X-f-Y :ÂB'-hBK' :: Z: AÊ

iflt du théorème précédent , qui donne AB -f- BE = AE > on conclura X-f-Y = Z; c'est-à-dire que le polygone construit sur l'hypoténuse est équivalent à la somme des deux autres.

PROBLÈME

181. Construire un polygone semblablç à un autre y et dont Faire soit dans un rapport donné ai^ec celle du premier y ou soit équivalente à un carré donné. .

Solution, — Dans le premier cas, si bc [fig* io4) désigne l'un des côtés du polygone donné , et que l'aire de ce polygone soit à celle du polygone cherché dans le rapport de deux droites quelconques M et N, on prendra sur une droite indéfinie AE deux parties AR et KE qui soient dans le même rapport -, sur leur somme AE , comme diamètre, on décrira- une demi-circonférence 5 on élèvera la perpendiculaire BR-, on tirera les cordes AB et BE 5 enfin , on portera sur AB , de B en C , le côté bc de la première figure , et ayant mené CD parallèle à AE , on aura en BD le côté qui , dans le polygone cherché , est homologue à Iw. La question sera donc ramenée à construire sur BD un polygone semblable au polygone X, ce qui s'eilectucra par le procédé du n** 90.

DE GÉOMÉTRIE. . i aS

Pour prouver la construction précédente, on déduit d'abord des triangles ABE et CBD , semblables entre eux , les proportions

AB:BE::BG:BD et âb':"be;' ::bc' :bd'.

Mais, par le n^ 179,

âb' : BË' :: ak : ke, ou :: m : in f

dODC

Bc': bD' :: M : N;

donc (176) le polygone construit sur BC sera un polygone construit sur BD , dans le rapport de M à N , comme le demande l'énoncé de la question.

Si le côté bc de la figure X excédait AB, on prolongerait cette ligne en C, mais la construction et la démonstration ne changeraient pas pour cela.

Dans le cas où Taire du polygone demandé devrait être équivalente à un carré donné N*, on transformerait aussi en un carré le polygone donné, et M* représentant ce carré, il faudrait qu'on eût

BC' : BD' : : M* : N'; d'où il suit