ABCD: EFGH

Lorsque les hauteurs AD et EH sont incommensurables {Jig- 96) î on prouve que le rapport des rectangles ABCD et EFGH ne peut être ni plus grand ni moindre que celui de ces hauteurs.

En effet, si l'on avait

ABCD: EFGH :: AD : El,

El surpassant EH; que Ton conçût AD divisé en parties égales moindres que HI , et que Ton portât ces parties * sur El, de E vers 1, il tomberait nécessairement un point de division /t, entre H et L En menant, par ce point, hg parallèle à EF, on formerait le rectangle EFg^A , pour lequel on aurait

ABCD : EFg^A :: ad: e/^,

puisque les hauteurs AD et EA seraient commensurables entre elles par construction ; et comparant cette propor-

DE GÉOMÉTRIE. I t5

tioîi à la pmédeiîlo , oii en tirerait

EFGH.: F.Fgfi :: El : EA; ce qui ne peut être , puisque EFGH << EFgh et El > Eh. En portant le point I de Tautre côté de GH, en I', on ne pourrait pas non plus avoir

ABCD : EFGH :: AD : El',

parce qu en prenant en h' le point de division correspondant à A, on aurait premièrement, pour lesliauteurs AD et EA', commensu râbles entre elles,

ABCD : EFg'h' :: AD: E//, proportion qui conduirait à ce résultat,

EFGH : FYg'/i' :: El' : E//, absurde à cause que EFGH > EF^'A' et Er< EA'.

Le rapport de ABCD à EFGH ne pouvant donc être ni plus grand ni plus petit que celui de AD à EH, on aura nécessairement