DE L AIRE DES POLYGONES ET DE CELLE DU CERCLE

158. Par la surface d'une figure quelconque, on entend la porlion d'étendue renfermée entre les lignes qui terminent cette figure. On appelle aussi cette étendue Vaire de la figure.

11 serait convenable d'aflecter spécialement le mot aire i\ l'étendue superficielle, lorsqu' on l'envisage par rapport à sa grandeur : car le mot surface s'emploie le plus souvent pour désigner la forme , abstraction faîte de toutes limites (i) : c'est ce que je ferai dans le cours de cet ouvrage.

159. Il est évident , et d'ailleurs la suite en fournira beaucoup d'exemples , que deux figures de formes trèsdifférentes peuvent renfermer des aires égales. J'exprimerai cette circonstance en disant, avec Legcndre, que les deux figures sont éifiiiualentes, et réservant la dénomination d'égales pour les figures semblables qui peuvent être superposées.

160. Dans les triangles et dans les parallélogrammes, on choisit arbitrairement un des côtés, auquel on donne le nom de base, et l'on appelle hauteur la perpendiculaire abaissée de l'angle opposé à ce côté dans le triangle , ou d'un point quelconque du côté opposé dans le parallélogramme.

(i) On dit, en cfiet, une surface courbe, par opposition au plan ou à la surface plane; et pour en déterminer retendue, il faudrait dire, la sur face d^une surface courbe, locution vicieuse à tous égards : tandis que Paire d'une surface courbe est une expression à la fois claire et correcte. En Tadoptantj'on conserve Tanalogic cstrc les lignes et les surfaces , puisque ces derniers mots s^appliquent aux formes seulement; et le mot aire devient, pour le second cas» Tanaloguc du mot longueur dans le premier.

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BD et IVD' [Jig- 90) sout les hauteurs des triangles ABC, A'IVC, en prenant les côtés AC, A'C'pour bases. Il faut remarquer que la perpendiculaire IVD', tombant en dehors du triangle A'B'C, est, à proprement parler, perpendiculaire sur le prolongement de la base.

Le sommet de l'angle opposé à la base s'appelle le sommet du triangle.

La droite IR est la hauteur du parallélogramme EFGH. Il est évident qu'elle demeurera la même, de quelque point du côté HG qu'on l'abaisse (55).

Il n'est pas moins évident que les triangles dont les bases sont sur la même droite , et dont les sommets sont sur une ligne parallèle à cette base, ont même hauteur 5 c'està-dire que les triangles compris entre les mêmes parallèles ont même hauteur. Les triangles ABC, A'B'C et le parallélogramme EFGH ont tous les trois même hauteur, puisque, entre les parallèles AF et BG, les droites BD, B'D' et IK sont égales (55).

THÉORÈME

16i. Deux parallélogrammes de même base et de même hauteur sont équwalents.

Démonstration. — Ces parallélogrammes ayant même base, on pourra poser celle de l'un sur celle de l'autre; et comme ils ont en outre même hauteur , le côté opposé à la base du premier tombera sur le côté opposé à la base du second , ou sur le prolongement de ce côté , ainsi que le montrent les deux Jig. 91, pour des parallélogrammes ABCD,ABEF.

Cela posé, les triangles ADF et BCE sont égaux , parce que les côtés AD et BC , AF et BE sont respectivement ^aux, comme côtés opposés d'un même parallélogramme, et que les angles D AF, CBE, dont les côtés sont parallèles et les ouvertures tournées dans le même sens, sont égaux. Si du quadrilatère ABED on retranche, d'une part, le

112 ÉLIÎMtNTS

triangle ADF, et de l'autre le triangle BCE., ou aura nécessairement deux grandeurs égales , dont Tune sera le parallélogramme ABEF, et l'autre le parallélogramme ABCD.

THÉORÈME

162. TJn triangle quelconque est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Démonstration, — Si , par les angles B et C du triangle ABC [fig' 92) , on mène les droites BD et CD respectivement parallèles aux côtés AC et AB, la figure ABDC sera un parallélogramme (79) ayant même base et même hauteur que le triangle proposé (160). Les triangles ABC et BCD, ayant leurs côtés AB et CD , AC et BD égaux (54) , et, en outre, le côté CB commun, seront égaux :1e triangle ABC sera donc la moitié du parallélogramme ABDC.

163. Corollaire. — Il suit de là que deux triangles qui ont même base et même hauteur sont équivalents. En effet, ces triangles seront, d'après ce qui précède, les moitiés de parallélogrammes de même base et de même hauteur, ou de parallélogrammes équivalents (161).

PROBLÈME

164. Transformer un polygone d'un ceitain nombre de côtés y en un autre qui ait un côté de moins , et qui soit équivalents

Solution. — Soit pour exemple le pentagone ABCDE (Jig. 93) ; on joindra les deux angles E et C par une droite , et par le sommet de l'angle D , placé entre les premiers , on mènera parallèlement à CE la droite DF, qui déterminera sur le côté AE prolongé un point F, lequel, étant joint au pointC, forraerale quadrilatère ABCF, équivalent au pentagone ABCDE.

Pour s'en convaincre , il suffit de remarquer que les triangles CDE, CFE, reposant sur la même base CE^

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et étant compris entre les parallèles CE et DF, sont équivalents (numéro précédent) , et que l'on obtient le pentagone ABCDE et le quadrilatère ABCF, en ajoutant successivement chacun de ces triangles au. même. quadrilatère ABCE.

Le procédé ne changerait pas , quand même le pentagone ABCDE aurait un angle rentrant, comme dans \^fig* 94 j seulement il faudrait observer, pour la démonstration , que le pentagone ABCDE et le quadrilatère ABCF se forment en retranchant du quadrilatère ABCE les triangles équivalents CDE et CFE.

11 est évident que la construction et les raisonnements qui précèdent peuvent s'appliquer à quelque polygone que ce soit.

165. Corollaire, — En effectuant sur le quadrilatère ABCF une construction semblable à la précédente, on le transformera en un triangle équivalent, et , par une suite d'opérations semblables , on transformera un polygone quelconque en un triangle équivalent. Si Ton avait , par exemple, un hexagone, on le transformerait d'abord en un pentagone , puis on ferait de celui-ci un quadrilatère, puis enfin de ce dernier un triangle.

THÉORÈME

166. Deux rectangles de mémo base, ABCD et EFGH (fig. 95) , sont entre eux comme les hauteurs (i).

Démonstration. — Ici, comme dans le n** 58, les hauteurs AD et EH dos deux parallélogrammes peuv.ent être commensurables entre elles, ou bien incommensurables.

Dans la première hypothèse, si Ton divise ces hau-

i(i} J^al changé renoncé qu^on donne ordinairement à cette proposition , ••■1 de le rendre semblable à celui de la proposition du n^ 2^15, qui est k celle-ci.

liTBiEy 16- édit. 8

Il4 ÉLÉMENTS

leurs AD et EH en parties , telles que Ad et E/i , égales à leur commune mesure , et que , par les points de division, on mène des parallèles à la base, on formera dans chacun des rectangles proposés autant de rectangles égaux q*u il y a de divisions dans sa hauteur*, car la base de tous ces petits rectangles sera égale à AB, et leurs hauteurs seront toutes égales entre elles. Le rapport des rectangles ABCD et EFGH sera évidemment égal à celui des nombres qui expriment combien il y a de petits rectangles dans l'un et dans l'autre, nombres qui sont précisément ceux des parties égales contenues dans leurs hauteurs AD et EH : on aura donc