AF: AD ::GM:GK

2^. Si AF et AD sont incommensurables, on prouvera, ainsi qu'il suit, que leur rapport ne peut être ni plus petit ni plus grand que celui de GM à GK.

Soit d'abord

AF: AD:: GM:Gi,

GI étant plus petit que GK. On peut toujours diviser le côté AF en parties assez petites pour qu'en menant par tous les points de division des parallèles à FM, il en passe une , de , entre les points I et K 5 on aura , d'après ce qui précède, à cause de la commensurabilité de AF à Ad^

AF: Arf:: GM:Gé?.

Les antécédents de cette proportion étant les mêmes que ceux de la précédente , on en conclura cette nouvelle proportion entre les conséquents de l'une et de l'autre:

AD: Ad:: GI: Ge,

résultat absurde, puisque AD étant plus grand que Kdy GI est plus petit que Qe.

On ne peut pas avoir non plus

AF: AD :: GM:Gr,

DE GÉOMÉTIUE. 35

Gl' étant plus grand que GK -, car ayant divisé A F de manière qu'une des parallèles d'e' tombe entre les points K et r, on aura

AF : Arf' : : GM : Ge'.

Faisant une nouvelle proportion entre les conséquents de cette dernière et ceux de la précédente , on aura

AD \ kd' \: GI' : Oe',

résultat encore absurde, puisque AD étant plus petit que kd\ GF est plus grand que Ge' : il faut donc nécessairement que le quatrième terme de la proportion formée des droites AF, AD, GN soit GK.

On tire de la proportion AF : AD :: GRI : GK,

AF — AD : AD : : GM — GK : GK, ou

DF: AD:: km:GK, ou enfin

AD: DF :: gk:KM,

en renversant les deux rapports (i).

59. i" corollaire, — Si par le point G on tire la droite GN parallèle à AF, on aura (54)