Remarque, — Il est important d'observer qu'à

mesure qu'on multiplie les côtés du polygone inscrit,

son contour augmente, tandis que celui du polygone;

cipçonscrit diminue dans la même circonstance. En effet,

ailieu a' de l'arc aa'b (/ig, 88) on tire les cordes

TfU aura deux côtés consécutifs du polygone

lOO ÉLÉMENTS

inscrit, (Fun nombre de cotés double de celui des cotés du polygone auquel appartient ab. Tirant ensuite A'B' perpendiculaire sur a'O, les droites aA', A'a', a'B', Wb seront des demi-côtés du polygone circonscrit correspondant à celui dont aa' fait partie (149). Maintenant il est visible que les portions aA6, «A'B'è, ab^ aa' b seront contenues dans les polygones dont elles font partie , autant de fois que l'arc aa' b Test dans la circonférence entière, et seront, par conséquent , des parties semblables de cbaque polygone^ et puisque aa' + a'b^ab^ le contour du second polygone inscrit surpassera celui du premier. Ensuite, de ce que A'B'<^AA'-i- AB', il résulte (15)

riA'B'/^<flA-f-^A,

et que, par conséquent, le contour du second polygone circonscrit est moindre que celui du premier.

Cela posé, puisque le polygone inscrit, toujoius moindre que le polygone circonscrit correspondant, augmente de contour quand on multiplie ses côtés, tandis que celui-ci diminue, il en résulte que la di/Térencc entre les deux polygones décroît aussi dans la même circonstance. On peut même, quelque petite que soit la quantité donnée cJ, trouver deux polygones , l'un inscrit, l'autre circonscrit, tels que la différence de leurs contours soit moindre que cette grandeur. Pour s'en convaincre , il faut se rappeler que les contours de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les rayons des cercles auxquels ils sont circonscrits (140) j car, si l'on désigne par P le contour du polygone ABCDE {fig- 87), et par p celui du polygone ahcde , on aura

d'où l'on conclura

P — ^:P :: o^ï — OG : Ort, et p-y;^ '''^^^ .

DE GÉOMÉTRIE. ÎOI

Maïs rien ne s'oppose à ce que Ton rende a'O plus petit que telle grandeur donnée qu'on voudra 5 car, ayant porté sur le rayon Oa' une partie a' G de la petitesse demandée, et tiré la corde ah , si l'arc aa' b n'est pas aliquote de la circonférence, îl n'y aura qu'à prendre une partie aliquote moindre que cet arc , et la ligne analogue à a'G sera encore plus petite.

On peut donc , en multipliant autant qu'il sera nécessaire les côlcs du polygone inscrit, rendre la quantité P — p aussi petite qu'on voudra.

152. Corollaire, — Puisque, d'après ce qui précède, les contours des polygones circonscrits diminuent sans cesse à mesure qu'ils approchent de la circonférence du cercle, tandis que ceux des polygones inscrits augmentent toujours dans la même circonstance, il est visible que la circonférence du cercle est moindre que le contour du polygone circonscrit, et plus grande que celui du polygone inscrit. Cette circonférence différera donc moins de l'un quelconque de ces contours , qu'ils ne différent entre eux , et l'on pourra , par conséquent , trouver un polygone, soit inscrit , soit circonscrit, tel que la différence entre son contour et la circonférence du cercle soit moindre qu'une grandeur donnée, quelque petite qu'elle soit.

C'est sur cette propriété que repose le procédé qu'Archimède employa pour parvenir à déterminer d'une manière approchée le rapport de la circonférence au diamètre ^ et j'en ferai un usage semblable , lorsque j'aurai montré que ce rapport est le môme dans tous les cercles : pour cela , j'établirai un théorème qui pourra s'appliquer à toute proposition du genre de celles que j'ai à démontrer.

THEOREME.

153. Si deux grandeurs invariables A et B sont telles, guon puisse prouver que leur différence A — B est