î^-LÉMENTS

(lente par rinspeclion de la Jig. 48, où l'on voit que les diagonales CA , CF, CE , menées de l'angle C aux angles A, F et E, partagent le polygone ABCDEF, de six côtés, en quatre triangles, ACB, ACF, FCE, ECD. On se convaincra qu'elle convient à un polygone d'un nombre quelconque de côtés, en observant que les deux triangles extrêmes, tels que ACB, ECD, entre lesquels seront compris tous ceux que peut renfermer le polygone proposé, contiendront chacun deux de ses côtés, tandis que tous les autres n'en contiendront qu'un seul : il y aura donc dans ces deux triangles quatre côtés du polygone. Le nombre des triangles intermédiaires sera, par conséquent , égal à celui des côtés du polygone , diminué de quatre ; et le nombre total des triangles sera , comme le porte l'énoncé , égal à celui des côtés du polygone , diminué de deux unités.

82. Corollaire. — Il suit de là que la somme de tous les angles intérieurs ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB d'un polygone vaut autant de fois ' deux droits qu'il a de côtés moins deux, puisque cette somme se compose decelles des angles de tous les triangles ACB, ACF, FCE, ECD, qui valent chacune deux droits , et que le polygone contient un nombre de ces triangles^ égal à celui de se^ côtés , diminué de deux unités. -^

Dans Idifig. 49? l'angle rentrant DEF est extériovjir, ell non pas intérieur. En faisant partir les. diagonales ^ sommet E de cet angle, on voit évidemment qu'il est remplacé dans la somme des angles intérieurs par celle «^s angles DEC , CEB, BEA , AEF, et que , réuni à cett^,del^K nière, il forme quatre droits (13).

THÉORÈME. ff

83. Si Von prolonge flans le même sens, comme dans le premier polygone de la fîg. 48, tous les côtés d'un' polygone qiii na point d'angles rentrants, la somme

DR GÉOMÉTRIK. 55

des angles extérieurs formés par chaque côte, et par le prolongement de celui qui lui est contigu, est égale à quatre droits, quel que soit d'ailleurs le nombre des côtés du polygone»

Démonstration. — Chaque angle extérieur, comme aÂB, réuni avec Tintérieur BiVF auquel il est adjacent. forme une somme égale à deux droits, et qui se trouve répétée, pour tout le polygone, 'autant de fois quil a de côtés ou d'angles : la somme des angles , tant extérieurs qu'intérieurs, vaudra doue autant de fois deux droits que le polygone a de côtés. Retranchant de cette somme celle des angles intérieurs, égale à autant de fois deux droits que le même polygone a de côtés moins deux , il restera deux fois deux droits ou quatre droits pour la somme des angles extérieurs.

84. Remarque. — Deux polygones sont égaux lorsqu'ils sont composés d'un même nonJjre de tii angles égaux ci semblablement disposés ou assemblés de la même manière ; car il est évident que, placés Tun sur l'autre, ces polygones se couvriront parfaitement.

THÉORÈiME.

85. Lorsqu'on connaît tous les côtés d'un pol) go ne. à l'exception d'un seul, et quon connaît aussi les angles compris entre les côtés donnes, le polygone est déterminé et peut être construit.

Démonstration. — En eflct, si dans le polygone ABCDEF on connaît les côtés AB, BC, CD, DE, EF ei les angles qu'ils comprennent , on pourra , sur A'B'= AB. faire au point B' l'angle A'B'C'= ABC, puis prendre B'C'=BC-,faireaupointC',surB'C',rangleBr/I>=:BCD. puis prendre C'D'=CD; faire au point !)', sur CD'. Tangle C'D'E' = CDE, puis prendre D'E'=:DE; faire au point E', sur D'E', Tangle D'ET'^ DEK, et prendre