AC" + BC<AC4-BC

puisque OC" 4- OB = BC, OA 4- OC = AC ; et retrauchant ensuite, de part et d'autre, les lignes égales BC et BC, il resterait toujours ^

AC" ou A'C'<AC.

20. Corollaire. — 11 suit de là que deux triangles sont égaux dans toutes leurs parties, quand les trois côtés de l'un sont égaux aux trois côtés de l'autre; car si les côtés AB, AC, BC du triangle ABC (Jig' lo) sont respectivement égaux aux côtés A'B', A'C et B'C du triangle xVB'C, l'angle compris entre deux côtés quelconques du premier sera égal à l'angle compris entre les deux côtés égaux à ceux-ci dans le second. Si , par exemple, l'un des deux angles B et B' était moindre que l'autre, l'un des côtés AC et A'C serait aussi moindre que l'autre (numéro précédent), ce qui est contre l'hypothèse: donc les triangles ABC et A'B'C out en même temps leurs côtés et leurs angles égaux chacun à chacun, et sont, par conséquent, égaux en tout (16 ou 18).

DK GKOMÉTRIE. i3

PROBLÈME

21 . Les trois côtés d'un tnangle étant donnés séparément y décrire le triangle.

Solution. — Soient M, N, P (fig> la) les trois lignes données^ ayant pris la première, M, pour former le côté AB, on décrira du point A comme centre, et d'un rayon égal à la seconde, N, un cercle CDC; puis, du point B comme centre, et d'un rayon égal à la troisième, P, un autre cercle CEC. Leurs circonférences se couperont en deux points, C et C, situés l'un au-dessus de AB, et l'autre au-dessous. En joignant chacun de ces points avec les extrémités de la ligne AB, on formera deux triangles qui satisferont à la question, puisqu'ils auront leurs côtés respectivement égaux aux trois lignes données.

22. Remarques — Si Ton prenait trois lignes au hasard, il pourrait arriver que les circonférences des deux cercles décrits ne se rencontrassent pas. Cette circonstance aurait lieu, I® dans le cas où P -i- N serait moindre que M; en eflfet , il est visible , et on le prouvera d'ailleurs dans la suite , que deux cercles ne peuvent se couper qu'autant que la distance de leurs centres est moindre que la sonune de leurs rayons \ n^ dans le cas où l'un des cercles embrasserait l'autre, c'est-à-dire où l'on aurait

AD>AB-+-BF, ou N>M-f-P.

Ces deux cas sont compris dans la condition générale que la somme de deux côtés quelconques d'un triangle est toujours plus grande que le troisième, et qu'on peut simplifier en Fénonçant ainsi :

La somme des deux plus petits côtés dun triangle est toujours plus grande que le troisième.

En effet , la condition N -i- P >> M doit suffire lorsque N et P sont moindres que M, puisque, dans ce cas, les

l4 KI^^MENTS

conditions N -H iM > P et P -h M > N sont nécessairement remplies.

La solution du problème précédent , qui met en état de construire un triangle égal à un autre, en faisant usage des côtés de ce dernier, offre le moyen de faire un angle égal à un autre.

PROBLÈME

23. Par un point donné pris sur une ligne donnée y faire un angle qui soit égal à un angle donné.

Solution, — Soient [fig, i3) CAB l'angle donné, A'B' la droite sur laquelle on veut construire le nouvel angle qui doit avoir son sommet eu A'; je prends sur les côtés du premier, à partir du sommet , deux distances AB et AC, égales entre elles, et je joins par unedroite lespointsC etB, où elles se terminent. Portant ensuite AB de A' en B', je n'ai plus qu'à décrire sur A'B' un triangle dont les deux côtés A'C et B'C soient respectivement égaux i AC et à BC 5 ce qui se fait en marquant l'une des intersections C des circonférences des cercles décrits avec les rayons AC et BC, des points A' et B' comme centres (i). llrant A'C, l'angle C'A'B' sera égal à l'angle CAB, puisque les triangles CAB et C'A'B' sont égaux par construction (21).

PROBLÈME

24. Un triangle étant donné, en construire un autre qui lui soit égal, en employant à la construction de cet autre un angle du premier et les deux côtés qui le comr prennent»

Solution. — Si cet angle et ces côtés sont Fangle C et les droites AC et BC du triangle ABC (fig. lo) , on fera sur la droite A!C un angle C égal à C 5 puis on prendra

(1) Pour simplifier la figure^ on n''a point tracé les circonféraiiMt entières, comme dans la fig. 11 , mais seulement les portions voisines de rinlersection cherchée. On en usera toujours ainsi désormais.

DE GKOMÉTRIE. i5

$ur les côtés A'C et C'B', à partir du point C\ des distances égales à AC et à BC , qui détermineront les points A' et B'; joignant ces points par une droite , on formera le triangle A'C'B' égal au triangle ACB, par le n« 16.

PROBLÈME

25. Un triangle étant donné, en construire un autre qui lui soit égal, en employant à la construction de ce dernier un côté du premier et les deux angles adjacents.

Solution, — AB étant ce côté, A et B les angles adjacents , on prendra sur la droite A'B' une partie égale à AB, aux extrémités de laquelle on fera les angles A' et B', respectivement égaux aux angles A et B. Ayant ainsi la direction des droites A'C et B'C, en les prolongeant jusqu'à ce quelles se rencontrent en. C, on formera le triangle A'B'C égal au triangle ABC, par le n° 18.

Des lignes perpendiculaires et des obliques*

THÉORÈME

26. Les lignes AC et CB (fig. i4), qui partent d'un point quelconque Q de la droite CD, perpendiculaire sur AB, et qui s'écartent également du pied de cette perpendiculaire y c'est-à-dire du point D oii elles rencontrent la ligne AD, sont égales, et celles qui s* en écartent le plus sont les plus longues.

Démonstration, — Puisqu'on suppose que les distances AD et DB sont égales entre elles , que par la nature de la perpendiculaire, les angles CDA et CDB sont égaux (9) , et qu'enfin la ligne CD est commune aux deux triangles ACD et DCB, il s'ensuit que ces triangles ont un angle ^al compris entre des côtés égaux chacun à chacun , et sont, par conséquent, égaux (16). Donc BC = AC^ donc les lignes AC et BC , qui s'écartent également de la perpendiculaire CD, sont égales entre elles.

l6 KLKMKKTS

Si Ton tire par le poiul C la droite CE , qui s'écarte plus de CD que ne le fait CA , qu'on prolonge CD au-dessous de AB, d'une quantité CD = CD, et qu'on tire les droites

AC et CE, on aura (15)

CE + C'E>CA-hC'A.

Mais les triangles CAD et CAD seront égaux, en vertu

du n° 16, puisque les angles ADC et ADC sont égaux (13),

que les côtés CD et CD sont égaux par construction, et

que le côté AD est commun à ces deux triangles -, on aura

donc