ABC : AEF :: AB X CD : AE X FG

Si Ton multiplie ces deux proportions par ordre, en supprimant le facteur CD, «ommun aux antécédents, et le . facteur FG, commun aux conséquents, il en résulte, conformément à renoncé, que

ABC : AEF :: ÂBXÂC : AËXÂF. ^^

THÉORÈME

178. L(*. carré AJÊMiu (fig. 102), construit sur VJvypot en use d*un triangle rectangle ABE, est équiv^alent à la somme des carrés ABC!) et BEFG, construite sur les flcux autres côtc:s de cr triangle.

Démonstration. — On serait en dioit de conclure cette proposition de celle du u" 75, puisqu'il a élé prouvé

DE GÉOMETP.1K. 1^3

dans ce numéro , que AB -f- BE = AE , et que , diaprés le Yi** 169, AB , BE , AE sont les mesures respectives des carrés ABCD, BEFG, AEHL; mais ces considéralions supposant les lignes et les aires rapportées à des nombres, j'ai jugé convenable de démontrer la proposition immédiatement sur les aires, ainsi qu'Euclide l'a fait, et sans employer des rapports de lignes.

Pour cela il faut, de l'angle droit B du triangle ABE abaisser sur l'hypoténuse AE la perpendiculaire BR et la prolonger jusqu'en I, puis mener les droites DE et BL. Le triangle DAE, ayant même base AD que le carré ABCD, et étant compris entre les mêmes parallèles AD * «t CE, sera équivalent à la moitié de ce carré (162) 5 de jf même, le triangle BAL sera équivalent à la moitié dn reetangle ARIL, construit sur sa base AL, et compris -.entré les mêmes parallèles AL et BL Or les triangles pAEet^JJAL sont égaux (16) , parce que l'angle DAE, composé de l'angle droit DAB et de l'angle BAE, est néeessairement égal à Tangle BAL , composé aussi d'un angle* *4^h EAL et de l'angle BAE, et que les côtés AD et AB, , Jiié et AE sont respectivement égaux comme côtés d'un même carré : donc la moitié du carré ABCD est équivalente à celle du rectangle ARIL; donc le carré ABCD sera lui-même équivalent au rectangle ARIL. On prou- I vera de même que le carré BEFG est équivalent au rectangle EHIR ; et il résultera de là que le carré AEHL , composé des deux rectangles ARIL et EHIR , est équivalent à la somme des carrés ABCD et BEFG.

179. i®"^ corollaire, — Les rectangles ARIL, EHIR et ' le carré AEHL , ayant même hauteur AL , sont entre eux comme leurs bases (I70j ^ en sorte qu'on a

ABCD : BEFG : AEHL :: AK : RE : AE ;

c'est-à-dire que les carrés construits sur les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle sont au c»arré construit sur

l'hypoténuse comme les segments adjacents AK et KE

sont à l'hypoténuse entière AE,

180. 2® corollaire, — Puisque les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés des côtés homologues de ces polygones (17(>) , si Ton construit sur les côtés de l'angle droit du triangle rectangle ABE (fis* ^ ^^ ) ' ^' ^^^' *^^ hypoténuse KE , trois polygones semblables, X, Y, Z, on aura