X:DO:: d'0':Z, il en résulterait

C':C :: d'O'rZ;

mais, par Tavant- dernière proportion, on aurait Z> DO, à cause de X <.d'0'. Ainsi, dans la dernière, le quatrième terme surpasserait le rayon de la circonférence qui forme le second terme, ce qui a été prouve absurde dans le premier cas de la démonstration.

L'avantage qu'on peut trouver à ce tour de démonstration, qui est, comme on le voit, très-ancien, c'est qu'il met en quelque sorte sous les yeux le polygone qu'il faut considérer.

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de polygones qu'on sait inscrire, le contour d'un certain nombre des premiers et le contour des polygones circonscrits correspondants. On aura, par ce moyen, deux suites de nombres, les uns plus petits que la circonférence, les autres plus grands 5 et l'on s'arrêtera lorsque la différence des nombres correspondants des deux suites sera devenue moindre que le degré d'approximation qu'on veut obtenir dans la valeur de la circonférence. Je vais appliquer à cette recherche les polygones de 6, 12, 24? ^tc, côtés, inscrits et circonscrits au cercle dont le rayon égale I .

Soient d'abord a le côté d'un polygone inscrit quelconque, A celui du polygone circonscrit correspondant, a'« enfin celui du polygone inscrit comprenant le double de côtés du premier 5 on aura (150)

et (141)

«' = v'2 (i — v^i — jfl' = v^2 ■— \/4 — «*•

En commençant par l'hexagone inscrit , où a = i , on

trouvera A =-^« Le contour de Fhexagone inscrit sera,

par conséquent , 6 , celui de l'hexagone circonscrit — \

et la circonférence se trouvera comprise entre ces deux nombres : on obtiendra des limites plus resserrées en passant aux polygones réguliers de 1 2 côtés et aux suivants. Soient donc a\ a"^ a"\ etc., les côtés des polygones inscrits de 12 , de 24, de 48, etc., côtés. A', hl\ hl'\ etc., les côtés des polygones circonscrits correspondants : le rayon du cercle étant i , sa circonférence sera iiz (155) \ et si , pour abréger, on pose

lo6 ÉLÉMEWIS

on aura , par les formules procédciiles ,

a' == sJq.

Af/

etc.

On trouvera successivement v5= i ,732050807568877 ( 1) ,

12 rf'

48 fl"

ni 6,2787004

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192 fl^