G ÉLÉMENTS

onfln E'F' = EF. Étant parvenu ainsi au point F', il n'y aura qu'une seule manière de le joindre avec le point A', et de fermer le polygone A'IVC'D'E' F'.

Il est visible que ce polygone sera égal , dans toutes ses parties, au polygone ABCDEF; car si on le porte sur ce dernier, en plaçant AB' sur AB, à cause de l'égalité des angles ABC et A'B'C, le côté B'C tombera sur son égal BC ; et continuant ainsi ^de proche en proche , on reconnaîtra que les points A', B', C, D', E', F' tomberont respectivement sur les points A, B, C, D, E, F : d'où il suit que les deux polygones se couvriront parfaitement.

86. Remarque, — H y a plusieurs autres cas d'égalité entre deux polygones -, je n'ai voulu donner dans le précédent qu'un exemple de cette égalité , pour montrer qu'un polygone d'un nombre quelconque N de côtés , et renfermant, par conséquent, un nombre N d'angles, ce qui fait en tout a N choses , est déterminé par la connaissance de 2 N — 3 de ces choses. On observera ici , comme on l'a dû remarquer dans les différents cas d'égalité des triangles, que les N angles ne doivent compter que pour N — i données, puisque leur somme est toujours donnée (82).

87. On nomme polygones semblables ceux dont les angles sont égaux, et dont les côtés homologues (ou senxblablement placés) sont proportionnels.

THÉORÈME

88. Deux polygones composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun j et semblablement disposés^ ont leurs angles égaux chacun à chacun, leurs côtés homologues proportionnels y et sont, par consé-^ quenty semblables.

Démonstration, — Soient BAEDC et baedc {fig> 5i) les polygones proposés 5 les triangles ABC, abc ^ étant semblables, ont leurs angles égaux : ainsi l'on a

DE GÉOMKTIUK. 5*]

Par la même raison, les triangles ACE et ace donnent CAE = cae , CE A = rea ;

d'où îl suit que l'angle BAE , formé des angles BAC et CAE dans le premier polygone, est égal à l'angle èae, formé des angles bac et cae dans le second. On prouvera de même l'égalité des angles AED et aed^ EDC et erlc^ (piant aux derniers angles BCD et bcd^ il est visible qu'ils sont égaux, puisqu'ils sont formés, l'un des angles BCA, ACE, ECD, l'autre des angles bca^ acc^ ecd^ qui sont respectivement égaux aux premiers , comme angles homologues de triangles semblables.

En formant les proportions qui résultent de la similitude des triangles ABC et abc^ ACE et ace^ ECD et ecd^ on aura

BC : hc :: ab : ab :: ac : «c,

AC: «c :: AE ifl^ :: CE : ce y

CE : c<? : : ed : <?rf :: cd : cd.

Le premier rapport de chaque suite, formé par les côtés qui sont communs aux triangles adjacents, étant le même que le dernier de la précédente , ces rapports sont tous égaux entre eux ; en ne prenant donc que ceux qui contiennent les côtés des polygones, il viendra

BC : ^c : : AB : fl^ : : AE : flrc : : ED : erf : : CD : crf,

ce qui prouve que les côtés homologues sont proportionnels.

89* Lorsque deux polygones sont semblables^ ils sont composés JCun même nombre de triangles semblables, cliacun à chacun, et semblablement disposés.

Démonstration. — Puisque , par l'hypothèse , les angles de l'un des polygones sont respectivement égaux à ceux de Tantre, et les côtés homologues du premier sont proportionnels à ceux du second , on aura d'abord l'angle r>

f)8 KLKMKlNIS

é^ai à I aiit^lr A, vi

BC : in- :: ab : ab-,

d'où il suil que les triangles ARC et alfc sont semblables (tJG) : les angles BAC et hac seront donc égaux. Si on les retranche des angles HAE et bae^ égaux comme apparlenant aux polygones , les restes CAE et cae seront égaux : de plus, les triangles semblables \\\C et abc donuani A\\ : ab II AC : ac. et les polygones AH l ab II AE : ac^ on aura

AC : ne : : AE : ae ;

d'oii il suit que les triangles CAl^, cae sont encore semblables (60). On prouvera de môme la similitude de tous les triangles de chacun des polygones , en quelque nombn* (jiu* soient ces triangles.

PROBLÈME

90. ConstriùiVy sur une ligne donnée, un polygone semblable à un polygone donné.

Solution, — Soient bc et BAEDC la droite et le polygone donnés ; on fera sur bc , par l'un des procédés du n° 68, un triangle abc semblable au triangle ABC , ce qui déterminera le point a. Pour avoir le point e, on fera de môme sur ac un triangle cae semblable au triangle CAE, et ainsi de suite. Le polygone abcde sera semblable au polygone ABCDE, puisqu'ils seront composés l'un et l'autre d'un même nombre de triangles semblabfes châèttn k chacun, et scmblablement disposés.

Si l'on portait le côté bc sur IK] , de C en i', il si^lraitt de tirer par le point b' la droite b'a' parallèle à BÀ^ ^|îs par le point a' la droite a'e' parallèle à AE, etc.^ pour fonmer les triangles b*Ca\ a'Ce' ^ etc., respcctiveioenl semblables aux triangles BCA , ACR, ete.*, le poljgono h'a'c'd^Q serait construit ainsi sur le rôié donné, et serait semblable au polygone BAKD('.

DK GKOMKTUIE. ^i)

91. liemaiyuc. — Dans ce ([iii piccùilr, j'ai iiiciic toutes les diagonales d'un même angle ; mais on peut partager les polygones en triangles de plusieurs autres manières, et les propositions ci-dessus s'étendent également a ces cas , parmi lesquels il en est un qu'il est bon de connaître : c'est celui où on lie tous les angles du polygone aux deux extrémités de l'un de ses côtés. Ce cas est représenté dansla^fg^. Sa, où Ton a joint les points C, D, E. aux points A et B par des diagonales.

I**. Il est clair que la position des trois premiers est fixée, à l'égard de la droite AB, dès que les triangles ABC, ABD, ABE sont donnés^ et l'on voit bien évidemment de cette manière que , pour déterminer un polygone, il ne faudra qu'un nombre de triangles moindre de deux unités que celui des angles ou des côtés du polygone. On voit aussi que si N désigne ce dernier nombre , la détermination de la figure dépendra des 2 (N — 2) lignes menées de chacun dès angles de la base et de cette base 5 ce qui fait en tout 2 N — 3 données (86).

2°. On démontrera sans difficulté, à peu près comme dans les n^* 88 et 89, que si les triangles ABC et aie, ABD et ahd^ ABE et abe sont respectivement semblables, les polygones ABCDE et abcde le seront aussi, et que, réciproquement, si ces polygones sont semblables, les triangles correspondants le seront eux-mêmes (i).

(1) L'art de lever les plans n^est que celui de construire sur le papier des polygones semblables à ceux que forment sur le terrain les points 4ont on veut connaître les situalions KspcctÎTes. On \oit quHl doit se réduire, en dernière analyse, à concevoir ces points liés entre eaz par dae triangles^ et à mesurer sur ces triangles ua nombre suffisant d^augles ou de côtés pour pouvoir en faire de semblables sur le papier, suivant les procédés du n^ 68. Voilù tout ce qn^on peut dire sans entrer dans le détail des instruments propres à mesurer les uu{;les, dotai! déplace dans le.^ Utûtés généraux , h peu près iQintclli{>iblc pour les personnes qui n^ont pas vu ces instrument», et superflu pour cclleH qui les connaissent.

f)0 KLÉMKiNTS

THÉORÈME

92. Si Von tire, dans deux polygones semblables y deux droites qui soient semblablement placées dans chacun d'eux, c^cst-à-dire qui passent par des points semblablement placés sur les côtés homologues, et qui fassent ai^ec ces côtés des angles égaux entre eux ou bien qui coupent, dans chaque polygone, deux côtés homologues en parties propojtionnclles , ces droites seront proportionnelles aux côtés homologues des polygones.

Démonstration, — Soient les droites GF et g^ menées par des points G et g" où l'on ait BG \hg \\ AB : ai, et sous des angles FGB elfgb qui soient égaux 5 les triangles BGC et bgc seront alors semblables, à cause des angles égaux B et i et des côtés BG et bg proportionnels à BC et à ic, puisque les uns et les autres le sont à AB cl à ab : on a donc

GC : ^c : : BG : bg, ou : : ab : ab, et

BCG = bcg, CGB = cgb.

On conclut de là que GCF, ou BCF — BCG, est égal à gcf ou à bcf — bcg\ et parce que FGB =:fgb^ on. aura CGF, ou FGB — CGB, égal à cgf ou èifgb — cgb : le^ triangles FCG elfcg seront donc semblables et donneront

FG:/^::FC:/c :: GC:^c ou iiABiab,'

puisqu'on a ci-dessus GC l gc II AB l ab.

Si, au lieu de faire les angles FGB elfgb égaux j'iftj^ prend les points F et/de manière que FC ifc :: BG : Gg^ les triangles FCG Glfcg seront alors semblables .comme *, ayant un angle égal compris entre des côtés proportion* nels^ on tirera les mômes conclusions que ci-dessiis, et l'on prouvera, dans ce ras, l'égalilo des angles FGB

DK GÉOMÉTHIK. Gl

THÉORÈME

93. Les contours de deux polygones semblables sont entre eux comme les côtés homologues de ces polygones.

Démonstration. — Les polygones semblables ABCDE, abcde donnent cette suite de rapports égaux :

AB : ab :: BC : bc :: CD : rr/ :: de : de :: ae : ac^, on en conclura

ABH-BCH-CD-i-DE-i-AE:«^4-^cH-r('/H-^/tfH-flé?::AB:rt/^ c'est-à-dire que

le contour ABCDE : au contour abcdc W AR \ ah.

De la llsne droite et du eerele.

94. On a vu dans le n** 28 que Ton ne pouvait mener d'un môme point à une droite donnée trois droites égales \ il résulte évidemment de là qu'une droite et un cercle ne peuvent se couper en plus de deux points.

Toute droite qui coupe la circonférence du cercle, et qui est prolongée en dehors , se nomme sécante. EF [fig. 53) est une sécante.

La partie CD de cette droite , comprise dans le cercle , se nomme corde.

95. On dit que la corde CD qui passe par les extrémités d'un arc quelconque du cercle CGD sous-tend cet arc ; mais il faut observer que la même droite est aussi la corde de l'arc CEID qui , joint à CGD, compose la circonférence entière. Lors donc que le premier arc sera moindre que la demi-circonférence , le second sera nécessairement plus grand.

96. Lorsqu'une corde passe par le centre du cercle , ou lui donne le nom de diamètre. La droite AB, qui passe par le point O, est un diamètre. •

Tous les diamètres du cercle sont égaux, puisqu'ils sont

Ci Él.ÉMENTS

composés de deux rayons, et que tous les rayons sont égaux. Il est visible que le diamètre est la plus grande des droites que l'on peut tirer dans la circonférence du cercle, puisque toute autre corde CD est moindre que la somme des deux rayons menés par ses extrémités (15).

97. Le diamètre AB partage la circonférence en deux parties égales ; car si Ton plie la figure le long de la droite AB, la partie AGB de la circonférence doit se confondre avec la partie AHB, sans quoi tous les points de l'une ou de Tautre ne seraient pas également éloignés du centre O.

Le même raisonnement prouve aussi que deux cercles décrits du même rayon sont égaux *, car il en résulte que si l'on place le centre de l'un de ces cercles sur celui de l'autre, leurs circonférences doivent se confondre.

THÉORÈME

98, Si Von porte un arc quelconque de cercle sur un autre arc du même cercle ou d'un cercle décrà du même rayon que le premier^ de manière que deux points quelconques de Vun des arcs tombent sur Vautre^ et que les cons^exités soient tournées du même côtéy le plus petit de ces arcs se confondt^a dans toute son étendue avec le plus grand.

Démonstration, — En effet, si l'on porte l'arc A!C ifig' 54) sur AC, en mettant le point A' sur le point A, cl que le point C' tombe en C, la corde A'C couvrira exactement AC^ et comme les rayons O'A' et O'C sont égaux aux rayons OA et OC, le point O' se trouvera sur le point O (20)5 dès lors, tous les points de l'arc A'C doivent tomber sur ceux de l'arc AC, puisque les uns sont autant éloignés du centre O' que les autres le sont du centre O : donc l'arc A'C se confondra avec Tare AC (i).

(i) La propriété de la circonférence du cercle, démontrée ci-dessus , est d^autaot plus remarquable qu'elle n^appartient qu'à cette courbe et à I»

DE (JKOMITRIK. tVi

99. Corollaire. — 11 suit ili? là «[lU! , dans le iiuiiie cvirlc ou dans deux cercles décrits du même layon, les ares dont les cordes sont égales , sont égaux , pourvu toutefois qu'ils soient de même espèce, c'est-«i-dire qu'ils soient tous moindres que la demi-circonférence ou tous plus grands. Eu effet, lorsque les cordes sont placées Tune sur l'autre , comme dans le cas précédent, les arcs se couvrent exactement.

La proposition réciproque est également vraie, c'est-àdire que quand les arcs sont égaux (dans un même cercli^ ou dans les cercles décrits du niùme rayon), les cordes sont égales; car les arcs étant posés l'un sur l'autre el se couvrant exactement, les extrémités du premier s(^ confondent avec celles du second. Ainsi, l'arc A'C étant placé sur l'are AC , de manière que le point A' soit sur A , le point C soit sur C, les droites AC et A'C s(» coua rem exactement et sont égales.

THÉORÈME

100. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, le plus grand arc a la plus grande corde^ et réciproquementy poun^u toutefois que les arcs que l'on compare soient moindres que la demi-circonférence.

Démonstration, — i**. L'arc AE étant plus grand que l'arc AC, l'angle AOE sera visiblement plus grand que Fangle AOC , et , par le n° i 9, le côté AE du triangle AOE sera plus grand que le côté AC du triangle AOC , puisque ces triangles ont, chacun à chacun, deux côtés égaux;

2°. La corde AE étant plus grande que la corde AC, l'angle AOE sera plus grand que l'angle AOC : Tare AE surpassera donc Tare AC.

ligne droite, et qu'elle rend évidente la similitude de toutes les parties do la circonférence du cercle ou Puniformité de sa courbure. Telle est la raison qui m'a engagé à donner à cette proposition un énoncé différent de celui qu'on trouve dans la plupart des livres élémentaires, et qui fait Tolijet du corollaire suivant.

PROBLÈME

101. Deux arcs du même cercle ou de cercles égaux étant donnés y troui^er le rapport de leurs longueurs.

Solution. — 11 est évident que la question proposée se résoudrait comme celle du n*^ 5, si l'on pouvait porter les arcs de cercle l'un sur l'autre, comme on le fait pour des droites -, mais une pareille superposition ne pouvant avoir lieu dans la pratique , on y supplée par celle des cordes qui, lorsqu'elles sont égales, correspondent à des arcs égaux. La corde de l'arc CD {Jig' 55) pourra être portée deux fois sur l'arc AB, de A en E; et l'arc AE, déterminé ainsi, sera composé de deux parties Ad et rflE, égales chacune à CD : on aura donc

AB = 2CDh-EB.

On prendra la corde du reste EB pour la porter sur l'arc CD, de C en F, ce qui s'effectuera une fois, et laissera pour reste l'arc FD 5 d'où il suit

CD = EB -h FD.

Enfin, la corde du second reste FD pouvant se porter quatre fois sur le premier EB, on aura