DF: AC :: EF : BC

puisque BG est égal à ef (54), qui l'est à EF. Rémibsiult cette dernière proportion avec la première, pdjr.lemoyefi du rapport DF : AC, qui est commun à l'une et k Tau^^ on aura celle suite de rapports égaux : *'^

DE : AB :: df : ac :: ef : bc,

DE GÉOMKTlUt:. 3()

de laquelle il résulte que les eolés homologues des triaugles ÂBC, DEF, sont proportionnels entre eux.

65. Corollaire. — Il suit de la proposition précédente que deux triangles sont semblables : i*^. Lorsqu'ils ont seulement deux angles égaux chacun à chacun , puisque le troisième angle de l'un est nécessairement égal au troisième angle de l'autre (52) 5

2**. Lorsque leurs côtés sont respectivement parallèles \

3**. Lorsque leurs côtés sont respectivement perpendiculaires.

La seconde partie est évidente pour les triangles placés comme ABC et DEF \ car les angles tels que A et D , qui ont leur ouverture placée dans le même sens, son égaux (50).

A l'égard des triangles placés dans une situation renversée, comme le montre la. Jîg. Sg, si Ton prolonge le côté EF du triangle DEF, de manière qu'il en coupe deux du triangle ABC, en G et en H, les angles AGH et DEF seront égaux comme alternes-externes, par rapport aux parallèles AB, DE, et à la sécante FH5 les angles AHG et DFE le seront comme alternes-internes, par rapport aux parallèles AC, DF5 et le triangle DEF sera , par conséquent, semblable au triangle AGH, qui le sera lui-même au triangle ABC, puisque les angles AH(i et AGH sont égaux aux angles ACB, ABC, comme correspondants, par rap port aux parallèles GH , BC, et aux sécantes AC, AB.

y est évident que les côtés homologues, dans le cas actuel , sont parallèles entre eux.

Pour prouver la dernière partie, soient les deux triangles ABC et DEF (fig> 4^) ? placés de manière que le côté EF soit perpendiculaire sur BC prolongé, que DF prolongé le soit sur AC , et enOn que DE prolongé le soit sur AB. Par le point A , opposé au côté BC, perpendiculaire sur EF, on mènera 1rs droites AG et AH, rcspecli-

4o l'LÉMENTS

vement parallèles aux deux autres côtés DF et DE, du triangle DEF , et, par conséquent, perpendiculaires l'une sur AC, l'autre sur AB. Les angles CAG et BAH seront droits d'après l'hypothèse ; si l'on ajoute à chacun le même angle CAH , les deux angles résultants BAC et GAH seront égaux : mais les angles GAH et EDF , ayant par construction leurs côtés parallèles et leur ouverture placée dans le même sens , sont égaux ; l'angle BAC sera donc égal à EDF.

Menant ensuite, par le point B, les droites BI et BK parallèles aux côtés EF et DE , on formera les angles droits CBI et ABK , desquels, retranchant une partie commune ABI, il restera les angles égaux ABC, IBK5 et le second étant égal à DEF, à cause du parallélisme des droites 61 et EF, BK et DE , on en conclura que ABC est aussi ^al à DEF. Les triangles ABC et DEF ayant deux angles égaux chacun à chacun, sont, par conséquent, semblables.

On voit, de plus, que les côtés homologues sont ceux qui sont respectivement perpendiculaires, puisque l'angle D étant égal à T angle A, le côté EF est homologue k BC -, et ainsi des autres.

THÉORÈME

66. Deux triangles sont semblables lorsquils ont un angle égal y chacun à chacun y compris entre des côtés

proportionnels.

Démonstration. — Si l'angle A du triangle ABC (fig. 38) est égal à l'angle D du triangle DEF, et que l'on ait AB : DE :: AC : DF, on prendra , sur les côtés AB et AC du premier triangle , deux parties , ke et A/J respectivement égales à DE et à DF5 tirant ej\ on formera le triangle Ae/'égal au triangle DEF (16)*, et la droite ej\ coupant les côtés du triangle BAC en parties proportionnelles,

DE GKOMÉTUIE. 4»

puisqu'on a

*AB : DE ou ke : : AC : BF ou A/,

sera parallèle à BC (60). Les angles e et f^ respectivement égaux aux angles E et F, le seront aussi aux angles B et C5 et, par conséquent, les triangles ABC et DEF, ayant leurs angles égaux, seront semblables (64).

THÉORÈME

67. Deux triangles qui ont les côtés proportionnels, chacun à chacun , sont semblables.

Démonstration» — Soit , dans les triangles ABC , DEF, celte suite de rapports égaux :

AB : DE :: AC : df :: bc : ef.

Si Ton prend sur AB une partie Ae égale à DE , et qu'on mène une droite ef parallèle à BC , les triangles ABC et Ae/*, semblables entre eux (65), donneront AB : Ae :: AC : a/:: bc : efy

mais psirce que Ae est égal à DE, tous les rapports de la seconde suite seront égaux à ceux de la première, et comme les antécédeiilts sont les mêmes de part et d'autre , les conséquents seront aussi les mêmes : on aura donc ^ n/= DF, ef= EF.

11 suit de là que le triangle DEF est égal au triangles A^j et conmie ce dernier est semblable au triangle ABC , il en sera de même du premieç.

PROBLÈME

68. Construire sur une droite donnée EF un triangle semblable au triangle ABC.

Solution. — On peut construire un triangle semblable ^ un autre , en partant des divers caractères par lesquels la similitude de ces figures est constatée. Si l'on v(^ut donc former sur la droite donnée EF un tiîanglc qui soit scm-

l\'l KI.KMENTS

hiable au Iriaiiglo AJ^C, ou y parvioudra : i*'. Eu nieuani par les points E cl F des droites qui fassent livec EF des angles E et F, respectivement égaux aux angles 13 et C (60);

tP. En faisant au point E, sur EF, un angle égal à l'angle lî, et portant sur le côté DE de cet angle une distance DE quatrième proportionnelle aux trois lignes BC • EF, AB5 de cette manière, les deux triangles seront encore semblables, comme ayant, cbacun à chacun, un angle égal compris entre des côtés proportionnels (66) ;

3°. Enfin , en cberchant une quatrième proportionnelle aux trois lignes BC , EF, A 13, une autre aux trois lignes BC , EF, AC , et construisant sur les deux lignes trouvées et sur EF un triangle DEF; les triangles DEF et ABC seront semblables , comme ayant leurs côtés proportionnels (67).

N, B. — Il est à propos de remarquer qu'il y a pour la similitude des triangles , comme pour leur égalité, trois cas principaux, que les propositions des n°* 16, et 66, 18 et 65, 20 et 67 se correspondent, et que les problèmes des n"^ 25 , 24 et 21 sont analogues aux questions résolues dans celui-ci.

THÉORÈME

69. Tant de lignes y AB, AC, AD, AE, ÂF, ^uon^ voudra (fig. 4^) 5 menées par un même point A, et rer^ contrées par deux parallèles GL et BF, sont coupées par ces parallèles en parties uroportionnelles^ et les coupent aussi en parties proportionnelles*

Démonstration. — Les triangles BAC, CAO» DAE, EAF, ayant deux de leurs côtés coupés par une droite parallèle au troisième, donnent les proportions (59)

AG:BG :: ah: hc,

AH: HC:: ai :id,

AI :iD :: ak:ke, ^