FD = 3GB

En remontant de la valeur de FD à celle de EB , de celle-ci a celle de CD, et de cette dernière à celle de AB , on trouvera successivement

FD=3GB, EB = 4GB, CD^igGB, AB = 6iGB;

d'où Ton voit que le dernier reste GB est la commune mesure des droites AB et CD ] et puisqu'il est 6i fois dans la première et 19 fois dans la seconde, il s'ensuit que ces droites sont entre elles dans le rapport de 61 à 19.

Rien ne doit être plus facile maintenant que d'appliquer ce procédé à tout autre exemple. La comparaison des restes successifs doit être poussée jusqu'à ce qu'on en trouve un qui soit contenu im nombre exact de fois dans celui qui le précède, ou qui soit tel, que le reste qu'il pourrait laisser dans cette opération échappe aux sens par sa petitesse* C'est ainsi qu'on parviendra toujours à un résultat au moins approché.

6. Il est évident qu'une droite n'en peut rencontrer une autre qu'en un seul point (3).

7. L'espace indéfini BAC (fig' 4) compris entre deux droites qui se coupent en un point A , et que l'on peut concevoir prolongées autant qu'on le voudra , se nomme angle. Quoique cet espace ne soit pas fermé du côté BC, il est néanmoins bien distingué du reste du plan par les limites AB et AC Deux angles peuvent différer entre eux

•^ à cet égard-, la droite AD, par exemple, fait évidemment

G liLKMtNTS

avec AB un angle plus grand que celui que font entre elles les droites AB et AC.

On désigne ordinairement un angle par trois lettres, en mettant au milieu celle qui occupe le point où les deux lignes se coupent , point qu on nomme le sommet de l'angle. L'angle formé par les droites AB et AC est Tangle BAC. Quand il n'y a qu'un seul angle dans un point, comme en a par exemple , on peut ne mettre que la lettre du sommet, et dire l'angle a,

8. Deux angles sont égaux lorsqu'étant posés l'un sur l'autre, ils se recouvrent parfaitement. L'angle bac sera égal à l'angle BAC si , la droite ab étant posée sur AB de manière que le point a soit sur le point A , l'autre droite oc tombe sur AC. Il n'est pas nécessaire, pour que l'égalité ait lieu, que les longueurs des lignes AB et ab^ AC et ac soient respectivement égales^ car on sent parfaitement que si , dans les portions Kb' et Ac' de leurs longueurs , les droites AB et AC se confondent avec les droites ab et ac , il en sera de même dans tout le reste , lorsqu'on prolongera celles-ci d'une quantité suffisante (2).

9. La position respective de deux droites dépend de l'angle qu'elles font entre elles, Parmi toutes les situations qu'une droite peut avoir à l'égard d'une autre qu'elle rencontre, la plus remarquable est la situation y^e/pe/zdiculaire. C'est par ce mot que l'on désigne le cas où une droite AC {fig> 5), tombant sur une autre AB, fait avec cette dernière , prolongée en deçà du point A , en AD, deux angles BAC et DAC égaux entre eux, c'est-à-dire qu'alors, si l'on plie la figure le long de la ligne AC, la portion AB de la droite BD doit se coucher sur l'autre portion AD.

11 est évident que , dans ce cas , la droite AC ne penche ni vers D ni vers B.

Les angles BAC et CAD sont nommés angles droits, *

DE GÉOMlÔTRir:. n

Tout angle moindre qu'un droit se nomme angle aigu. L'angle BAE est un angle aigu.

Tout angle plus grand qu'un droit se nomme angle obtus. L'angle BAF est un angle obtus.

Il est visible qu'un angle droit doit en couvrir un autre ; que l'angle droit A'B'D' {fig- 6), par exemple, étant placé sur l'angle droit ABD, doit le couvrir exactement. En effet, si l'on prend AB = A'B', et qu'on porte ensuite la figure A'C'D' sur ACD, en faisant coïncider les points A' et B' avec les points Aet B, les droites AC et A'C se couvriront parfaitement, puisqu'on n'en peut mener qu'une seule entre deux points donnés 5 et si la ligne B'D' ne tombait pas alors sur BD, mais prenait une position Bc?, les angles A'B'D', D'B'C, représentés par ABr/, rfBC, ne seraient pas égaux et ne seraient , par conséquent , pas droits.

10. On voit, à l'inspection seule de \di Jig. 5, que la somme de tous les angles BAE, EAC , CAF, FAD, qu'on peut faire du même côté d'une droite et autour d'un de ses points pris pour sommet, équivaut toujours à deux droits , en quelque nombre que soient ces angles.

H. Lorsqu'une droite AE tombe sur une autre droite DB prolongée de chaque côté du point de rencontre A , elle fait avec cette autre deux angles EAB et EAD, qui , réunis ensemble, valent deux droits.

Deux droites BD et EF [fig^ 7) qui se coupent, étant prolongées au delà de leur point de rencontre A , forment autour de ce point quatre angles qui sont opposés par le sommet deux à deux, savoir : EAB à FAD, EAD à FAB.

THÉORÈME

12. Les angles opposés par le sommet que Jonnenf deux droites en se coupant, sont égaux.

Démonstration, — En effet, il résulUî du numéro pré-

8 ÉLÉMEiMS

cèdent, que la somme des angles BAE et DAE, placés du même côté de la droite DB, est égale à deux droits, et que celle des angles DAE et DAE, placés du même côté de la droite EF, est aussi égale à deux droits; ainsi, les angles BAE et DAE réunis équivalent aux angles DAE et DAF réunis. Retranchant de part et d'autre l'angle commun DAE, il restera Tangle BAE égal à l'angle DAF, qui lui est opposé par le sommet.

On démontrerait de même que l'angle DAE est égal à BAF.

13. Corollaire, — 11 suit de la proposition précédente , que' si l'on continue au-dessous de AB (fig> 8) la droite AC, qui fait avec DB deux angles droits, CAB et CAD, son prolongement AE fera encore , de l'autre côté de AB, deux angles droits, BAE et DAE, puisque ces angles, étant opposés par le sommet aux angles CAD et CAB, qui sont supposés droits, seront eux-mêmes droits (9).

Il résulte encore de là que CE étant perpendiculaire sur DB, DB. l'est aussi sur CE.

Si maintenant on mène par le point A tant de droites FG, HI, etc., qu'on voudra, il est visible que la somme de tous les angles BAF, FAC, CAH, HAD, DAG, GAE, EAI, lAB, que ces droites feront entre elles, ne composera jamais que quatre angles droits.

14. On ne peut enfermer un espace par un nombre de droites moindre que trois. Cet espace se nomme triangle. Les lignes qui le terminent se coupent deux à deux, et forment trois angles : ABC {fig' 9) est un triangle dont les côtés sont AB^ AC , BC , et les trois angles sont A , B, C.

Les premières propriétés du triangle servent de base à tout ce qui regarde la situation respective des droites : il faut donc les faire connaître avant d'aller plus loin.

15. Remarques. — Puisque la ligne droite AB est le plus court chemin pour aller du point A au point B, il

s'ensuit que la somme des deux autres côtés AC et BC du triangle ABC surpasse AB, et l'on verra de même que la somme de deux côtés quelconques d'un triangle surpasse toujours le troisième.

Mais si l'on prend dans l'intérieur d'un triangle ABC un point quelconque E , et qu'on tire les droites AE et EB, la somme de ces droites sera moindre que celle des droites AC et BC qui les enveloppent. En effet , si l'on tire par le point E une droite GF qui coupe en même temps les deux droites AC et BC , on aura

GF<GC-hCF;

d'où il suit que le contour AGFB sera moindre que la somme des droites AC et CB. Par la même raison,

AE < AG H- GE, EB < EF -4- FB; donc

AE 4- EB < AG 4- GE -H EF -h FB,

ou plus petit que le contour AGFB, et, par conséquent, à plus forte raison , plus petit que la somme des droites AC et BC.

On distingue six choses dans un triangle, savoir : trois angles et trois côtés. Il y a entre ces six choses des relations nécessaires qui sont contenues dans les propositions suivantes.

THÉORÈME

16^ Lorsque deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun, ces triangles sont égaux dans toutes leurs parties.

Si l'angle C du triangle ABC {Jig. lo) est égal à l'angle C du triangle A'B'C, et que les côtés AC et BC, qui comprennent le premier de ces angles , soient respectivement égaux aux côtés A'C et B'C, qui comprennent le second , le triangle ABC sera égal au triangle A'B'C dans toutes ses autres parties 5 c'est-à-dire que l'angle A sera égal à

Tangle A', Tangle B à Tangle B', et le côté AB au côté A^B^

Démonstration, — Si l'on porte le triangle A'C'B' sur le triangle ACB , de manière que le côté h!Q/ tombe sur AC , en mettant le point C sur le point C , le point A' se trouvera sur le point A, puisque A'C' = AC; déplus, les angles ACB et A'C'B', étant égaux par Thypothèse, se couvriront exactement, et le côté CB' tombera, par conséquent, sur le côté CB; enfin, le point B' tombera sur le point B, puisque C'B' = CB. La droite A'B', ayant ses deux extrémités sur celles de la droite AB , se confondra avec elle : le triangle A'B'C couvrira donc exactement le triangle ACB, et lui sera parfaitement égal.

Il est important de remarquer que les côtés égaux, ou ceux qui se confondent lorsque les deux figures sont posées l'une sur l'autre , se trouvent opposés à des angles égaux dans chacun des triangles^ ainsi A'B', qui se confond avec AB, est opposé à l'angle C égal à l'angle C. Il en est de même dans les propositions suivantes.

17. Corollaire. — Un triangle est entièrement déterminé par l'un de ses angles et les deux côtés qui le comprennent, puisque, quand deux triangles sont égaux dans ces parties, ils le sont dans toutes les autres. On peut encore se convaincre de cette vérité, en observant que lorsque l'angle C est donné, la situation respective des côtés AC et CB l'est aussi ; et si l'on a de plus leur longueur, qui fixe les points A et B, on ne peut joindre ces points que par la seule droite AB, et Ton n'obtient ainsi qu'un seul triangle ABC.

THÉORÈME

18. Lorsque deux triangles ont, chaciui à chacun, un côté égal adjacent à deux angles égaux ^ ces triangles sont égaux dans toutes lews parties.

Si le côté AB du triangle ABC est égal au côté A'B'

du triangle A'B'C, et que les angles CAB et CBA du premier triangle soient respectivement égaux aux angles C'A'B' et C'B'A' du second, ces deux triangles seront égaux en tout.

Démonstration, — Pour reconnaître la vérité de cette proposition, il faut concevoir que le triangle A'B'C soit posé sur le triangle ABC , de manière que le côté A'B' soit placé sur son égal AB, savoir : le point A' sur le point A, et le point B' sur le point B. Il suit de l'égalité des a'ngles CAB et C'A'B', que le côté A'C doit tomber dans la direction du côté AC^ de même, les angles CBA et C'B'A' étant égaux , le côté C W tombera dans la direction de CB, et le point C, commun aux deux côtés C'A' et C'B', se trouvera, par conséquent, sur le point C, commun aux deux côtés CA et CB : les deux triangles se couvriront parfaitement, et seront donc égaux dans toutes leurs parties.

19. Siles côtés A'B' et BT/ du triangle A'B'C (fig. 1 1) sont respectivement égaux aux côtés AB et BC du triangle ABC, et que V angle B', compris entre les deux premiers, soit moindre que V angle B , compris entre les deux der* niersy le côté hlÇJ,^ opposé à Vangle B' dans le triangle A'B'C, sera moindre que le côté AC , opposé à Vangle B dans le triangle ABC.

Démonstration. — En eflet, lorsqu'on place le triangle A'B'C sur le triangle ABC, en posant A'B' sur AB, le point G ne peut prendre que les troîs positions représentées en C" dans les n^' i, 2 et 3 de la figure.

Par la première, dans laquelle il tombe sur le côté AC, il çnt évident que AC", qui représente A'C, est moindre queAC.

Par la seconde, qui suppose le point C" au dedans du

12 KLKMKINTS

triangle ABC, ou aurait (15)

AC"-I-BC"< AC + BC; (l'où il résulterait eneore

AC ou A'C'<AC,

puisque BC", qui représente B'C, est égal à BC par Thypo thèse.

Enfin, dans la troisième position, le point C étant extérieur au triangle ABC, on aurait

AC " < OC " -h OA , BC < OB 4- OC ; d'où Ton conclurait

AC" -h BC < OC" 4- OA H- OB 4- OC, ce qui revient d'alx^rd à