M : N :: BC: BD
Ainsi j BD s'obtiendrait alors par les lignes proportionnelles (62) , ou bien on pourrait prendre AK et KE dans le rapport des carrés M' et N*.
THÉORÈME
i82. L'aire d*un polygone régulier a pour mesure la moitié du produit de son contour par le rayon du cercle inscrit.
. Démonstration. — Ce polygone peut être partagé en
^autant de triangles égaux qu'il a de côtés (139) -, l'un de
ces triangles, ABO ( fig, 79) , est mesuré par { ÀB X OG ;
en répétant ce produit autant de fois que le polygone a de
côtés, on aura, si IN i;n désigne le nombre,
\ N X^ X ÔG ; mais IS X AB sera le contour ou le périmètre du polygone : en le représentant \f^v P, il viendra donc
IPXÔG, comme le porte Ténoncé de la proposition.
Le rayon du cercle inscrit se nomme aussi apothème; et l'on dit, en conséquence, que l'aire d'un polygone régulier a pour mesure la moitié du produit de son péri^ mètre par son apothème,
183. Corollaire. — Il suit du théorème précédent et du n" 140, que les aires des polygones réguliers d'un même nombre de côtés , étant entre elles comme les carrés de leurs côtés, sont aussi entre elles comme les carrés des rayons des cercles dans lesquels ils sont inscrits ou auxquels ils sont circonscrits. En ellet, on a successivement
ABCDEF : ahcdefw ÂB' : ô^S
AB : fl'A :: AO : r?o(i40), âb' : ^' :: Âô' : ^';
d'où il résulte
ABCDEF : ahcdefw W \^o\ On trouve de même
ABCDEF : ahcdefw ÔG' : ^' , en observant que (140)
AO: ao :: OG : og,
184. Remarque. — En appliquant la proposition du numéro précédent aux polygones réguliers inscrits et circonscrits au même cercle, on reconnaît qu'il est toujours possible de trouver deux polygones du même nombre de côtés, l'un inscrit, Taulrc circonscrit, tels que la* différence de leurs aires soit moindre qu'une grandeur donnée, quelque petite que soit cette grandeur.
DK GÉOMÉTRIE. 1^x7
En elVel , on a évidemment , dans la/ig^. 8^ ,
ABCOE : abcdc :: ô^' : 5g';
désignant par P l'aire du polygone circonscrit, el par /> celle du polygone inscrit, on aura
ou
v:p :: o^ : OG , -/> : p :: ô^' — ôg' • ô^'
valeur dans laquelle on peut rendre le facteur Oa — OG * aussi petit qu'on voudra, en multipliant les côtés des polygones.
185. Corollaire, — Le polygone circonscrit étant visiblement plus grand que le cercle , tandis que le polygone inscrit est moindre , il suit de ce qui précède que- l'on peut toujours assigner un polygone régulier, soit inscrit, soit circonscrit, dont l'aire diflêre aussi peu qu'on voudra de celle d'un cercle donné. Il suffit, pour cela, de prendre le polygone d'un assez grand nombre de côtés . pour que la différence entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit ne surpasse pas la quantité assignée.
THÉORÈME
186. Si trois grandeurs A, B, X sont telles, que la première K. que Von suppose variable, mais néanmoins surpassant toujours chacune des deux autres B, X, qui ne changent point, puisse approcher de toutes deux en même temps, aussi près qu on voudra, on aura nécessairement B = X.
Démonstration, — Soit , i^. X > B ; on aura , d'après cette bypothèse et en vertu de l'énoncé,
I 28 ÉLKMEN TS
croù il résulte que si Ton preiifd A de manière que la diflercnce A — B soit moindre qu'une quantité quelconque â, ce qu'on regarde comme toujours possible, la différence X — B sera , à plus forte raison , moindre que â. 2". Soit X <^ B , on aura alors
et prenant A de manière que A — X soit moindre que ô , à plus forte raison la différence B — X sera-l-elle moindre que d.
Le raisonnement ci-dessus conduisant à prouver que la différence des deux grandeurs invariables B et X est nécessairement moindre que toute grandeur donnée, quelque petite que soit cette grandeur, il s'ensuit que B = X (153).
THÉORÈME
187. L'aire d'un cercle a pour mesure la moitié du produit de la circonférence par le rayon, ou 7 CR, en nommant C la circonférence y ^t R le rayon.
Démonstration, — En effet, plus le nombre des cotés du polygone circonscrit augmente, plus aussi son périmètre A approche de la circonférence (152), et plus le produit \ PR approche de { CR, qu'il surpassera toujours, mais d'aussi peu qu'on voudra. D'un autre côté, l'aire du même polygone, toujours plus grande que celle du cercle, peut apprûclief-à&-eeltedernière aussi près qu VirVDTrdrà''(îSS) : les produits iPRT^H^ ®^ ^* "vvale mesure de l'aire du cercle sont donc trois quantité^ placées dans les mêmes circonstances que les quantités A /^ ^^ X du numéro précédent : donc le produit ^CR est égaï^ ^^ vraie mesure de l'aire du cercle (i).
(1) On prouve immédiatement que la mesure de Taire du cercle ne pe?* être ni plus grande ni plus petite que jCR; car si le premier cas âval^ lieu, -^CR serait alors la mesure d'un cercle pins petit que celui dont iJ rayon =R, tandis qu'en inscrivant dans le dernier un polygone plus.
DE GÉOMÉTtllE. 1 ag
1^, Corollaire. — Il suit de là que les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres. En eflet , puisque 1 on a cette proportion (154) ,
si on la multiplie par la proportion
^R: jR' :: R :R',
qui est évidente , il viendra
^CR : |C'R':: r^:R'%
proportion dans laquelle les deux termes du premier rapport sont 5 d'après ce qui précède , les mesures des aires des cercles dont les rayons sont R et R'. De plus, il est . visible qu'on a
en désignant par D et D^ les diamètres, puisque D = aR, D'= iJM : donc ^CR : j C'R' :: D* : D^S ce qui comfJète l'énoncé de la proposition.
Si Ton représente par tt la circonférence dont le diamètre est I ^ la surface de ce cercle sera ^ x tt = ^ tt : on aura donc
Itt : |C'R' :: I : d'% d'où |C'R' = |7rD'%
ce qui montre que l'aire d'un cercle est égale au cairé du diamètre multiplié par le ^ du rapport de la circonférence au diamètre. En mettant pour D'* sa valeur 4 R'*, on aura ttR'*, ou le carrée du rayon multiplié par le rapport de la circonférence au diamètre,
Ijraiid que l'autre cevci^ {voyez la note page io3) , ce polygone aurait néanmoins pour mesure un produit moindre que jCR, puisque son contour et son apothème sont respectivement moindres que C et R.
On ne peut pas supposer non plus que le produit ^CR soit la mesure dHin cercle plus grand que le proposé; car, en inscrivant dans le plus Çrand cercle un polygone qui surpasse le cercle proposé, ce polygone aurait une mesure plus grande que celle qu'on assigne au cercle dans lequel il est inscrit.
ciÊOMET&iK, i6* édit. y
l3o ÉLÉMENTS
Enfin, sî Ton remplace R' par sa valeur — (^^5) ,
il on résultera -r- pour Taire au cercle exprimée par
sa circonférence.
THÉORÈME
189. Vaire de la figure AFBO (fig. io5) , terminée par les Jeux rayons AO , BO , faisant entre eux un angle quelconque y et par F arc de cercle AFB^ figure que l'on nomme secteur de cercle, a pour mesure la moitié du prodmt de ïarc AFB par le rayon AO.
Démonstration, — Sî par le centre O Ton élève DO perpendiculaire sur le diamètre AE , les côtés de Tangle droit AOD et Tare ABD comprendront évidemment entre eux le quart de l'aire du cercle 5 et le raisonnement du n° 109 prouve que l'aire du secteur AFBO est à celle du secteur AOD dans le rapport de l'arc AFB à Tare ABD. Mais puisque l'aire du secteur AOD est le quart de celle du cercle , on aura
AOD = I X |C X ÂÔ = i C X AO, et la i^roportion énoncée ci-dessus ,
AFBO : AOD : : afb : abd ou |c,
deviendra
AFBO : I C X Âô :: afb : |C;
ce qui donnera
AFBO = iÂFBXÂÔ,
comme le porte l'énoncé de la proposition.
190. Remarque, — On obtiendra l'espace AFBA , compris entre l'arc AFB et la corde AB, en retranchant de l'aire du secteur AFBO celle du triangle ABO.
Cette dernière sera exprimée par ^BGxAÔ, si BG
DE GÉOMÉTRIE. l3f
est perpendiculaire sur AO (171); et en retranchant sa valeur de celle du secteur AFBO (189)^ on aura
AFBA == i ÂFB X ÂÔ — I BG X Â5 = I (AFB — BG)AO,
c'est-à-dire la moitié du produit de la différence entre Varc AFB et la perpendiculaire BG parle rayon AO (i). N, B, — L'espace AFBA se nomme le segment ^ et la portion FH du rayon OF, perpendiculaire surlacordeAB, est \di flèche.
(i) La perpendiculaire BG ent employée dans la Trigonométrie: e^est le de Tare AFB.
iSa ÉLÉMENTS
