GO = AD, ON = DF
(i) On éprouvera peut-être quelque difficulté à transporter aux parties de retendue la notion de rapport, telle qu'on la conçoit à IVgard dos nombres, surtout iorsqu^il s'^agira de lignes incommensurables cnlrc elles ; mais ^obscurité disparaîtra , si Ton fait attention qu'ion n^ peut comparci deux lignes qu^en les supposant rapportées à une commune mesure (iS), et qu^alors Icnr rapport est exprimé par celui des nombres de mcsure<i commones comprises dans chaque droite. Quoique ce dernier cesse d^être rigoareosement assignable quand les lignes n^ont pas de mesure commone, il n^en existe pas moins , puisqu^on peut en approcher d'aussi près qa^on vondra; et deux rapports incommensurables devront ôlre regardé*: comme égaux, dès qu^on prouvera que, quelque loin que soit poussét Tapproximation pour l'un et pour l'autre, leur différence demeurera ton jours nulle.
et , par ce qui précède ,
GO : ON : : gr : km , GO : GN : : GK : gm.
Si donc ou mène dans un triangle une droite OK , parallèle à Tun des côtés NM, les deux autres côtés GN et GM seront coupés en parties proportionnelles par cette droite.
60. a*' corollaire, — Réciproquement, lorsqu'une droite coupe deux côtés d'un triangle en parties proportionnelles , elle est parallèle au troisième.
En effet, si dans le triangle ABC [fig- 35) on avait
AB : A^ : : AC : a/,
et que la ligne ef ne fût pas parallèle à BC, on pourrait mener, par le point e , une droite eH parallèle à BC , et qui donnerait (59)
AB : Ae :: AC : AH,
proportion dont les trois premiers termes sont les mêmes que ceux de la précédente : il s'ensuit donc que AH = Kf\ que , par conséquent , les droites ef et eH se confondent , et que la première est nécessairement parallèle à BC.
61 . 3^ corollaire. — La droite BD {fig^ 36), qui divise en deux parties égales Fun des angles B d'un triangle quelconque ABC , partage le côté opposé AC en deux segments proportionnels aux côtés adjacents , c'est-à-dire que l'on a cette proportion :
AD:DC :: ab:bc.
Cela se prouve en menant CE parallèle à BD, et qui rencontre en E , AB prolongé. Il en résulte , par le n® 59,
AD : DC :: AB : be;
de plus , le triangle CBE est isocèle 5 car Tangle BCE est égal à CBD, comme alterne-interne par rapport à la se-
DE GÉOMÉTRIR. ^7
cante BC, l'angle BEC Test à l'angle ABD, comiue eorrespondant par rapport n la sécante ÂË, et les angles ABD étrCBD sont égaux comme moitiés du même angle ABC : «lone les angles BCE et BEC le sont aussi -, donc BE est égal à BC (37) ; donc , enûn,
AD:DC :: ab : bc.
PROBLÈME
62. Trouver une quatnènie proponionnelle à trois lignes données M,N, P (fig. 37), ou le quatrième terme de cette propor^on :
M : N : : p : or.
Solution, — On tirera deux droites indéfinies AB et AC, faisant entre elles un angle quelconque \ on prendra sur la première .de A en B, une distance AB égale à M, et de A en D une distance égale à N \ puis on portera sur la seconde, de A en C, la troisième droite P. On joindra paiunCidroite^es points B et C, et tirant par le point D, pal^auelement à BC , la droite DE , on aura dans AE la quat^ème proportionnelle demandée, puisque (59)
AB : AD :: AC : ae, oc qui donne
m:n::p:ae.
Si les deux droites N et P étaient égales entre elles , la Kgne déterminée par la proportion
sef^it ce que les géomètres ont appelé troisième proportionnelle, La construction de ce cas ne diilère pas de celle du. précédent ; le point C tombe alors en c , et la droite De, parallèle iuJ3c, coupe sur AC la partie Ae, égale à la troisième proportionnelle chcrcliée , puisqu'on a
i^ AB : AD :: Ar : Ar,
ou
