C : C :: 2R : 2R', ou :: d : d

en appelant D et D' les diamètres des cercles pro* [)osés (i).

155. Corollaire. — La proposition précédente fait voir que le rapport de la circonférence au diamètre est le même dans tous les cercles, et qu'on peut, au moyen

(1) Ceci peut so prouver immédiatement de plusieurs manières, par des raisonnements analogues à ceux du n^ i>8, en observant que, quelque peu différents que soient Tun de Tautre deux cercles, on peut toujours concevoir un polygone régulier plus grand que Pun et plus petit que Tautre. Cette proposilion, qui résulte évidemment de ceUe du n° 1IS8, a été présentée par Euclide (liv. XU, proposit. i6) sous une forme trèsélégante. Cet auteur suppose qu^on ait décrit les deux cercles d^un centre commun O' {Jîg. 89). U est visible alors que si Ton mène la tangente MN au cercle intérieur, et qu'ion prenne sur lo cercle extérieur une partie ^liquote moindre que Parc MQN, le polygone D'E'F'G' H' construit sur cette partie n'atteindra point la circonférence du petit cercle.

Voici comment Maurolycus , auteur d^un Commentaire très-estimé sur Arcbimë(]e, imprimé à Panorme en Sicile, sous la date de i685y s^est servi de cette remarque (pages 5 et suivantes) pour démontrer la proposilion ci-de!isiiis :

Si Ton n'avait pas C : C :: DO : d'O', mais C : C :: DO : D'O', D'O' étant > J'O', on décrirait sur D'O' un cercle concentrique au cercle C, et Ton inscrirait dans le premier un polygone D'E'F'G'H' qui n'atteignit }Kis le second : comparant ce polygone à son correspondant DËFGH dans

fo4 ÉLÉMENTS

de ce rapport, calculer la longueur d'une circonférence dont on connaît le rayon. En effet, si i: désigne ce rapport, ou , ce qui revient au même, la circonférence du cercle dont le diamètre est pris pour unité, on aura cette

proportion :