AF = BF

DK GltlOMÉTRIK. ' 1-7

3**. Qu'un point quelconque G pris hors de la perpendiculaire 68t inégalement éloigné des points A et B; car on a

BG < BF 4- FG, d'où

BG<AG, puisque

BF=AF et AG = AF-hFG;

4*^. Enfin, que d'un point à une droite on ne saurait tirer trois droites égales.

PROBLÈME

29. Menen sur la ligne AB (fig. i5) une perpendiculaire qui la partage en deux parties égales.

Solution, — Des points A et B, pris successivement pour centre , et avec une ouverture de compas plus grande que la moitié de AB, on décrira deux arcs de cercle, CE et CF, qui se couperont en un point C. On fera la même chose au-dessous de AB; et joignant les points C et C, la droite CC sera la perpendiculaire demandée. En effet, les triangles CBC et CAC sont égaux, comme ayant tous leurs côtés égaux chacun à chacun (20), puisque AC = BC, AC'= BC, et que CC est commun aux deux triangles : les angles ACD et DCB sont donc égaux entre eux. Les côtés AC et CD, CB et CD qui les comprennent, dans les triangles ACD et DCB, étant respectivement égaux , ces derniers triangles sont égaux par le n? 16 : donc l'angle ADC est égal à l'angle BDC, et, par conséquent, droit-, et de plus, à cause de AD = BD, le point D est le milieu de AB.

PROBLÈME

30. Par un point donné D ( fig. 1 6 ) , sur une droite AB, élever une perpendiculaire à cette droite.

Solution. — De part et d'autre du point D de la ligne

l8 KJ.KMKMS

AB, par It^quel ou veut élever la perpeudiculaire , on prendra des distances égales, AD et BD; et des points A et B, avec des rayons égaux, on décrira les deux arcs de cercle CE et CF, qui se couperont au point C : ce point étant joint avec le point D, la ligne CD sera perpendiculaire sur AB. En efTet , les droites AC et CB étant égales, ainsi que les parties AD et BD, les triangles ACD et BCD, ayant en outre un côté commun, CD, sont égaux, et, par conséquent, aussi les angles ADC, BDC.

31. Par un point donné C (fig. 17), pris hors (Tune droite AB, abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Solution . — Du point C comme centre , et d'un rayon pris à volonté, mais cependant plus grand que la plus courte distance du point C à la droite AB, on décrira un arc de cercle qui coupera AB aux points A et B ; on prendra ensuite ces points pour centres, et avec le même rayon on décrira deux arcs de cercles qui, se coupant en C, détermineront un second point de la perpendiculaire demandée CC. En effet, les points A et B étant, par construction , également éloignés du point C , et également éloignés du point C, on prouvera, comme dans le nP 29, que les angles ADC et BDC sont droits.

THÉORÈME

32. D'un point C, pris hors d'une droite AB, on ne peut abaisser sur cette droite quune seule perpendiculaire CD.

Démonstration, — Les obliques AC et BC déterminées dans le problème précédent , étant égales, doivent s'écarter également de la perpendiculaire (27), qui ne peut passer, par conséquent, que par le point D, milieu de l'intervalle AB5 or, par les points C et D, on ne saurait mener que la seule droite CD, et toutes les obliques qui seront

égales deux à deux, quelle que soit d'ailleurs leur longueur, ne pourront rencontrer AB qu'à des distances égales du point D. En effet, si cela n'était pas pour les obliques CE et CF par exemple , et que DF > DE , on pourrait prendre DF' = DE , et tirer CF', qui serait égale à CE ] il se trouverait alors du même côté de la perpendiculaire CD deux obliques égales, ce qui est impossible (27) : donc Tai'c de cercle que l'on décrirait du rayon CE rencontrerait AB en F', et, par conséquent, la perpendiculaire CD est unique.

Quand le point d'où Ton doit mener la perpendîculaiie est pris sur la ligne proposée, le théorème est évident (9) .

33. I*' corollaire. — U suit de là que deux droites DE et FG, perpendiculaires à une même droite A B (Jîg. 1 8) ne se rencontrent point, quelque prolongées qu'on les -suppose, soit au-dessus, soit au-dessous de cette droite 5 car, si elles se rencontraient, on pourrait, du point où elles se coupent, abaisser deux perpendiculaires sur la droite AB, ce qui est absurde.

34. 2* corollaire, — U suit encore de la même proposition: I®. Que deux triangles ABC , A'B'C (Jig- 19) qui ont chacun un angle droit, l'un en A, l'autre en A', sont ^aux lorsque leurs côtés BC et B'C, respectivement opposés aux angles droits, ainsi qu'un de leurs autres angles, B et B' par exemple, sont égaux.

En effet, si l'on porte le triangle A'B'C sur le triangle ABC, en plaçant l'angle B' sur l'angle B, le côté B'C couvrira exactement son correspondant BC ; le côté A'B' tombera dans la direction de AB5 et si le côté A'C, dont Pextrémité C se trouve sur le point C, ne s'appliquait pas exactement sur AC, il s'ensuivrait que l'on pourrait abaisser du point C deux perpendiculaires sur AB, confondue maintenant avec A'B', quant à sa direction.

a®. L'égalité des mêmes triangles aurait encore Heu ,

20 ÉLÉME1NT.S

si les côtés x\C et lUl étaient respectivement égaux aux côtés A'C et B'C^ car, en posant un de ces triangles sur Tautre, de manière que A'C fût sur AC, le côté A'B^ tomberait sur AB, parce que les angles BAC et B'A'C sont égaux comme droits *, alors les côtés BC et B'C devenant des obliques égales, placées d'un même côté de la perpendiculaire AC , s'en écarteraient également, et tomberaient, par conséquent , Tun sur l'autre.

35, Remarques, — Le premier des cas d'égalité, démontré ci-dessus par rapport aux triangles qui ont un angle droit, a lieu également par rapport aux triangles quelconques, qui sont égaux dès qu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun , et un côté égal opposé au même angle dans Fun et dans l'autre \ mais ce cas n*est pas nécessaire pour ce qui suit, et il résulte d'ailleurs d'une proposition démontrée plus loin (51 ) .

Il n'en est pas de même du second. Si , dans les triangles ABC et A'B'C [fig, 20), on a A=:A', AC = A'C', BC = B'C, que l'angle A soit aigu, et que AC surpasse CB, on n'en pourra pas conclure que ces triangles soient égaux; car, ayant abaissé, dans le triangle A'B'C, la perpendiculaire CD', on trouvera de chaque côté de cette perpendiculaire deux obliques C'B' et C'B'', égales entre elles. Les triangles C'A'B' et C'A'B", entre lesquels l'angle A' et le côté A'C sont communs, rempliront donc les conditions données; mais il n'y en a qu'un qui soit ég^l au triangle ABC , celui dans lequel l'angle B' est de même espèce que l'angle B, c'est-à-dire aigu, dans le cas de la figure. Il est d'ailleurs visible que l'angle C'B'W est obtus, puisqu'il repose sur la même droite que l'angle C'B''B' = C'B'B".

THÉORÈME

36. Lorsque deux côtés d'un triangle sont égaux, les angles opposés à ces cotés sont égaux , et lorsqu'ils sont

inégaux y le plus grand des deux est opposé au plus grand angle,

^-Démonstration. — Si, dans le triangle ABC {fig» 21), les côtés AB et BC sont égaux entre eux , la perpendiculaire abaissée du point B sur le côté AC, passant par le milieu D de ce côté (32), partagera le triangle ABC en deux autres, qui seront égaux entre eux (16), puisque Taugle droit BDA de l'un sera compris entre les côtés AD et BD, respectivement égaux aux côtés DC et BD, qui comprennent l'angle droit BDC de l'autre : Tangle A sera donc égal à Tangle C.

A l'égard du triangle ACE , dai^s lequel les côlés AE et EC sont inégaux, il est évident que le point E, où se coupent ces deux côtés, doit tomber hors de la pei^endiculaire BD, vers celle des extrémités de AC dont il est le plus près (28), et, par conséquent, dans l'angle FDC. Cela posé, en tirant BC, on formera le triangle ABC, dont les angles BCA et BAC seront égaux , d'après ce qui précède, puisque les côtés opposés AB et BC le seront comme des obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire ^ mais, l'angle BCA étant intérieur à l'angle EGA, il s'ensuit que ce dernier, opposé au côté AE, surpasse l'angle EAC, opposé au côté EC plus petit que AF^.

37. Corollaire, — Il suit de là que si deux angles d'un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces angles • sont égaux entre eux-, car, s'ils étaient inégaux, l'angle opposé au plus grand des deux serait plus grand que l'autre ' angle , ce qui est contre l'hypothèse.

Les mêmes raisonnements prouvent aussi que quand deux angles sont inégaux, le plus grand des deux côtés est celui qui est opposé au plus grand des deux angles, puisque l'inégalité des angles entraîne celle des côtés, ei que quand deux côtés sont inégaux , l'angle opposé au plus grand côté est toujours le plus grand.

Enfin, quand les trois côtés d'un triangle sont égaux, les trois angles sont égaux , et réciproquement.

38. Les triangles dont les côtés sont inégaux se nommqgt scalènes^ ceux qui ont deux côtés égaux se nomment wocèles; et ceux dont les trois côtés sont égaux se nomment équiïatcraux .

Des lignes parallèles*

39. Deux droites qui , quoique situées dans le même plan , ne se rencontrent pas , sont dites parallèles entre elles.

Deux droites, DE et FG [fig* i8), perpendiculaires à une même droite AB, sont donc parallèles entre elles (33).

40. Remarque, — Tout ce qu'on va lire repose sur la vérité des propositions suivantes, dont l'évidence semble tenir immédiatement à la notion que nous avons de la ligne droite : i^ Si , par le point D {fig> 22) , on mène^une droite HH', qui fasse avec la ligne D6 un angle HEBB, moindre que le droit EDB, ou qui soit inclinée vers la partie FG de la droite GG' perpendiculaire sur ÂB, elle rencontrera GG' lorsqu'elles seront suffisamment prolonr gées l'une et l'autre au-dessus de AB. 2° Si , par le même point D, on mène la droite II', qui fasse, avec DB, l'angle IDB plus grand que le droit EDB, comme elle fera au* dessous de AB, l'angle l'DB moindre que le droit E^DB; elle inclinera vers la partie FG' de la droite GG' et rencontrera, par conséquent, cette droite prolongée suffisamment au-dessous de AB.

De là résulte cette proposition , l'un des fondements de la théorie des parallèles : Une droite qui est perpendi'culmre à une autre est rencontrée par toutes celLçiS qui sont obliques sur cette mitre ^ et il ny a^ par conséquent, sur un plan^ que les droites perpendiculaires à une

DE GÉOMÉTHIE. aS

même ligne qui ne se rencontrent pas ou qui soient parallèles entre elles (i).

(i) CVst dans la diffî culte de prouver immédiatement celte proposition que réside Pimperfection de la théorie des parallèles. Beaucoup d^auteurs ont f^it, pour en venir à bout, des efibrts inutiles, et d^autrcs, comme Bezout, ont dissimule le vice du raisonnement, ce qui me semble contraire au devoir rigoureux que sMmpose tout auteur d'ouvrages élémentaires, de ne donner jamais que des notions exactes, et surtout d'en faire ronnattre avec soin Torigine. J'ai jugé convenable de mettre en évidence ce point délicat en formant, à l'exemple d^Euclide, une demande, mais que je crois plus aisé à accorder que la sienue , parce quelle présente la difficulté réduite à ses moindres termes. IVoycs, dans les Essais sur l'Enseignement, le paragraphe des Éléments de Géométrie.)

Plusieurs géomètres ont essuyé de prouver la vérité de cette demande, soit directement, soit eu transposant la diflicnUc; presque tous sont tombés dans de très-grandes longueurs ou dans Tinconvénient de compliquer, par des raisonnements obscurs, des propositions dont la preuve directe est extrêmement simple. On doit cependant excepter de ce reproche la démonstration donnée par Bertrand , de Genève; elle m^a paru la plus simple et la plus ingénieuse de toutes celles que je connais. En voici le fond.

Il est d'abord évident que si l'on ajoute un angle quelconque edh un nombre suflisant de fois à lui-même, comme le montre la ^. 23, en hdh'jh'dh", h''dh!'*, h'"dh""y on parviendra toujours à former un angle total edh"" plus grand que Pangle droit edb; mais si Ton élève sur la droite DB les perpendiculaires DE et FG, prolongées indéfiniment , on formera une bande indé- 6nie EDFG, qui ne saurait remplir l'angle droit EDB, quelque nombre de fois qu^elle soit ajoutée à elle-même. En effet, si Ton prend FK = DF, etqu^on élève KL perpendiculaire sur AB, que l'on plie ensuite la figure le long de FG, la bande EDFG couvrira exactement la bande GFKL; car les angles GFD, GFK étant droits, la partie DF tombera sur FK; et comme DF = FK par construction , le point D se placera sur le point K; de plus, Pangle FKL étant droit aussi bien que EDF, la ligne DE se placera sur KL. Cela posé, puisqu'on peut prendre sur la droite indéfinie DB autant qu^on voudra de parties égales à DF, sans arriver à son terme, on formera un nombre aussi grand qu'on voudra de bandes égales à EDFG, sans pouvoir couvrir l'espace indéfini compris entre les deux côtés de Tangle droit EDB. il suit de là que, considérées relativement h leurs limites latérales, la surface de l'angle edh est plus grande que celle de la bande EDFG. Si donc on construit dans cette bande, sur la droite ED, un angle EDH égal à edh y il ne pourra demeurer contenu entre les lignes ED et FG : son cêté DH coupera nécessairement la droite FG.

Pour sentir la force de cette démonstration, il faut bien concevoir que, lorsqu^on applique Fangle droit edb sur Tangle droit EDB , ces deux sur-

24 ÉLIJMLMS

JHKORÈME.

il. Lorsque deux droites DE et FG (lig. 24) sont parallèles, toutes les droites y telles que LM, qui sont perpendiculaires sur Vune, le sont en même temps sur Vautre.

Démonstration. — Supposons que cela n'ait pas lieu, et que LM, perpendiculaire en M sur FG, ne le soit pas en L sur DE; on pourrait élever alors par le point L sur LM une perpendiculaire qui serait différente de EL, et à laquelle EL serait intérieure ou extérieure, par rapport à FG. D'après la proposition du n^ 40, EL devrait donc rencontrer GM, ce qui ne saurait arriver, puisqiie les droites DE et FG sont parallèles : on ne peut donc pas élever sur LM , par le point L, une perpendiculaire différente de EL. Ainsi , LM est perpendiculaire à la fois sur DE et sur FG.

42. Corollaire. — 11 suit du théorème précédent, que deux droites parallèles à une troisième sont aussi parallèles entre elles. En effet, toute ligne perpendiculaire sur celle-ci le sera aussi sur les deux premières , qui , se trou* vaut par là perpendiculaires à une même droite, ne pourront se rencontrer, et seront, par conséquent, parallèles entre elles.

faces doivent toujours coïncider entro leurs limites latérales de et âhy DE et DB, quelque loin qu'ion les prolonge: alors on verra que, si les angles construits dans les bandes n'*en sortaient pas, ils laisseraient un vide in* défini après la dernière bande, et nn autre dans chaque bande; miifs celui-ci, qui a toujours lieu près de leur sommet, est plus que compenaé par les espaces qui leur deviennent communs quand ils sont sortis des bandes, parce que leurs côtés se croisant, ils se recouvrent en partie : tel est l'espace MNO, commun aux angles EDH, GFH'. Avec cette explication ; il ne doit rester^ à ce que je crois, aucun doute fondé sur ce que Pinfini entre dans les considérations précédentes j car il ne s^agitquede concevoir quHl est toujours possible de placer dans Tangle droit un nombre, de bandes qui surpasse un nombre donné, quoique grand que soit ce dernier.

DK GÉOMÉTRIE. 25

THÉORÈME

43. Lorsque deux droites DE et FG, parallèles entre elles (fig. aS), sont coupées par une droite quelconque IH, les angles ELI et GMI , quelles font auec cette dernièrcy d'un même côté, l'un en dedans, l'autre en dehors, sont égaux entre eux.

Démonstration. — Si du point K, au milieu de LM, on abaisse sur Tune des droites DE, FG, la perpendiculaire DF, cette ligne sera en même temps perpendiculaire sur l'autre (41). Les triangles DLK, KFM seront égaux (34), parce que les côtés LK et KM, respectivement opposés aux angles droits D et F, sont égaux par construction , et que , de plus , les angles DKL et MKF le sont aussi , comme étant opposés par le sommet : donc Tangle DLK ou ELI est égal à KMF, et , par conséquent, à GMI, opposé par le sommet à ce dernier.

THÉORÈME

44. Si deux droites DE et FG font av^ec une troisième IH^ et du même côté, par rapport à celle-ci, des angles égaux, ELI, GMI, l'un en dedans, l'autre en dehors, ces deux droites seront parallèles entre elles.

Démonstration. — Si du point K , milieu de LM, on abaisse sur DE la perpendiculaire DF, on formera les triangles DLK et MKF, égaux entre eux (18), parce que, d'après l'bypothèse , l'angle DLK ou ELI est égal à Tanglo KMF, opposé par le sonunet à GMI -, l'angle DKL est égal à MKF, comme opposé par le sommet; et, enfin, le côté LK est égal à KM, par construction. L'angle KFM sera donc égal à LDK, et droit par conséquent. Ainsi, les deux droites DE et FG, étant perpendiculaires l'une et 1 autre à la même droite DF, seront parallèles entre elles.