AB: AG :: AF: AL

de laquelle il résulte (60) que GL est parallèle à BF. Le triangle G AL étant donc semblable à BAF donnera cette proportion

AB: AQ:: bf:GL;

et comme , par construction , BF = AB , on aura nécessairement GL = AG = g^/. Cela posé, d'après le théorème précédent , les droites parallèles GL et BF sont divisées en parties proportionnelles , ou Tune comme l'autre. Si la ligne à diviser était g'V^ plus grande que BF, îl faudrait prolonger indéfiniment les côtés AB et AF, audessous de BF 5 portant ensuite g'V sur AB , de A en G?, et sur AF, de A en L', on tirerait G'L', et les prolongements des droites AC, AD, AE diviseraient G'L', aux points H', I', K', en parties proportionnelles à celles de BF.

71 . Remarque. — La question précédente peut eiicbre se résoudre comme îl suit.

Soit AH {fig' 4^) la droite à diviser. On tirera par le point A une droite indéfinie AP, faisant avec AH un angle quelconque PAH , et sur laquelle on portera , à la suite les unes des autres , les parties dans lesquelles est partagée la ligne dont les divisions sont connues; on joindra Textrémité P de la dernière avec l'extrémité H de la ligne », diviser 5 puis , par les points I , K , L , M , N cl O on iiènej:a , parallèlement à PH , -les droite s IB , KC , LD , ME ,

NF, OG, <[ui coupL'ioiH AH vu parues proporlioiuiiîllos à celles de AP.

Ce dernier procéilé se démontre en observant que le triangle ACK , dont les côtes AC et AK sont coupés par BI parallèle au tix)isième côté CK, donne (59)

AB:Ai :: ac:ak:: bc:ik;

que le triangle ADL, considéré par rapport à la droite CK , donne

AC : AK :: ad : al :: CD : kl;

que le triangle AEM, considéré par rapport à la droite LT), donne

AD : AL :: ae : am :: de : lM;

et ainsi des autres. Toutes ces suites de rapports égaux s'enchaînent par le moyen du second rapport de chacune, qui se trouve le premier dans celle qui vient après : ne prenant donc que les rapports qui contiennent les divisions de la droite AP, on aura

AB : AI :: BC : IK : : CD : KL :: DE : LM :: etc. ,

ce qui montre que les parties AB, BC , CD, etc. , de AH sont proportionnelles aux parties AI , IK , KL , etc. , deAP.

On simplifie un peu ce dernier procédé , en menant par le point H une ligne QH parallèle à AP, et sur laquelle on prend, en commençant au poînt H, des parties HX, XV, VU, UT, etc., respectivement égales à PO, ON, NM, ML, etc. ^ les droites PH, OX, NV, etc. , qui joindront les points de division correspondants, étant parallèles (54), couperont la droite AH en parties proportionnelles à celles de AP ou de HQ.

72. i" corollaire^ — Si, dans \di fig, 4i, les parties de la droite BF, et dans la fig, 4 2 , celles de AP, étaient égales entre elles , celles de la droite GL dans la première,

f\(j ÉLÉMENTS

('t de la droite AH dans la scx^onde, seraient aussi égales

entre elles.

Il suit de là que le procédé du n" 70 et celui du n® 71 peuvent servir à diviser une ligne droite dans un nombre quelconque de parties égales. Il faut pour cela regarder d'abord la droite BF [fig» 4') comme indéfinie^ puis, prenant sur cette droite une partie BC d'une grandeur arbitraire, la porter à la suite d'elle-même un nombre de fois égal à celui des parties dans lesquelles la droite donnée gl Aoil être divisée : le point F, où se termineront ces parties , sera l'extrémité de la ligne BF, et l'on achèvera la construction comme dans le n° 70.

Par le procédé du n*^ 71 , c'est sur la droite AP (Jig> 4^)9 considérée comme indéfinie , qu'il faut porter successivement des parties égales et arbitraires , puisque AH représente la ligne donnée.

73. 1^ corollaire. — La division des droites en parties égales est le fondement de la construction des échelles y c'est-à-dire des droites qui servent à mesurer les autres. En effet, si Ton avait divisé d'abord en parties égales la droite CD [Jig* 3), il n'y aurait eu qu'à chercher combien AB contenait de ces parties, pour avoir le rapport de AB à CD, au moins d'une manière d'autant plus approchée, que les parties de CD auraient été plus petites. L'imperfection des instruments et les bornes de nos sens nous forcent bientôt de nous arrêter dans la division des lignes dont les parties nous échappent par leur petitesse^ pour étendre nos moyens à cet égard, on a imaginé la division par les transs^ersales, représentée dans \^fig* 43, dont voici la construction :

Ayant premièrement divisé la ligne AC en un nombre quelconque de parties égales , telles que BC , et voulant ensuite diviser BC en un nombre de parties trop grand pour que chacune de ces dernières puisse être bien dis-

DE GÉOMÉTniF. 47

tincle, on mentira sur AC, par les points A et Cl, 1rs perpendiculaires A A"" et CL; on prendra sur A A"" une partie arbitraire A A', qu'on portera à la suite d'ellemême autant de fois que Ton voudra faire de parties dans BC (la figure en représente quatre) 5 par les points de division A', A", A'", A"", on tirera des droites parallèles à AC5 enfin, on joiitdra les points B et L par la ligne transversale BL.

Cela fait, si Ton mène la ligne BK parallèle à CL, on formera les triangles BDE, BFG, BHI, BKL, évidemment semblables entre eux (65), qui donneront ces proportions :

BD:BK::DE:KL, bf:bk::fg:kl, BH:BK :: Hi :kl,

desquelles il résulte: 1^. Que BD étant le \ de BK, DE Test aussi de KL ou de BC , qui est égal à KL (54) ;

2«. Que BF étant les | ou la ^ de BK, FG l'est aussi de KL ou de BC;

3«». Que BH étant les ^ de BK, HI l'est aussi de KL ou deBC.

On voit par là qu'en prenant sur la première, la seconde et la troisième des droites parallèles à AB , les distances A'E, A'^G, A'"I, respectivement égales à A'D-f-DE, A^F -h FG, A'"H H- HI , on aura

AB -+■ |BC , AB -f- |BC, AB 4- |BC.

Ceci suffit pour montrer comment on peut construire» une échelle de transversales avec des divisions quelconques, et l'usage qu on peut en faire.

Une semblable échelle prend le nom d'échelle de dixines quand elle contient dix parallèles à AB, parce qu'elle donne alors les dixièmes de BC,

/|8 éliî:mknts

TIIKOBKME.

74. Si de Vangle droit d'tm triangle rectangle on abaisse une perpendicidaire sur le côlé opposé y quon wommc hypoténuse : i^. Cette perpendiculaire partagera le triangle en deux autres qui lui seront semblables ^ et qui le seront y par conséquent , entrq eux.

2**. Elle divisera r hypoténuse en deux parties ou segments , tels que chaque côté de l'angle droit sera moyen proportionnel entre le segment qui lui est adjacent et r hypoténuse entière.

3". La perpendiculaire sera moyenne proportionnelle entre les deux segments de Vhypoténuse.

Démonstration, — Le triangle ABC [fig^ 44) étant suppose rectangle en B, et BD étant perpendiculaire sur AC, les triangles ABC et ABD seront semblables (65)5 car ils auront, chacun à chacun, deux angles égaux, savoir : l'angle A , qui leur est commun , et l'angle droit ABC, dans le premier, égal à l'angle droit ADB, dans le second. Le triangle BDC est, par les mêmes raisons, semblable au triangle x\BC, puisque l'angle C leur est commun , et que l'angle BDC de l'un est droit , ainsi que l'angle ABC de l'autre.

Si l'on compare successivement chacun des deux triangles ABD et BDC avec le triangle ABC , en observant que les angles ABD et CBD sont respectivement égaux aux angles C et A, on trouvera, entre leurs côtés homologues, ces proportions :

AD: AB:: ab:ac, CD:BC ::BC:AC,

qui constituent la seconde partie de la proposition.

Comparant ensuite les triaugles ABD et BCD Tuii k l'autre, on aura