Lorsque deux parallèles DE et FG sont coupées

par une troisième ligne IH , .

1°. Les angles correspondants sont égaux ^

2®. Les angles alternes-internes sont égaux^

3**. Les angles alternes-externes sont égaux;

4° . Les angles internes du même côté y réunis y forment

deux angles droits;

5**. Les angles externes du même côté y réunis , forment

deiLX angles droits.

Réciproquement, si F une quelconque de ces pro^ priétés a lieuy les droites DE et FG sont nécessairement parallèles.

Démonstration. — 1°. L'égalité des angles correspond dants n'est autre chose que le théorème du n*^ 43, puisque les angles ELI et GMI (fig, 25) sont évidemment des angles correspondants y d'après le sens attaché à ce mot. L'égalité de ces deux-là étant prouvée , celle de tous les autres angles correspondants s'en déduit sur-le-champ. Pour les angles DLM et FMI par exemple (Jig, 26), on remarquera que la somme des angles DLM et ELI, qui reposent sur la même droi te DE, est égale à deux droits (1 1 ) 5 que , par la même raison , la somme des angles FMI et GMI est aussi égale à deux droits. Retranchant de ces sommes égales les angles égaux ELI et GMI , les angles restants DLM et FMI seront nécessairement égaux.

2®. L'égalité des angles alternes-internes ^ celle de ELI, FMH par exemple, a lieu, parce que FMH est égal à GMI , son opposé par le sommet , et que celui-ci est égal à ELI, comme correspondant : les deux angles ELI et FMH étant égaux à un troisième GMI , sont donc aussi égaux entre eux. En raisonnant d'une manière semblable, on reconnaîtrait l'égalité des angles DLI et GMH.

3^. L'égalité des angles altemes-externes , celle de DLH et GMI par exemple , a lieu , parce que GMI étant opposé par le sommet à FMH lui est égal , et que ce dernier angle est égal à DLH , comme correspondant : les deux angles DliH et GMI étant donc égaux à tm troisième FMH, sont égaux entre eux. C'est ainsi qu'on démontrerait l'égalité des deux angles ELH, FMI.

4®. Les angles internes du même côté, ELI, GMH par exemple, pris ensemble, valent deux droits, parce que ELI et GMI sont égaux comme correspondants, et que la somme des angles GMI et GMH , qui reposent sur la inême droite HI, étant égale à deux droits (11), si Ton

'^8 Kî.KMKMS

siibslitm; à OMl sou égal ELI, la somme des angles ELI et GMH demeurera la même que celle des augles G MI et (xMH, et sera, par couséquent, égale à deux droits.

5^. Les angles externes du même côlé, ELH et GMI par exemple, pris ensemble, valent deux droits, parce que les angles GMI et ELM sont égaux comme coirespoudants, et que la sopimc des angles ELM et EILH, qui reposent sur la même droite IH, étant égale à deux droits (H), si Ton substitue à Tangle ELM son égal GMI, la somme des angles GMI et ELH sera la même que la précédente, et , par conséquent , encore égale à deux angles droits.

Réciproquement, si Tune quelconque de ces propriétés a lieu, les droites DE et FG sont parallèles, parce que si c'est l'égalité des angles correspondants que l'on remarque d'abord , il suit du n*^ 44 que cette égalité entraîne nécessairement le parallélisme ^ et quant aux quatre autres propriétés , il suffit d'observer que l'on conclut de chacune d'elles l'égalité des angles correspondants.

Eu effet , les angles alternes-internes ELI et FMH ne peuvent être égaux saus que l'angle GiVII, égal à FMH, comme son opposé par le sommet, ne le soit, par conséquent , à ELI : donc , dans ce cas , les angles correspondants ELI et GMI sont égaux.

11 en est de même des angles alternes-externes ELH et FMI, puisque FMI et GMH étant égaux comme opposés par le sommet , GMH se trouve égal aussi h son correspondant ELH.

Quand on sait que la somme des angles internes ou externes du même côté est égale à deux droits, on s^assure, ainsi qu'il suit, que les angles correspondants sont égaux. Si, par exemple, la somme des angles ELI et GMH est égale à deux droits, l'angle ELI sera égal à deux angles droits, moins l'angle GMH*, mais parce que les deux angles GMH et GMI, qui reposenl sur une môme droite.

I)K GÉOMÉTRIK. 29

valent ensemble deux droits, Tangle GiMI sera aussi égal k deux angles droits, moins Tangle GMH, et, par conséquent, égal à son correspondant ELI, qui a la même valeur. On raisonnerait de la même manière pour les angles externes du même côté.

47. Corollaire, — Puisque deux lignes parallèles jouissent toujours des propriétés précédentes , et que , lorsque ces propriétés ont lieu par rapport à deux droites, celles-ci sont parallèles, il s'ensuit que les droites pour lesquelles ces propriétés n'ont pas lieu ne sont point parallèles.

Par exemple, deux droites DE et FG {Jig- 27), perpcmdiculaires à deux droites AB et BC, qui se coupent, ne sont point parallèles 5 car, si l'on tire la sécante IH , il est visible que la somme des angles EIH et GHI , intérieurs du même côté, est moindre que celle des deux angles droits EIB, CtHB.

PROBLÈME

48. Par un point donné C (fig. 28), mener une droite parallèle à la droite donnée AB.

Solution. — Par le point C , on mènera une droite quelconque CB rencontrant AB 5 puis on fera au point C, sur CB, l'angle BCD égal à l'angle ABC (23) 5 la droite CD, obtenue par ce procédé, sera la parallèle demandée , puisqu'elle passera par le point C , et qu'en considérant CB comme sécante , les angles alternes-internes ABC et BCD seront égaux par construction.

PROBLÈME

49. Par un point donné C , pris hors d'une droite AB(fig. 29), mener une droite qui fasse auec la pre^ fnière un angle égal à un angle donné A'.

Solution, — Par un point quelconque A de la droite AB, on fera l'angle DAB égal à l'angle A' (23), et menant par

3o ÉLÉMENTS

le point C, parallèlement à AD (numéro précédent), la. droite CE, elle fera avec AB un angle CEB égal à DAB (47), et, par conséquent, à Fangle donné A'.

THÉORÈME

50. Les angles ABC , DEF'(fig. 3o), qui ont les côtés parallèles et Vouverture placée dans le même sens, sont — égaux.

Démonstration. — Si Ton prolonge un côté quelconques

du second angle, DE par exemple, jusqu'à ce qu'il

rencontre un de ceux du premier, en considérant le&parallèles EF et CH , par rapport à la sécante DH , on> reconnaîtra que les angles DEF et DHC sont égaux comme correspondants (47); puis, en considérant les parallèles AB et DH , par rapport à la sécante BC , on reconnaîtra que les angles ABC et DHC sont égaux comme correspondants : les deux angles DEF et ABC , étant égaux à ' un troisième DHC , seront , par conséquent , égaux entre eux.

THÉORÈRIE.

51 . Les trois angles d'un triangle réunis valent toujours deux angles droits.

Démonstration, — Si l'on mène par l'angle A du triangle quelconque ABC [fig* 3i) une droite AD parallèle au côté opposé BC , les angles ABC et EAD, formés sur la sécante AB, seront égaux comme correspondants (47) 5 les angles DAC et ACB, alternes-internes par rapport à la sécante AC, seront aussi égaux (47) : donc l'angle EAC , composé des angles EAD et DAC , sera égal à la somme des angles ABC et ACB du triangle proposé; et en joignant à l'angle EAC le troisième angle CAB, on aura ^ autour du point A et sur la droite EU, trois angles , EAD, DAC , CAB, équivalents à ceux du triangle ABC , et égaux à deux droits (10).

DE GÉOMÉTRIK. 3l

N. B. — 11 peut être utile de se rappeler que l'angle EAC se nomme angle extérieur du triangle ABC , et qu'il vaut à lui seul les deux intérieurs opposés ABC , ACB.

52. Corollaire. — Il suit du théorème ci -dessus , que quand deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, le troisième angle de l'un est aussi égal au troisième angle de l'autre , puisque ce dernier angle, réuni aux deux premiers dans chaque triangle , compose, de part et d'autre, une somme égale.

On voit encore par là qu'un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit , et , à plus forte raison , qu'un seul angle obtus.

53. On nomme triangle rectangle celui qui a un angle droite acutangle celui qui n'a que des angles aigus; obtusangle celui qui a un angle obtus ; et les deux dernières espèces sont comprises sous la dénomination générale de triangles obliquangles.

Il est visible que, dans le triangle équilatéral, dont

tous les angles sont égaux (37), chaque angle est les deux

tiers d'un droit.

THEOREME.

54. Les parties AC et BD (fig. Sa) de deux droites parallèles j interceptées entre deux droites parallèles j sont égales entre elles, et réciproquement.

Démonstration. — Si l'on tire la droite AD, on formera deux triangles ABD et ACD, qui seront égaux -, car, en prenant AD pour sécante des parallèles AB et CD, on verra que les angles BAD et ADC sont égaux comme alternes-internes (47) ; regardant ensuite la même droite comme sécante des parallèles AC et BD, on reconnaîtra que les angles ADB et DAC sont égaux par la même raison : de plus , le côté AD étant commun aux deux triangles ABD et ACD, ces triangles seront égaux (18) -, les côtés AC et BD, opposés à des angles égaux ADC et BAD, seront

3a KLKMKMS

donc égaux, ce qui fait le sujet de la proposition. 11 en

sera de même des côtés AB et CD.

Réciproquement, si les parties CD et AB sont égales, ainsi que les parties AC, BD, les triangles ACD et ABD auront leurs côtés égaux chacun à chacun , et seront , par conséquent, égaux. L'égalité des angles CAD, ADB, alternes-internes , établira le parallélisme des droites AC , BD (4.7), et Tégalité des angles BAD, CDA celui des droites AB, CD.

On prouverait, sans plus de difficulté, que les droites CD et AB sont égales et parallèles , dès que les droites AC et BD sont égales et parallèles entre elles.

55. Corollaire, — La proposition précédente ne cesserait pas d'être vraie, quand même les droites AC et BD seraient perpendiculaires sur AB et CD, puisqu'elles seraient toujours parallèles entre elles ^ mais alors les parties AC et BD mesurant la distance des deux droites AB et CD, il s'ensuit que deux parallèles sont partout également éloignées Tune de l'autre.

De0 llsneii proportionneUe» et des tri»Hf;le« «emblables*

THÉORÈME

56. Si deux droites quelconques AF et GM (fig. 33) sont coupées par un nombre quelconque de parallèles, AG, BH, CI, etc., menées par des points pris à des distances égales sur la première, les parties GH, HI, IK, etc.f de la seconde seront aussi égales entre elles.

Démonstration. — En menant par les points G, H, I, etc., les droites GN, HO, IP, etc., parallèles à AF, on forme les triangles GNH, HOI, IPK, etc., dans lesquels les côtés NG, OH, IP, etc., étant respectivement égaux à AB, BC, CD, etc., comme parallèles comprises entre parallèles (54), sont égaux entre eux. Les angles NGH,

DE GÉOMÉTRIK. 33

OHI, PIK, clc, sont l'gaux comniiî corrrspoiulams , pai rapport à la sécante GM^ ot enfin les angles G\H , HOl , IPK, etc., sont égaux, parce qu'ils ont les côtés parallèles et l'ouverture placée dans le même sens (50) . Ces triangles ayant donc, chacun à chacun, un côté égal, adjacent à deux angles égaux, sont égaux (18) ^ d'où il suit que les côtés GH, HT, IK, etc., le sont aussi.

57. Corollaire. — Il suit de ce qui précède, que AB est contenu dans AF, autant que GU l'est dans GM-, en sorte qu'on a cette proportion ,

AB: AF :: gh :G1vi, que l'on peut changer en cette autre ,

AB:GH :: af: gm;

et de cette dernière on tire

2AB: 2GH :: af:GM, 3AB: 3GH:: AF :GM,

etc.,

c'est-à-dire qu'un nombre quelconque de parties de AF est à un pareil nombre de parties de GM comme la droilr entière AF est à la droite entière GM.

THÉORÈME

58. Trois parallèles y AG, DK, FM (fig. 34) , coupcnf toujours deux droites quelconques , AF et GM, en parties proportionnelles y ou de manière quon a

AD:DF :: gk:KM.

Démonstration, — Il peut arriver deux cas : i*\ Que Al) soit commensurable avec AF, c'est-à-dire que le rapport de AD avec AF puisse s'exprimer exactement par deu^ nombres. Je suppose, par exemple, qu'on ait