ABCD : EFGH :: AD : EH

THÉORÈME

167. Deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leur base par leur hauteur, ou comme les produits de deux côtés contigus.

Démonstration. — En prenant sur la base du parallélogramme ABCD {fig» 97) une partie kb égale à la base du parallélogramme EFGH , et tirant la droite bc parallèle à BC, on aura, par le théorème précédent,

• KhcD : EFGH :: AD : EH;

prenant ensuite AD pour base des parallélogrammes ABCD et AJcD, qui auront alors pour hauteur AB et Ai, on en conclura

ABCD : Kbcï> :: AB : Kb,

Il6 ÉLÉMENTS

En multîpliaîit ces proportions par ordre, avec l'attention d^omettre le facteur AicD, commun aux deux termes du premier rapport composé , et de substituer a Ab son égale EF, il viendra

ABCD : EFGH : : ÂB X AD : ÊF X EU ,

résultat qui renferme l'énoncé de la proposition (i).

168. Remarque. — Mesurer des grandeurs n'étant autre chose que comparer entre elles celles de même espèce, il est évident que la mesure des aires doit avoir pour but de savoir combien une aire quelconque en contient une autre prise arbitrairement pour servir de terme de comparaison. Mesurer, par exemple, le rectangle ABCD {fig- 98), c'est chercher combien de fois ce rectangle contient un carré abcd dont on suppose que le

(i) Je me suis servi ci-dossus de la multiplication par ordre comme du moyen le plus simple pour parvenir au résultat cherché; mais il pourrait arriver que Ton éprouvât quelque difTicullé à concevoir ce changement, dans lequel il semble qu'ail faut multiplier des aires entre elles. Cette difficulté cessera si Ton imagine que ces aires, pour être comparées entre elles, sont rapportées à une certaine aire prise pour mesure commune ou pour unité. On mettra encore plus de netteté dans ce passage en le rendant ainsi quMl suit :

Les proportions

A6cD : EfGli':: ad : EH, ABCD : A&cD :: AB : ch donnent

EFGH EH AfecD ah

.A6cU""AD' ABCD'^AB'

ce qoi ne présente aucune obscurité, puisquUl s'agit de rapporta de

FH grandeurs homogènes. Cola posé, ^ désignant combien Taire EFGH

contient Taire AfccD, et -r; combien l'aire AbcB contient T^^re ABCD, Ad

le nombre de fois que la première contient la dernière sera donc exprimé

par •

EH Ab __ EF X EH

ÂD^AB~"âBxÂI)' en concevant les droites rapportées à une commune mesure. ^

côlé soit égal à la droite prise pour mesure commune des longueui^ des droites; et, d'après ce qui précède, on aura, en concevant la base et la hauteur AB et BC du parallélogramme ABCD rapportées à cette mesure,

AT» -nr*

abcd'^ ABCD :: abX bc : ABXBC^ ou :: i : -7- X 7—;

ab bc

ce qui montre que le rectangle ABCD contient le rec- J:angle abcd^ ou V aire prise pour unité, comme le produit du nombre d'unités linéaires contenues dans sa hase AB, multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans sa hauteur BC , contient F unité numérique, expce$3ion dont l'exactitude est évidente , puisque les rapports y sont réduits à des nombres. Ce n'est que pour abréger qu'on la remplace par celle-ci : Vaire d'un rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur; ^t il faut toujours être en état de restituer, d'après la première, ce qu'on a sous-entendu dans la seconde.

La vérité de la proposition précédente résulte de l'inspection seule de la figure, lorsque le côté du carré abcd^ pris pour mesure commune, est contenu exactement dans la base et dans la hauteur du rectangle ABCD. En menant alors par tous les points de division de la hauteur BC, des droites ef parallèles h AB, on partage le rectangle ABCD en autant de rectangles égaux, ou bandes, que sa hauteur contient de fois ab\ et chacune de ces bandes peut, comme ABe/, être partagée en autant de carrés làegh ^ égaux à abcd , que la base AB contient de fois ab ; le nombre total des carrés égaux h \Scgh , contenus dans le rectangle ABCD, est donc égal à celui des ckrrés contenus dans une bande ABe/', multiplié par le nombre des bandes, ce qui fait le produit du nombre d'unités linéaires de la base par le nombre d'unités linéaires de la hauteur.