LU SUPPLEMENT

En nmlliplianl la proportion

par

A : B :: c : D, on aura

c'est-à-dire que les cubes de quatre quantités en propoT' non forment une nouvelle proportion, (Les deux articles suivants se rapportent au n^ 76.)

VI. On considère souvent des grandeurs décomposées en plusieurs parties, et Ton a besoin de les ajouter, de les soustraire, ou de les multiplier dans cet état, c'est-à-dire de déterminer comment les résultats de ces opérations sont formés avec les parties des grandeurs proposées: Voici quelques règles à ce sujet.

1°. Il est évident que si l'on veut ajouter la grandeur B — C avec la grandeur A , il faut écrire A -f- B — C, puisque ce n'est ni B ni C qu'on se propose d'ajouter avec A , mais seulement l'excès de B sur C :

D'ailleurs si l'on prend les droites MP, PN et QN pour représenter les grandeurs A , B et C , on verra que

PQ =:P1S — QN, MP -f- PQ = MP + PN — QN.

7?, Si de la grandeur A on voulait ôter la grandeur B — C , il faudrait écrire A -h C — B , ou , ce qui est la même chose , A — B -f- C.

En effet , la différence de deux grandeurs ne change pas lorsqu'on ajoute à chacune la même grandeur \ or si l'on ajoute C à B — C , il viendra B. En faisant la même addition à la grandeur A, on obtient A -f- C, et la sou-

AU TRAITK D AniTHMKTIQUi:. LJII

straction de B donne alors A -h C — R :

La figure ci-dessus confirme ce résultat 5 car si l'on prend les droites MN , PN , PQ pour les grandeurs A , B , C , on a

QN = PN — PQ , MN — QN =r MQ — MP -4- PQ ;

et puisque MP = MN — PjN , il viendra

MP -+- PQ = MN — PN -f- PQ,

résultat qui répond à A — B 4- C.

3*^. Le produit de la grandeur A par la grandeur B -♦- C est exprimé par A X B 4- A X C -, car il doit renfermer autant de fois le nombre A qu'il y a d'unités dans la somme des nombres B et C, et doit, par conséquent, être composé de A pris autant de fois qu'il y a d'unités dans B , plus de A pris autant de fois qu'il y a d'unités dans C , ce qui s'écrit A X B -f- A X C.

4*^. Le produit de A par B — C est exprimé par A X B — A X C ^ car si l'on représente B — C par D , on aura visiblement B = D -f- C , et , par conséquent , AxB = AxD-f-AxC ; on conclura de là que AxD = AxB — AxC, ce qui forme la proposition avancée ci-dessus, puisque D = B — C.

VIL 11 suit de ce qui précède, que le carré d'un nombre composé de deux pairies renferme le carré de la première y deux J'ois le pjvduit de /a première par la seconde, et le carré de la seconde. Le nombre i3 , par exemple , étant envisagé comme égal à 94-49 s^" carré 169 est composé

(lu carre de 9, ou 81

<le2fois9X4î **" 72

(lu carré dv 4i <>*' '^

Tolal i(m)

LIV SnPPLKMKM'

Pour prouver renoncé en général , il suffit d'observer que le produit de A par B -f- C étant AxB-|-AxC, si Ton fait A = B -I- C , les produits partiels A X B et A X C deviendront B X B 4- B X C , et B X C -h C X C ; en les réunissant, on obtiendra le résultat

BxB-f-BxC-f-BxC + CxC,

qui peut s'écrire ainsi ,

ce qui donne le carré de B -f- C , conforme à Ténoncé ci-dessus.

On trouve d'une manière semblable que le carré de Ui différence de deux grandeurs est composé du carré de la première, moins deux fois le produit de la première par la seconde , plus le carré de la seconde. Le nombre 9 étant égal à i3 — 4? par exemple, son carré 81 sera formé de 169 — 1 fois 4 X i3 -h 16, ce quMl est aisé de vérifier.

La démonstration générale de la proposition ci-dessus se forme en faisant A = B — C , dans le produit de A par la dîtïérence B — C; car ce produit étant exprimé par AxB — AxC, si l'on écrit d'abord B — C au lieu de A , dans les produits A X B et A X C , ils deviendront respectivement

BXB — BxCetBxC — CXC;

et pour retrancher le second du premier, il faudra, d'après Tarticle VI, écrire

BXB — BXC — BxC-hCxC,

ce qui revient à

rt donne le carré d<' B — C, conformément à l'énoncé *'i-dcssus.

AU TRAITÉ d'arithmétique. LV

Les notions précédentes suffisent pour entendre les propositions nécessaires de la Géométrie; car on peut, dans le n° 141 , se borner à la solution graphique, et passer les n°' 150, 156, 157, qui ne servent qu'à calculer le rapport de la circonférence au diamètre, qu'on peut obtenir facilement en Trigonométrie par les sinus et les tangentes des petits arcs.

[Les articles ci-dessous , qui concernent réévaluation des aires et des volumes j autrement, le toisé des surfaces et des solides , se rapportent à la fin de la première partie et à celle de la seconde, )

VIII. Le rapprochement des expressions, om formules d'après lesquelles se calculent les aires

du parallélogramme (n° 170),

du triangle (n'' 171),

du trapèze (n° 175),

du cercle (n*» 187),

enfin, do secteur circulaire (n® 189),

montre que la détermination de toutes ces aires ne dépend que d'un produit de deux facteurs, qu'on peut toujours regarder comme la base et la hauteur, c'est-à-dire les deux dimensions d'un rectangle équivalent à l'aire cherchée. Quand ces facteurs sout exprimés en mesures décimales, leur multiplication s'efl'ectue à l'ordinaire; mais la dénomination des unités du résultat demande quelques attentions.

Soit pour exem*|)le un rectangle de 49"*^ 5 4 de base sur 1 5"*, 2 7 de hauteur ; en multipliant ces deux nombres, on trouve 756,4758. L'unité de ce nombre est le carré ayant un mètre de côté, qu'on nomme aussi le mètre carré ^ les fractions décimales eu sont toujours la dixième, la centième, la millième, etc., partie. La mesure ci-dessu* pourrait donc s'énoncer ainsi :. 756 mètres carrés et 4758 dix-millièmes de mètre carré ^ mais plus ordinai-

LVI SUPPLKMKNT

remcnl on fait correspondre les subdivisions du mèlre carré avec celle du mètre linéaire, et alors on doit observer que :

Le mètre carré contient loo carrés d'un décimètre de côté , ou cent décimètres carrés ;

Le décimètre carré contient lOO carrés d'un centimètre de côté, ou loo centimètres carrés^ et ainsi de suite.

C'est donc les centièmes du mètre carré qui expriment les décimètres carrés, les dix-millièmes qui expriment les centimètres carrés, les millionièmes qui expriment les millimètres carrés. D'après cela, le nombre 756,4758 s'énonce

^56 mètres carrés, 47 décimètres carrés, 58 centimètres carrés.

On juge par là qu'il n'est pas permis de confondre, le lo*' du mètre carré avec le décimètre carré. La première de ces subdivisions ne saurait se représenter par un carré dont les dimensions soient des nombres exacts, puisque l'unité n'en contient que lo, et que lo n'est pas un carré parfait.

On peut rapporter commodément le lo*' du mètre carré à un rectangle de i mètre de base sur i décimètre de hauteur 5 et il en est de même des fractions décimales qui suivent et qui désignent isolément des rectangles de I mètre de base sur 1 centimètre, i millimètre, etc., de hauteur.

Ce n'est qu'en séparant les chiffres de» deux en deux, à partir de la virgule, qu'on peut énoncer le nombre en mesures carrées.

Quand les chiffres décimaux sont en nombre impair, il faut écrire un zéro à la droite, pour que le dernier ordre de décimales soit rapporté à des mesures carrées.

Le rectangle ayant 27 mètres de base sur 4"\3 de hauteur par exemple, a pour mesure en mètres carrés, 1 16,1 .

AU TRAITÉ I) ARITHMÉTIQUE. Î.VIl

En mettant un zéro à la droite de ce nombre, il devient 1 1 6, lo, et s'énonce ii6 mètres carrés et lo décimètres carrés.

Ce que je viens de dire s'applique également aux divers ordres d'unités placés à la gauche de la virgule 5 et en observant que Vare, étant un carré de 10 mètres de côté, renferme 100 mètres carrés , que l'hectare renferme 100 ares, le nombre 37549 mètres carrés, par exemple, se décompose en 3 hectares, jS ares et 49 mètres carrés, ou centiares.

Il est à propos de fixer le sens de plusieurs expressions que l'on confond quelquefois. Que l'on dise un mètre carré ou un mètre en carré, cela revient au même, puisqu'il ne peut être question, dans les deux cas, que d'un carré ayant un mètre de côté ; mais il faut soigneusement distinguer les espaces de 10 mètres carrés ^ et de 10 mètres en carré, par exemple : car l'un indique une aire équivalente à 10 carrés d'un mètre de côté, et l'autre un seul carré ayant 10 mètres de côté, et comprenant, par conséquent, ioo mètres carrés.

L'usage des mesures décimales simplifie considérablement les calculs'du toisé. Avec les anciennes mesures, le premier moyen qui se présente est de convertir chacun des facteurs, dans les subdivisions de la plus petite espèce qui soit contenue dans les deux,. afin que le résultat soit exprimé en mesures carrées ayant cette subdivision pour côté. S'il y a, par exemple, des lignes dans l'un des facteurs, il faut les réduire tous deux en lignes^ le produit sera des lignes carrées. Pour remonter à des mesures plus grandes , on observera que

Le pouce carre vaut 12X12, on i44 lignes carrées; Le pied carre 12X12, ou 1 44 pouces carrés ;

La toise carrée 6 X 6 . ou 36 pieds carrés ;

et en clivisant successivement par ces nombres, on tra-

LVUl SUPPLÉMENT

duira le résultat eu toises carrées , pieds et pouces

carrés.

On se servait peu de ce moyen , parce qu'il conduit à opérer sur de trop grands nombres \ mais ou faisait usage du procédé qui sert à effectuer la multiplication des nombres complexes. Que les deux dimensions à multiplier, soient , par exemple ,

4gi5pi^po et 32*4***5p".

Si l'on choisit le premier pour multiplicande, on concevra d'abord un rectangle ayant 49^5^*7^" de base sur l'de hauteur, et qui sera, par conséquent, à celui dont ou cherche la mesure comme i' : 82^4^* 5^° (166). Il sera < permis , en conséquence , de regarder le multiplicateur 32*4^' 5p° comme un nombre abstrait : or un rectangle de 49'5p'7P^ de base sur 1*^ de hauteur se décompose dans les suivants :

1^. Un rectangle de 49 toises de base sur i toise ck hauteur, et contenant 49 toises carrées.

2°. Cinq rectangles ayant chacun i pied de base sur i UMse de hauteur. Ces rectangles se nomment toise^-pieds i il est visible qu'il en faut 6 pour former fe toise carrée.

3**. Sept rectangles de i pouce de base sur i toise de hauteur. Ces rectangles se nomment toises-pouces^ il en faut évidemment 12 pour former la toise-pied.

En continuant de même on arriverait , s'il y avait lieu, aux toises-lignes^ toises-points , qui auraient entre elles et avec la toise carrée les mêmes rapports que les subdi* visions linéaires qui leur servent de base. Les abréviations de ces mesures, en commençant parla toise carrée^ sont

t,t., t. pi., t.jjo., t,/., t.pt.

Cela posé, l'emploi des parties aliquotes, conformément aux règles exposées à la fin du Traité èlcinèntaire