BG :GO::GO:BO
monliY que le rayon BO est en effet partagé, au point G, on moyenne et extiH^me raison « et que AB est ^al au plus ^rand des deux serments.
Sî Von joint par dt^ droîit^s les angles du décagone , pris ile iloux en deux « on aui^ le pentagone. Je ne m*arrèterai jvis à calculer le c^té du décagone, parce que cette reohen^he i\sil plus curieuse quutîle.
\ 18. Remat^jut". — On a du s^apereevoir facilement q^ie rînscriptîon dt^ pcJygouc^ d»us lo cercle rerenait à b division de lu cîiwnféixnuv en un certain nombre de lurlîes é^;àW. I.<*s proctxles imliqués pcraur inscrire les jH>l\^\Mu\* do 4^ S* t^* 3'j. oU\. cxVtés* cenx de 3, 6, la, M* OUV-. ivux do i* ivv -^o^ 4^K oK\* serriranl i dhriser U cirwwfoivuoo d*uu i^on^o,. suivant lo$ ncmbres de ces dîv^-^^Nji pr\>^ro«^<hU$.
DK GÉOMKTIilK. 97
11 est à propos de reniai ([ucr que Toii peut aussi la diviser suivant la progression i5, 3o, 60, etc., parce que le polygone de six cAlés donnant la sixième partie de la circonférence, et celui de dix en donnant la dixiènu» partie, la dirtcrence des arcs sous-tendus par les côtés de ces polygones sera égale à ^ — ~ de la circonférence, ce qui revient à ~, En ponant donc de A en H le rayon du cercle, l'ar^ HH sera cette i5*^ partie, et sa corde sera le côté du polygone de i5 côtés, ou du pcutcdécagone. Au moyen de la division continuelle des arcs en deux parties égales, ou de leur hissection , on obtiendra les polygones de 3o, 60, etc., côtés (1).
PROBLÈME
149. Un polygone régulier cV un nombre quelconque de côtés étant inscrit dans un cercle, circonscrire à ce cercle un polygone régulier du même nombre de côtés ; et réciproquement , le polygone circonscrit étant donné, construire le polygone inscrit.
Solution, — Soit abcde [Jig- 87) le polygone proposé ^ on tirera les rayons Oa, Oè, Oc, etc., à l'extrémité desquels on élèvera les perpendiculaires AE , BA, CB, etc.: l'ensemble de ces perpendiculaires qui toucheront la circonférence du cercle abcde sera le polygone demandé.
En effet, les triangles ci\b^ ftBc, cC^, etc., sont tous
(i) Ces divisions do la circonférence du cercle ne sont plus les sciile.s qaeI*on puisse cflcctucr (rcométriqucrnent. M. F. Gauss , dans un ouvr.3^0 inlïiviXé Disquisitiones arithnieiicœ (pul)lié en 1801 à Lcipsig, et tradcit en rraoçais par M. Delisle), a prouvé que Ton peut opérer ainsi la divi» sion €■ 2" + I parties, lorsque ce nombre est premier.
En faisant successivement n é{jal à o, 1, 2, on trouve les divisions en !l, 3, $ pnrties; et pour obtenir de nouveau un nombre premier, il faut prendni r = 4» <l^oîi résulte la division en 17 parties, dont il y a aussi une démonBtralion particulière, mais qui n'est pas de nature à trouver plaee ici. Tous ces cas se ramènent à des équations du second drf;ré. \^Vez le Complément des Éléments d'Algèbre.)
• égaux et isocèles, parce que les côtés ab^ le ^ cd^ etc., sont égaux, et que les angles Aai, Aba^ B&c, Bc/^, Ccr/, Cfi?c, etc., formés sur ces côtés, comprenant des arcs égaux ab ^ bc^ cd^ etc., sont aussi égaux (H4). On aura donc»:
i». aAb = bhe = cCd = . . . ,
2». aA = Aù=zBb =z Hc = cC z=: Oi = . . .;
d'où Ton conclura
AB=:2A^. BC=:2Bc, CD = 2 O/ == . . ^
, et , par conséquent ,
AB = BC = CD=r •
Le polygone ABCDE , ayant donc ses angles égaux ainsi que ses côtés, sera tel qu^on le demande.
On déduira le polygone inscrit du polygone circonscrit en joignant les points a, t, c, rf, etc., qui sont les milieux des côtés de ce dernier, et dans lesquels il touche la circonférence.
Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que les triangles aAft, iBc, cCd^ etc., sont maintenant égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , puisque les angles A , B, C , elc, sont ceux d'un polygone régulier, et que a A , Aft, iB, etc., sont les nioitiés des côtés AE, AB, BC, etc., égaux entre eux. 11 résulte de là que les c6lés ab, bc^ cd^ etc., sont égaux , que les arcs qu'ils sous-tendent le sont aussi ^ et que, par conséquent, les angles abc^ bcdj etc., dont le sommet est à la circonférence, et qui comprennent entre leurs côtés un même nombre de ces arcs, sont ^aax entre eux (114). Le polygone abcde^ ayant ses aoglts et ses côtés égaux , est donc le polygone inscrit denuLiid^.
On pourrait aussi former le polygone inscrit afV^d^^^ qui ne diffère de abcde que par sa pûsitio** droites AO, BO, CO, etc., 4»
conscrit ABCDE au centre du cercle inscrit, et joignant les points a'^ b\ c\ etc., où ces lignes rencontrent la circonférence de ce même cercle. En effet, puisque AO = BO, a'O = b'O, on aura
AO'.a'O :: BO: ^'O;
par conséquent , la droite a'b' sera parallèle h AB (60), •ot les triangles AOB, a' Ob' seront semblables*, il en sera de même de BOC et de i'Oe', et ainsi de suite : les côtés a'b\ b'c\ c' d\ etc., étant homologues à AB, BC , CD, etc., seront donc nécessairement égaux entre eux; et l'on prouvera, comme ci-dessus, qu'ils comprennent des angles égaux.
150. Corollaire. — On peut trouver, d'après ce qui précède, la valeur du côte AB du polygone circonscrit. En effet, les droites ka et Ab étant égales (149), ainsi que Oa et Oi, la ligne AO est perpendiculaire sur le milieu, G, de ai (29) , et les triangles OGa et OAa sont semblables, comme ayant chacun un angle droit, l'un en G, l'autre en a, et un angle commun en O. On tire de là
OG :0a :: aG : flA ,
ou puis
oCx :0a :: {ab : |ae,
ah X 0//
AE on AB =: "-^
y/Oa"—{{aby en observant que le triangle rectangle OGa donne
OG = \'Oa'^aG'= \J0a' ^- {\aby.
