AC AC

et en ajoutant AD avec CD , on a

^^^AB^BC;^ puis ÂG'=ÂbVbc'.

Il suit de là que l'on peut trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont on a les deux autres côtés. Si, par exemple , AB = 3, BC = 4 ? on aura

ÂC'=9-hi6 = 25, d'où AC=v^=:5.

On peut aussi trouver un des côtés de l'angle droit, quand on connaît l'autre et l'hypoténuse , parce que de

ic'= Âb'+ bc' on tire ÂB'= ÂC'— BC'.

Si, par exemple, AC = i3, BC = 12, on aura

Âb'= 169— 144 = 25, d'où AB = 5.

En général ,

AC = v/abVW, ab= Vâc'— bc'.

THÉORÈME

76. Les trois côtés d'un triangle quelconque étant rapportés à une mesure commune, et exprimés par conséquent en nombres y si, de V extrémité de F un ciÈOMÉTRiE, 16® edit, 4

(luelcotKjue de ces cotes , on abaisse une perpeudiculaîrc sur Van des deux autres ^ la seconde puissance du premier sera égale à la somme des secondes puissances des derf fiers , moins deux J'ois le produit du côté sur lequel tombe la perpendiculaire par la distance de cette perpendiculaire il l'angle opposé au premier côté^ si cet angle est aigu, et plus deux fois le même produit, si cet angle est obtus : c^est-à-dire quon aura, dans le premier cas (fi^. 45 et 46)9

ÂC'=ÂB'h- BC — aÂBxBD,

et dans le deuxième (fig. 47) ?

ÂC'= ÂbVbcV aÂBXBD.

Démonstration, — Quand la perpendiculaire Cl) (fig. 45) partage ABC en deux triangles, ACD et BCD, rectangles en D , le premier donne d'abord , en vertu du numéro précédent,

ÂC'=: ÂD'-hCD%

et l'on tire du second,

cd'= bc'—bd'.

D'après cette valeur de CD , celle de AC devient

ÂC'= ÂD'-f- BC'— bd'; maïs îl est visible que AD = AB — BD , nombre dont le carré est AB^ — 2 AB X BD 4- BD^ (i) : mettant cette valeur dans l'expression de AC\ on aura enfin

ÂC'= ÂB'— 2 ÂB X BD H- BD V BC*— BD%

(1) Dans cette proposition, ob je regarde les lignes comme évaloëes en nombres , j^ai dû supposer connue la composition de la seconde puissanoct d'un nombre égal à la somme ou h la dîflTcrence de deux autres , composition à laquelle on peut d'ailleurs parvenir par le raisonnement teal» sans le secours des caractères algébrique».

DE GÉOMÉTRIE. 5l

ce qui se réduit à

ÂC'= ÂR'-h BC'— 2 ÂB X BD.

Dans \dijig. 46, où la perpendiculaire tombe hors du triangle, la différence consiste en ce que