Construire un carré sur une ligne donnée AH (tig.Si
Solution. — Il faut élever sur les extrémités A et B de cette droite deux perpendiculaires AD et BC, que l'on fera égales à AB -, joignant leui*s extrémités C et D par une droite , on aura le carré demandé ABCD.
En eflet, les côtés AD et BC étant parallèles et égaux, il en sera de même des côtés DC et AB (54) : les angles ADC et BAD, internes d*un même côté, valant ensemble deux droits (47), et le second étant lui-même droit par construction, le premier sera droit aussi ^ on prouvera la même chose pour BCD, en le comparant avec ABC.
PROBLÈME
1-45. Inscrire dans un cercle les polygones de 4^ 8, 165 32, 64, etc. y côtés.
Solution. — La question se réduit à inscrire d'abord celui de quatre côtés , puisque les autres se formeront par son moyen , d'après le n*' 1 41 .
Pour inscrire dans le cercle ABCD [fig^ 84) un carré, il faut, perpendicidai rement à un diamètre quelconque AC , en élever un autre BD, ce qui déterminera sur la circonférence quatre points A, B, C, D, lesquels, étant joints par des droites , formeront le carré demandé.
En effet, les angles ABC, BCD, etc. , sont tousdroits(1 14), et les côtés AB, BC , CD, AD sont égaux comme étant les hypoténuses des triangles rectangles AOB, BOC, COD, DOA, visiblement égaux entre eux (16).
Le triangle rectangle AOB donnant
AB z= A0*4- B0"=: 2A0" puisque AO = BO, on en conclura AB = AO \/2 ;
DE GKOMÉTniK. glî
et en prenant le rayon AO pour unité, il viendra seulement
AB=: V^(i).
Sî l'on substitue eette valeur dans celle de AR' (l'H),
(i) Le procédé pour obtenir AB étant rigoureux, il 8''ensuitquo la Gcométrie donne exactement la grandeur de rincommensurable ^3, que Ton ne peut obtenir que par approximation a?ec 1c secours des nombres : mais il faut observer qu^alors le nombre cherché n^est que Texpression du rapport de AB aTec AO ; et s'^il était possible d'eflectuer avec une exactitude rigonrease, sur ces lignes, Popération indiquée dans le n^ S y elle ne fininit jamais; car aucune droite, quelque petite qu'elle soit, ne peut les mesurer en même temps i^une et Tautre.
Cette incommensurabilité de la diagonale avec le côté du carré, à laquelle, par une exagération assez singulière, Platon {des Lois, livre vn. vers la fin) attachait une importance telle, qu'il regardait comme indigne da nom d^omme celui qui Tignorait, se trouve démontrée à la fin du dixième livre des JÉ/emeri/5 d^Euclide, et dans plusieurs des traites modernes.
Voici comment John Leslie rétablit, en terminant le v® livre do ses Eléments of Geometty :
Soit ABC {jig, 84''') un triangle rectangle isocèle, moitié d^un carré; qn^on porte le cdté AB sur la diagonale AC, de C en £, qu''on tire BE, et qae, par le point E , on mène EF perpendiculaire sur AC , on verra que le triangle BEF est isocèle; car si des angles droits CBF et CEF on retranche les angles égaux CBE et CEB du triangle BEC, isocèle par construction, il reste les angles EBF et FEB égaux: donc EF = BF. De plus, PaDgleBAC ou FAE étant la moitié d'*un droit, il eu est de môme de l^ngle AFE : donc le triangle AEF est isocèle; par conséquent EF= A£, et est << AF. Ainsi Vexcès AE de la diagonale AC sur le côté AB est contenu dans ce côté deux fois avec un reste.
Soit AH ce reste ; comme il est dans le triangle rectangle et isocèle AEF ce qjo^est A£ dans le triangle ABC , il sera donc contenu dans AE deux fois avec un reste. Soit AL ce nouveau reste , et AHI le triangle rectangle et isocèle construit sur AH comme côté ; le reste AL sera de même contenu dans AH deux fois avec un reste, et ainsi de suite, sans que jamais Topération puisse être terminée, quoique les restes aillent toujours en décroissant : donc AC et AB n^ont point de commune mesure.
La Buite des égalités
AC= AB-hAE, AB = 2AE-hAH, AE = 2AH-+-AL, etc.
'mOTBit- dea approximations du rapport de AC avec AB, d'autant plus
puis Cécile dernière dans celle de AB", et ainsi de suite , on aura successivement la longueur des côtés des polygones de 8, 16, etc., côtés , rapportée à celle du rayon du cercle.
PROBLÈME
146. Inscrire dans un cercle les polygones de 3, 6, 12, 24, 48, etc., côtés.
Solution. — Le côté de Thexagone régulier s'offre le
exactes qu'ion In pousse plus loin ou que le reste qu'ion néglige est plus petit. Si c^est au reste AL que Ton s^arrôte , on trouvera
AH = 2AL, d'où AB=12AL, AC = 17 AL et ^=^^
Ad 12
Cette même suite conduit à une fraction continue d'une forme trèsremarquable. On a d'abord
puis on obtient
