GH = 01 + IH = |(AB 4- CD

La droite GH , partageant aussi EF en deux parties égales (58) , se trouve à égale dis lance des côtés parallèles du trapèze; et Ton peut dire, par conséquent, que Faire du trapèze se mesure par le produit de sa hautew multipliée par une ligne menée à égale distance des deux bases parallèles.

THÉORÈME

i 7G. Les aires des polygones semblables sont en&e elles comme les carrés des côtés homologues de ces polygones.

Démonstration. — i". Si les polygones proposés sont des triangles quelconques ABC et abc (Jig. loi), les triangles rectangles HDC et bdc^ formés par les hauteurs dos premiers , seront semblables comme ayant, outre les

angles droits D et û?, les angles égaux B ci A : on aura donc

CD : cd :: bc : bc\

mais, par la similitude des triangles ABC et abc^ on a

aussi

AB : rt^ : : BC : bc

Multipliant ces proportions par ordre, et divisant par 2 les termes du premier rapport de la proportion composée, il viendra

lABxCD :i^X^::BC' \bc\

résultat dont les deux premiers termes expriment les aires respectives des triangles ABC et ahc (171). Donc

ABC: abc :: BC' : Tc\

2°. Deux polygones semblables ABCDE et abcde (Jig* 5i), étant partages en un même nombre de trian* gles semblables (89) et semblableraent disposés, chaque triangle du premier polygone sera à son correspondant , dans le second , comme le carré de I'uq des côtés du premier polygone est au carré du côté homologue du second \ on aura

ABC \ abc:: ab' :7zÏ\

AEC : aec :: ae' : âê%

EDC : cdc : : ëd' : ^' .

Mais la similitude des polygones donne cette suite de rapports égaux :

AB : ab :: AE : ac :: ED : ed,

de laquelle on tire

âb' :in>' :: ÂÊ' :'âe' :: ëd' : ëd'\

ce qui prouve l'égalité des rapports de chaque triangle' de l'un des polygones à son^correspondant dans l'autre ,

122 KLKMKKTS

et d'où il résulte

ABC : abc :: AEC : (ICC :: kdc : cdc.

On déduira de cette dernière suite de rapports égaux,

ABC -4- AEC -f- RDC : abc 4- ace ^ cdc :\ ABC : abc^ ou

ABCDE : abcde \\ ABC : abc ::AB':âb\

Le même raisonnement aurait évidemment lieu, quel que fut le nombre des côtés des polygones proposés.

THÉORÈME

177. Les aires fie deux triangles qui ont un angle commun sont dans le rapport des prôduifs déS côtés qui comprennent cet angle.

Démonstration» — En menant les hauteurs CD et FG {fis- ^^0 ^^s triangles ABC et AEF, on forme les triangles semblables ACD et AFG, qui donnent