pressions rapportées à Tunité de surface. En effet, supposons mené un plan quelconque dans l'intérieur du cristal, supprimons par la pensée les molécules qui se trouvent d'un côté de ce plan, l'équilibre du reste du milieu ne pourra subsister en général que si nous appliquons aux divers points de ce plan des forces convenables équivalentes aux forces élastiques supprimées. Sur un élément plan b>, assez petit pour que ces forces soient sensiblement les mêmes en chacun de ses points, leur résultante sera proportionnelle à w, et pourra s'écrire Fw. F sera la force qui agirait sur l'unité de surface du plan dont ca fait partie, si en

* Pour la définition de la force élastique, voyez Saint-Venant, C. R, 1846, XXI, 24.

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tous les points de ce plan les conditions restaient les mêmes que sur (ù. La force élastique Fo est en général oblique sur o. L'étude de^ces forces élastiques et des déformations correspondantes est inséparable d'une théorie mathématique dont l'étude serait très en dehors du cadre que nous nous sommes tracé. Aussi nous contenterons-nous de donner quelques indications générales ' .

171. Composantes de la force élastique. — Considérons * trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, et trois éléments plans (ùxj a>y9 ci>s9 perpendiculaires respectivement à ces axes. Sur Funité de surface de rélément u^ agit une force élastique quelconque, que nous pouvons décomposer en trois composantes X^ , Y«7 ^9} parallèles, la première à l'axe OX, la seconde à l'axe OY, et la troisième à l'axe OZ.

L'élément Uy donnera de même trois composantes Xy, Yy, Zy, et l'élément to, les trois composantes X,, Y,, Z,.

On démontre que, dans le cristal en équilibre :

P La composante Y^ qui agit sur oj^ parallèlement à OY est égale à la composante Xy qui agit sur coy parallèlement à OX. On a donc Xy = Y-^, et de même Z, = X,; Y, = Z^. Il ne reste que six composantes distinctes.

2^ Si l'on désigne par X„, Y„, Z„ les composantes suivant les axes de la force élastique F, qui agit sur l'unité de surface d'un plan a>„ dont la normale forme les angles «, ^, y avec les axes, on a

X^4 = Xa; COS a + Xy COS j3 + X, ces y Yn = Y^ COS a -f Yy COS |3 + Y<, COS y Z„ = Z^ COS a -f* Zy COS |3 + Z, COS y

* On trouvera plus de détails dans le traité récent de M. T. Liebiscu, Physikàlische Krystaîlographie, Leipzig 1891.

* Cadchy, Bull. Soc. philom. 1828, 9; Exerc. de Mathéni. 1827, II; (Euvrea, 2* série, VII, 60.

La force F est donc complètement déterminée en grandeur et en direction, si l'on connaît les six composantes

•^«j Yy, Z;j, Xy := Y35, Yj, = Z^, Z, = X,.

3^ Si l'on porte sur la direction de F une longueur égale à cette force, le point ainsi déterminé, lorsqu'on donne à tan toutes les orientations possibles, décrit un ellipsoïde, dit ellipsoïde d'élasticité'. La forme et la position de cet ellipsoïde dépendent à la fois de la nature du cristal et des forces qui le déforment.

172. Relations générales entre les composantes X^... Xy... et la déformation. — La déformation du cristal est déterminée par les dilatations x^y y^, ^. qu'il a éprouvées par unité de longueur parallèlement aux axes OX, OY, OZ, et par les variations //„ z^., Xy des dièdres qui ont respectivement ces axes pour arêtes. Si les déformations sont très petites, on peut considérer les six composantes X<p, Xy... comme proportionnelles aux déformations, et les représenter par des fonctions linéaires' :

— V, = c^^x, 4- r^./y, + c,,^, + c,,?/, + c,z^ -f c,,Xy

- Z, = 6'.,.r, -r- c^jfy + r,.^, -f c. JA + c,,^^ + c,,Xy

- V, = r^^x,, -i- c,,!/y + c\^z, + c,j/, + c,.z^ + c.^Xy

— Z^ = c,,.r^ + c.,.f/y + c.,^, + c,!/, + c,,^^ -f c,,rCy

— X, = r..,.r^ -f c,,?/y + r,..j, + r,,//, + r,,-2r^ + c,,.ry

où les M) coefficients r,,... c,, dépendent de la nature du cristal et des axes de coordonnées choisis.

(Trceii * a démontré de plus que le principe de la conservation

' L.vMK ot (.'LArEYKON, Méw . Sdc. étravg. 1.S3H, IV, 402.

* R. IldOKE, De 2)otenfi<i restitutiva, Londres HîTS, a le premier admis que la fnrc*^' <''lastiqno o>t ]n-oi)ortionnelle à la déformation. Voyez sur rétablissemont do ces formules, Lamiî, llirorie de l'EJasHcifé, 2"" éd., Paris 18G6, 35.

* G. Green, Canihr. Phil Tram. 1S39, VII, 4.

de l'énergie exige que l'on ait généralement c^j^ = Cju^, ce qui réduit à 21 le nombre des coefficients d'élasticité réellement distincts.

173. Influence de la symétrie cristalline ' . — Dans le cas le plus général d'un cristal triclinique, l'élasticité peut donc dépendre de 21 coefficients. Mais ce nombre se réduira à mesure que la symétrie deviendra plus grande, à condition de choisir convenablement dans chaque cas les axes de coordonnées.

Il est clair, par exemple, que si l'axe des Z est un axe de symétrie quaternaire, les deux axes des X et des Y doivent avoir identiquement les mêmes propriétés ; une déformation x^ paraUèle à l'axe OX doit donner naissance à une composante X^ égale à la composante Y^ produite suivant Taxe OY par une déformation py égale en grandeur à Xg. Il faudra donc que l'on ait entre autres conditions c, , = c, , .

♦ 174. En appliquant systématiquement ce mode de réduction, on trouve que les 32 symétries cristallines (§ 103) se répartissent en neuf groupes, qui sont les suivants. On remarquera en particulier que les systèmes qui dérivent les uns des autres

' L'inflaence de la symétrie cristalline a été prise en considération d'une manière très incomplète par Cauchy, Exerc. de Math. 1H28, III ; Œuvres^ 2* série, VIII, 251 ; — Poisson, J. École polyt. 1831, cah. XX, 70; — F. Nec- JIA9K, Fogg, Ann. 1834,, XXXI, 177; — Gkeen, loc. cit.; — IIauohton, Trans, Irish Acad. 1848, XXI, 181 ; — plus complètement par Saint- Venant, J. de LtouvUle, 1856,1, 105: — Kirchhoff, Mechantk^ Leipzig 1877, 389; — F. Neu- MASiN dans ses cours de 1873-74, voyez Vorlesungen ûber die Théorie der Elastictitfi, Leipzig 1885; — W. Voiot, Wied. Ann. 1882, XVI, 275; — Aron, ibid. 1883, XX, 272; — Mallard, Cristallographie, Paris 1884, II, 19. — L'étude complète de cette influence et la distribution des cristaux en neuf groupes sont dues k M. Minnioerode, Gœtt. Nachr. 1884, 195, 374, 488. — Déjà en 1867, M. Sarrau avait introduit, dans le problème analogue de la propagation des vibrations lumineuses, les caractères de symétrie réels et complets des divers systèmes de Bravais, J. de Liouviile, 1867, XII, 1.

par la suppression du centre de symétrie rentrent dans on même groupe.

P^ groupe. L'hémiédrie et Tholoédrie du système triclinique^ caractérisées par Fabsence de plans et d'axes de symétrie. Les 21 coefficients d'élasticité subsistent sans réduction.

^® groupe. Les deux hémiédries et l'holoédrie du système clinorhombique : un plan ou un axe de symétrie binaire. Les coefficients c,,, c,,, c,,, c,,, c,., c,., c,., c,. sont nuls si l'axe de symétrie est pris pour axe des Y. Il reste seulement 13 coefficients.

5™« groupe. Les deux hémiédries et l'holoédrie du système rhombique : trois plans de symétrie, ou trois axes binaires, ou un axe et deux plans; outre les coefficients annulés au 2"« groupe, il disparaît encore c,,, c,,, c,, et c,., et il reste 9 coefficients.

^nie groupe. La tétartoédrie rhomboédrique et l'ogdoédrie du système hexagonal {n^^ 22 et 24 du § 103) : un axe de symétrie ternaire, pas de plans ni d'axes binaires. En prenant cet axe ternaire comme axe des Z, on doit avoir

'^îj ^^ ^11 î ^-. . ^^ ^tt 5 ^^fiK ^^ ^11 ^mÎ

^Ji ^^ ^\, ^ ^\ . = ^1« ^== ^*« ^^ ^3« = ^ î

et il reste 7 coefficients.

5™® groupe. L'hémiédrie rhomboédrique du système hexagonal, la tétartoédrie trapézoédrique et la tétartoédrie rhomboédrique hémimorphe (n^« 20, 21 et 23 du § 103) : un axe de symétrie ternaire et trois plans de symétrie ou trois axes binaires. En prenant OZ parallèle à l'axe ternaire, OX parallèle à un axe binaire, ou perpendiculaire à un plan de symétrie, la réduction des coefficients se fait comme au 4"*® groupe et de plus c, , = 0^ ce qui réduit leur nombre à 6.

6^^ groupe. LTioloédrie et les six méroédries non rhomboédriqaes du système hexagonal : an axe de symétrie sénaire, ou bien un axe ternaire normal à un plan de symétrie. Les coefficients sont les mêmes que dans le 5"« groupe, sauf que c,, =0, Il reste 5 coefficients.

7™« groupe, L'hémiédrie pyramidale et les deux tétartoédries du système quadratique (n®« 8, 10 et 12 du § 103) : un axe quaternaire ou binaire qui n'est parallèle à aucun plan de symétrie.

^1 » =^14 =^3 4 =^13 =^Î5 =^3i = ^«5 = ^16 =^ ^«6 = ^56 =0 ^ll^^^îjî ^iï^^^ïâî ^*4^^^55 5 ^16^^ ^1««

n reste 7 constantes.

S™« groupe. L'holoédrie quadratique et les hémiédries trapézoédrique, sphénoïdale et hémimorphe : un axe quaternaire ou binaire perpendiculaire à deux axes binaires, ou parallèle à deux plans de symétrie. Même réduction qu'au groupe 7, et de plus c,, = 0. D reste 6 constantes.

S™« groupe. L'holoédrie et les quatre méroédries du système cubique : quatre axes de symétrie ternaire, également inclinés sur les axes de coordonnées.

^11 ^^ ^tî ^^ ^33 î ^44 ^^ ^55 ^^^«6 î ^t 3 ^^ ^3 1 ~ ^1 t > ^14'*^Î4~^34~^1S~^35=^35~^45~^16~^I8~^36'^^»«^^56'^0.

n reste 3 coefficients.

Dans les corps isotropes, enfin, 2c,, =c,, — c,,, les propriétés élastiques ne peuvent pas dépendre de plus de deux constantes.

Les considérations de symétrie déterminent le nombre maximum de coefficients qui peuvent être distincts dans chaque ^oupe. Mais il se peut fort bien que, par suite de propriétés particulières des forces moléculaires, il existe des relations fixes qui réduisent le nombre de ces constantes. Si l'on suppose^

par exemple, que les forces qui agissent entre les molécules soient dirigées suivant les lignes qui joignent leurs centres, on trouve jque les 21 coefficients de Green se réduisent à 15 dans le système triclinique. Dans la même hypothèse, les deux coefficients des corps isotropes sont liés Tun à l'autre, de telle sorte qu'il n'y a qu'une seule constante à déterminer par Texpérience ' .

Les recherches récentes de M. Yoigt semblent indiquer que de telles réductions ne se produisent pas dans les corps cristallisés, et que, dans chaque groupe, le nombre des constantes distinctes est bien celui qui est nécessité par la symétrie seule et par la conservation de l'énergie.

175. Modules d'élasticité. — Les équations du § 172 peuvent être résolues par rapport à Xj.j Xy... et donnent des valeurs de même forme

et les autres analogues.

Les 36 coefficients s,,, ^n ••• ^«6 portent le nom de modules d'élasticité ; leur nombre se réduit comme celui des coefficients c,, ... Cç,, en tenant compte du principe de la conservation de l'énergie et des éléments de symétrie des divers systèmes cristallographiques. Ce sont ces modules qui sont directement accessibles à Texpérience.

176. Détermination expérimentale des modules d'élasticité ' . — Si Ton suppose le cristal soumis à une force

* Poisson, Mém. de rimtitut, 1842, XVIII, 3; — Saint-Vknaut, Mém, Sav, êtramj. 1850, XIV, 258; J. de lAouville, 1856, 1, 105. — Voyez, sur cette question et sur les controverses auxquelles elle a donné lieu, Todhuhter et Pbar- 80N, A llistory of the iheory of the ela^sticity, Cambridge 1886.

« F.-E. Neumann, Pogg. Ann. 1834, XXXI, 177; — W, Voiqt, ihid, 1876; Ergsbd. VII, 1, 177; Wicd. Ann. 1882, XVI, 273, 398, 416; 1886, XXIX, 604; Ahh. Gotthigen, 1887, XXXIV; — Saint- Vexant, C. R. 1878, LXXXVI, 781.

F par unité de surface, produisant une extension ou une compression dans une seule direction, déterminée par les cosinus a, ^y y des angles qu'elle forme avec les axes, rallongement de Tunité de longueur', que nous pouvons représenter par EF puisqu'il est proportionnel à la force F, pourra se déduire des relations ci-dessus et sera exprimé au moyen des modules d'élasticité et des cosinus a, /3, y. Cet allongement est d'ailleurs lié par une formule à la flexion qu'éprouve un barreau parallélipipédique, taillé dans le cristal de telle sorte que sa longueur ait la direction a, p, y, lorsqu'il est appuyé par ses deux extrémités et soumis en son milieu à l'action d'un poids.

On pourra exprimer de même l'angle de torsion d'un prisme parallélipipédique sous l'action d'une force donnée de moment N, au moyen de ces mêmes modules, des dimensions des arêtes de ce prisme et des angles que ces arêtes forment avec les axes.

En combinant convenablement des mesures de torsion et des mesures de flexion sur des prismes différemment orientés, on obtiendra dans chaque système cristallographique des équations en nombre égal à celui des modules, qu'il sera facile de résoudre par rapport à ceux-ci.