OBSERVATION

Dans la forme de raisonnement adoptée pour Texpositîon,des Eléments de Géométrie :

Un axiome est une vérité évidente par elle-même ;

Un théorème y une proposition à démontrer;

Un corollaire^ une conséquence d'une proposition déjà démontrée ^

Un problème y une question à résoudre.

Une proposition qui ne sert que de préparation à une autre se nomme aussi lemme^

Et l'on donne aux remarques le nom de scolies.

11 est à propos d'observer qu'un théorème renferme deux parties, savoir : Vhjpothèse, et la conclusion^ qui en est la conséquence. Il n'est pas toujours possible de renverser renoncé : c'est-à-dire qu'en prenant la conclusion pour hypothèse, on n'a pas toujours pour conclusion nécessaire l'hypothèse primitive-, et cela , parce que la conclusion primitive convient quelquefois à un plus grand nombre de cas que l'hypothèse. De là vient la nécessité de démontrer les propositions inverses , lorsqu'on veut en faire usage.

UTotions sënërales «ur retendue.

1. L'espace que les corps occupent a trois dimeusioiis, que ron désigne par les noms de longueuVy largeur et profondeur ou épaisseur.

Un corps ne saurait être privé de l'une de ces dimensions sans cesser d'exister^ les limites qui le terminent, sans lesquelles il ne peut être conçu, et qui n'ont point d'épaisseur, sont des surfaces.

Quand un corps présente plusieurs faces , chacune a , dans le lieu où elle se joint à une autre , ses limites , qui n^ont ni épaisseur ni largeur, et qu'on nomme lignes.

Enfin , ces dernières ont elles-mêmes , aux endroits où elles se rencontrent , leurs limites ou leurs extrémités , qui n'ont ni épaisseur, ui largeur, ni longueur, et qui s'appellent points.

L'existence de ces diverses espèces de limites ne peut être révoquée en doute, puisque ce n'est que par leur moyen que nous jugeons de la figure des corps. Nous les considérons, par la pensée, chacune en particulier, en faisant abstraction d'une ou de deux des dimensions du corps, qui d'ailleurs ne sauraient être anéanties; car, comme nous ne pouvons que modifier les formes de la matière , nos opérations s'effectuent toujours sur des corps,

CiOM^TEIE, i6* édit. I

et jamais sur des surfaces, des lignes ou des points; mais leur résultai s'éloigne d'autant moins de celui du raisonnement , que nous apportons plus de soin à diminuer les dimensions étrangères à celles de la limite que nous avons considérée sur le corps. Parle raisonnement, nous atteignons cette limite \ par le calcul , nous pouvons en approcher indéfinimcni, tandis que l'exactitude des opérations mécaniques trouve ses bornes dans l'imperfection inévitable des instruments.

2. Parmi les lignes, celle qui s'offre la première est la ligne droite, dont on donne une idée nette dès qu'on énonce que c'est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre.

Dans cette idée se trouve aussi comprise la possibilité de prolonger la ligne droite indéfiniment au delà de chacun des termes qu'on lui a d'abord assignés, et l'impossibilité de le faire de plusieurs manières.

Il est évident qu'il n'y a qu'une seule ligne droite : toute ligne qui n'est pas droite, ou composée de plusieurs lignes droites, est courbe^ et l'on sent qu'il doit y avoir un nombre infini de lignes courbes.

Parmi les différentes surfaces qui terminent les corps, on remarque d'abord le plan ou la surface plane, qui diffère de toute autre en ce qu'on peut y appliquer exactement ou y tracer une ligne droite dans tous les sens-, il ne peut y avoir qu'une seule espèce de plan.

Toute surface qui n'est pas plane ou composée de plusieurs plans est courbe , et le nombre des surfaces courbes est infini.

J'exposerai successivement les propriétés les plus remarquables des lignes, des surfaces et des corps, en me bornant à celles qu'il est indispensablement nécessaire de connaître pour étudier avec fruit les diverses branches des Mathématiques pures et appliquées.