AD = BD — AB

mais on a toujours, pour le carré ,

Âb'— 2ÂBXBD + BD'.

Ainsi, AC a la même valeur que ci-dessus : voilà le premier cas du théorème.

Lorsque le côté AC [fig* 47) est opposé à un angle obtus, la perpendiculaire tombe nécessairement hors du triangle ABC ; on trouve encore par les triangles ACD et BCD , rectangles en D ,

AC = AD 4- CD , CD =z BC — BD ;

on en conclut

Âc'= IdV BÎ?— bd';

maïs on a AD = AB -H BD, valeur dont le carré esi ÂB'-H a ÂB X BD 4- BD*, et de laquelle il résulte

ÂC*= ÂB'-+- 2ÂBxBD4-BD'4- BC'— BD%

ce qui se réduit à

ÂC*= ÂB'-h BC'-f- 2 ÂB X BD.

Tel est le second cas de l'énoncé.

JV. B, — Les parties AD et BD, déterminées sur \i\ côté AB, par la perpendiculaire CD, se nomment segments.

77. Corollaire, — En rapprochant ce théorème du précédent, on en conclura que l'on peut, lorsqu'on connaît les trois côtés d'un triangle, déterminer si Tangle opposé à l'un quelconque de ces côtés est aigu, droit ou obtus. En effet, dans le premier cas 011

Sa ÉLÉMLM'S

AC'= ÂTV'-i- HC — u ABx lÏÏ), il est évident que la seconde puissance de ÂC est moindre que la somme de ceUes des deux autres côtés AB et BC. Dans le second cas, l'angle B étant droit, on a seulement

ainsi, la deuxième puissance de AG est égale à la somme de celles des deux autres côtes. Dans le troisième cas enfin, où AC' = AB -f- BC'-f- 2 ÀB X BD, la seconde puissance de AC surpasse la somme de celle des deux autres côtés.

Ces remarques étant appliquées au triangle dont les côtés sont exprimés par 5 , 7, 8, et leurs secondes puissances par 25, 49? 64, il en résulte que F angle opposé au côté 8 est aigu, puisque la seconde puissance de ce côté étant 64, se trouve moindre que la somme 74 des secondes puissances des deux autres côtés.

Il est bon d'observer |^e Fespèce de F angle opposé au plus grand côté fera connaître celle du triangle (33).

Oes Polysones*

78. Les surfaces planes terminées par un assemblage quelconque de lignes droites se nomment polygones. Le plus simple de tous est le triangle. Les polygones de quatre côtés se nomment, en général, quadrilatères ^ de cinq, pentagones^ de six, hexagones^ de sept ^-hepta^ gones'y de huit, octogones^ de neuf, ennéagones; de dix , décagones; etc.

On ne pousse guère cette nomenclature au delà du polygone de dix côtés que pour le dodécagone^ polygone de douze côtés , et le pentédécagone, qui en a quinze.

Dans les Jîg, 48 et 495 ABCDEF représente un polygone de six côtés ou un hexagone. Tous les angles de la première figure, ayant leur ouverture en dedans du polygone s sont des angles saillants^ Fanglc DEF de \^fig. 49

DE GÉOMÉTRip. 53

est un augle rentrant^ parce qu'il a son ouverture en dehèk's du polygone.

Les lignes telles que CA, CF, etc., tirées entre des angles du polygone qui ne sont pas adjacents au même c6lé ^ se nomjn.Gïil diagonales .

79. Parmi les quadrilatères ou polygones de quatre côtés, on désigne particulièrement sous le nom de parailélogranime celui dont les côtés opposés sont parallèles. ABCD (fig^ 5o) est un parallélogramme.

Il suit du n^ 54: i*'. Que chacune des diagonales AC et BD partage le parallélogramme en deux triangles égaux -,

2®. Que les côtés opposés AB et DC , AD et BC d'un parallélogramme sont respectivement égaux;

3**. Que, réciproquement, si les côtés opposés d'une figure de quatre côtés sont égaux , ou bien si deux côtés opposés sont égaux et parallèles , cette figure est un parallélogramme.

THÉORÈME

80. Les deux diagonales AC et BD d'un parallélo^ gramme se coupent mutuellement en deux parties égales.

Démonstration, — Les triangles AOD et BOC sont ^aux (48) ; car les côtés AD et BC sont égaux par l'hyj^olhèse , les angles DAO, OCB sont égaux comme alternesinternes par rapport à la sécante AC et aux parallèles AD, BC , et les angles ADO et OBC le sont aussi comme àlternes-intemes par rapport à la sécante BD : donc