EB = 4FD
En remontant de cette dernière valeur à celle des arcs précédents , on obtiendra
EB = 4FD, CD = 5FD, AB = i4FD;
l'arc FD, commune mesure des arcs AB et CD, étant contenu i4 fois dans l'un et 5 fois dans l'autre, on en conclura que les arcs proposés sont entre eux comme les nombres i4 et 5.
L'opération se termine ici, comme pour le cas des lignes droites, lorsqu'on trouve un reste qui est contenu
I)K (iKO.MKTIlIi:. GS
exactement dans lo pm.Tclcnl, ou qui est tel ((ne Ir vosic suivant échappe aux sens par sa petitesse ( i).
102. Remarque, — Si l'on conçoit qu'une droite AR (^g^. 56), qui coupe le eerele en deux points A et B, tourne autour de Tun de ces points, de A par exemple. et qu'en tendant à sortir du crreltî elle prenne des positions telles que W\\ on \oit que les points d'intersection de la droite et du cercle se rapprochent sans cesse, et qu'enfin îl y a une dernière position AC dans laquelle ces deux points étant réunis en un seul, la droite n'a plus qu'un point de commun avec le cercle, ou ne fait que le toucher. Dans cette position, la droite AC est tangente au cercle.
THKORÈME.
lOîl. La perpenfh'culaire menée par un point de la circonférence du cercle, sur le rayon qui passe par ce point y est tangente au cercle; et, réiciproquement, la tangente à un point quelconque de la circonférence esi perpendiculaire à V extrémité du rayon mené par ce point.
Démonstration. — La ligmî AB {fg* :*>7), perpendiculaire sur le rayon AO, au point A, a tous ses autres points plus éloignés du centre O que ne l'est le point A , puisque toutes les droites menées d'un côté ou de Taulre, comme OB et OC, sont des obliques nécessairement plus longues que AO (28). Les points V* et B sont, par conséquent, hors du cercle, et la ligne AB, n'ayant qu'un seul point A de commun avec la circonférence DA, est tangente.
Il est aussi facile df» voir que la tangente au point A ne
(i) Celle manière de délcnninor le rapport de deux arcs de cercle so IroiiTedans les Mémoires de V Académie des ScieuccSy année 1724» P- 25o.
On peut aussi comparer un arc quelconque à la circonférence cnliére, en portant la corde de Turc , toujours dans le môme sens , ju8qu''à ce qu''ori retombe sur le point d^où Ton est parti , et notant le nombre do fois qu'ori a paroourn la circonférence. Si, par cet exemple, cet arc répété 8 fois remplit 3 fois la circonfcrence, il en sera évidemment les 7. CFOMlf.TRlK, l6' édit, C)
GG Ér.ÉMEisrs
peut être ((uc la ilroilo AH porp(?ii(Ik'iilaiie sur AO; car celle taiigcTitc n'ayant do commun avec la circonférence que le point de contact A, et tous ses autres points étant plus éloignés du centre que celui-ci, il s'ensuit que le rayon AO est la plus courte ligne qu'on puisse mener du centre sur la tangente, et que, par conséquent, il est perpendiculaire sur cette tangente.
104. Corollaire. — 11 suit de là que Ton mène une tangente à un point donné A de la circonférence d'un cercle DAE, en élevant une perpendiculaire AB à Textrémîté du rayon qui passe par ce point.
THÉORÈME
i05. Toute droite CD (fig. 58), élev^ée perpendiculairement sur le milieu d'une corde AB, passe par le centre O du cercle et par le milieu C de l'arc sous-tendu par cette corde.
Démonstration, — Puisque CD est, par l'hypothèse, perpendiculaire sur le milieu de AB, elle doit passer par tous les points également éloignés des points A et B^ et le centre O est un de ces points , car il est à égale distance des extrémités A et B qui sont sur la circonférence ACB. Le point C , où la perpendiculaire CD rencontre la circonférence , étant également éloigné des extrémités A et B de Tare ACB, les cordes AC et BC «eront nécessairement égales; les arcs sous-tendus par ces cordes seront donc égaux (99) 5 le point C sera donc le milieu de l'arc ACB : donc la droite CD passera par le centre O et par le milieu de l'arc sous-tendu par la corde AB.
i06. i®"^ corollaire. — i^. Puisque deux points suffisent pour déterminer la position d'une droite (3), et que le milieu d'une corde , le centre du cercle et le milieu de l'arc sous-tendu par la corde sont toujours sur la même droite , il s'ensuit que lorsqu'on sait qu'une droite donnée passe
1)K GÉOMKTUIE. ti-j
par deux de ces points, ihi ou doit roiirlurr qu'elk* passe nécessairement par \c iroisièmo.
a**. Comme on ne peut . d'un point donné , al)aisscr sur une droite qu'une seule perpendiculaire (32), il est encore thrident, par ce qui précède, que toute perpendiculaire abaissée du centre ou du milieu d(» Tare sur la corde tombera sur le milieu de cett(î droite.
107. a® corollaùv. — Il suit encore du théorème précédent que, pour diviser un arc en deux parties égales , il suffit d élever une perpendiculaire sur le milieu de la corde qui sous-tend cetartî, puisque cette peq)endiculaire passera par le milieu de Tare proposé.
THÉORÈME
108. Les arcs interceptés dans un même cercle, entre riûux cordes parallèles ou entre une tangente et une corde parallèle^ sont égaux.
Démonstration. — Si les cordes BC, DE et la tangente FG (fig- 59) sont parallèles , et que Ton joigne le centre O et le point de contact A par un rayon , ce rayon, étant perpendiculaire sur la tangente FG (103), le sera aussi sur les cordes BC et DE (42) 5 il divisera en deux parties égales les arcs BAC et DAE5 et , par conséquent , si des arcs AB et AC, égaux comme moitiés de l'arc BAC, on retranche les arcs AD et AE, égaux comme moitiés de l'arc DAE, les restes BD et EC seront égaux , ce qui est la première partie de l'énoncé du théorème : Tégalité des arcs A \) et AC
prouve la seconde.
THÉORÈME
109. Si des sommets O et O' de deux angles AOC et A'G'C (fig. 60) on décrit deux arcs de cercle du même rctfon^ le rapport des arcs compiis entre les côtés de chaque angle sera le même que celui de ces angles.
Démonstration. — Si les arcs AC et A'C ont une com-
()8 KMÔMKNTS
luunc iiirsure AB = \' B', m portant celle commune mesure sur chacun autant de fois qu'elle y est contenue, on les divisera lous deux en parties égales 5 et si l'on joint les difFércnts points de division avec le sommet de l'angle correspondant par des droites comme OB et O'B', on partagera les angles AOC et A'O'C/ en autant de parties égales que les arcs AC et A'C en contiennent.
En efl'et , les cordes AB et A' IV étant égales , les triangles AOB et A'O'B' seront égaux comme ayant tous leurs côtés égaux chacun à chacun (20), puisque d'ailleurs les droites OA , OB, O'A' et O' B' sont égales comme rayons de cercles égaux : Tangle AOB sera donc égal à Tangle A'O'B'. Cela posé, les angUîs AOC et A'O'C, comprenant chacun autant d'angles égaux à AOB que les arcs AC et A'C contiennent de parties égales à AB, seront évidemmeni dans le même rapport que ces arcs , et auront pour commune mesure l'angle AOB.
Le raisonnement précédent exige que les arcs AC et A'C soient commensurablcs eRtre eux 5 maïs la proposition aurait également lieu quand même ils seraient incommensurables, car on ne peut supposer que les angles AOC et A'O'C {fig. 61) soient dans un rapport plus grand ou plus petit que celui de ces arcs.
Si, par exemple, au lieu d'avoir cette proportion,
AOC: A'O'C :: AC: A'C,
on avait la suivante :
AOC: A'OT/:: kC\Md,
l'arc h!d étant plus grand que A'C, et qu'on divisât l'arc AC en parties égales assez petites pour qu'étant portées sur l'arc A'C, un des points de division e tombât entre C et /7, on aurait entre les angles AOC, A'O'e et les arcs AC et A'e, respectivement commensurablcs, cette proportion :
AOC: A'o'^ :: AC: a'^,
DK (;i?:(>MKTHii':. 69
dont les antécédents sont les mruies ([ue ceux de la précédente, ce qui donnerait, par consé([uent^
A'O'C: A'ov :: aV: av,
résultat absurde, puisque A'OT/<; A'O'r, et que AW^- AV.
Si Ton prenait l'arc AV/' moindre que A'C/ • on n'aurai l
pas non plus
AOC : A'O'C':: ac : av/';
car, pour le point de division c' ^ on aurait
AOC: A'OV':: ac : aV;
d'où îl s'ensuivrait, comme ci-dessus,
i*ésultat encore absurde, puisque
