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63. Deux triangles sont semblables^ lorsque les angles de Fun sont respectivement égaux aux angles de Tauti», et que les côtés qui , dans Tun et dans l'autre, sont ^^ posés à des angles égaux , et que , pour cette raisoif , on nomme côtes homologues, sont proportionnels.

Ces deux conditions sont liées entre elles de manière que Tune entraîne toujours l'autre.

THÉORÈME

64. Lorsque deux triangles ABC et DEF (fig. 38) ont leurs angles égaux chacun à chacun^ leurs côtés homologues sont proportionnels j et ils sont y par conséquent, semblables. *

Démonstration, — Si Ton prend sur AB et JiC deux parties Ae et Af, respectivement égales à JX^ et à DF, et qu'on tire e/*, les trianglqs Ae/" et DEF seront égaux , puisque, par Fhypotjièse, l'angle A de l'un est égal à l'angle D de l'autre , et que les côtés de Ae et A/sont é|j|Eix à DE et à DF, par construction (16). L'angle Aef éta!^ égal à E, le sera, par conséquent, à B, et e/* sera par^ lèle à BC : on aura donc la proportion (59)

Ae : AB :: A/: ac, f

ou