DES PLANS ET DES CORPS TERMINÉS PAR DES SURFACES PLANES
N. B. — Dans tout ce qui va suivre, les figures embrassent Pespacc avec ses trois dimensions. Les lignes ponctuées sont celles qui passent derrière lies plans.
Des plans et des llsnes droites.
191. Puisque la ligne droite s'applique exactement au plan, dans tous les sens (2), il est évident que dès qu'une ligne droite a deux de ses points dans un plan , «lie y est tout entière , sans quoi on pourrait mener par deux points plusieurs lignes droites , l'une qui serait tirée, dans le plan même, par les deux points donnés , et les autres qui auraient des prolongements hors du plan^ ce qui ne saurait s'accorder avec l'idée qu'on a de la ligne droite.
192. L'intersection de deux plans est une ligne droite^ elle est premièrement une ligne d'après les définitions du n° 1 5 et si Ton conçoit que , par deux points de cette intersection , on tire une droite , elle sera en même temps dans l'un et dans l'autre plan (numéro précédent) : elle ne pourra donc être que leur intersection.
193. Par une même ligne droite AB (Jig. io6), on peut faire passer une infinité de plans diflerents, CD, EF, GH, etc. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer qu'un plan peut toujours tourner autour d'une droite
DE GÉOMÉTRIE. Iv33
lirée par deux de ses points , et prendre ainsi un nombre infini dépositions différentes, sans que les points de la droite changent de place ^ mais on conçoit que le plan s'arrêtera si Ton fixe , hors de cette ligne , un point par lequel il doive passer. Il résulte de là qu'un plan est donné lorsqu'on connaît trois points par lesquels il doit passer, comme une ligne droite l'est par deux.
On peut aussi le prouver en montrant que deux plans qui ont trois points communs, A, B, C [fig* Ï07), se confondent dans toute leur étendue 5 et, pour cela, il suffit d'observer que si , par un point quelconque E, pris sur un de ces plans , on mène une droite EF rencontrant deux des trois lignes AB, AC et BC, qui joignent deux à deux les points communs, et qui , par cette raison, sont à la fois sur les deux plans (191) , cette droite sera aussi commune aux mêmes plans, puisqu'elle y aura les deux points e et y, où elle coupe AB et BC.
lOl. Deux lignes qui se coupent sont, par conséquent, dans un même plan -, car, en faisant passer un plan par Tune d'elles , AB par exemple , et par un point C pris sur BC , cette dernière ayant deux de ses points , B et C , dans le plan, y sera tout entière (191).
iFest évident par là qu'en joignant deux à deux, par dfes droites, trois points pris d'une manière quelconque dans l'espace, le triangle résultant ABC sera tout entier dans un même plan.
11 n'en est pas ainsi de quatre points pris au hasard : le plan qui passe par trois d'entre eux ne passe pas toujours par le quatrième; et, dans ce cas, le quadrilatère qui en résulte , n'étant pas dans un plan , se nomme qua^ drilatère gauche,
195. Les parallèles sont toujours dans un même plan îS leur définition ; mais il faut bien observer que, l'espace, deux lignes droites peuvent êtreperpendi-
jl"-
r34 ÉLÉMENTS
culaires à une troisième , sans être parallèles et sans se rencontrer ; car on peut alors mener par un seul point autant de perpendiculaires à une même droite que l'on peut faire passer de plans par cette droite, c'est-à-dire une infinité. Les droites AC, AE, AG {fig' io6) peuvent toutes être perpendiculaires sur AB , la première dans le plan CD , la seconde dans le plan EF , la troisième dans le plan GH. S'il en arrive autant aux lignes BD , BF et BH , BD et AC seront parallèles , comme étant perpendiculaires à la même droite AB dans le plan CD^ mais ce» droites ne seront parallèles à aucune des autres,
THÉORÈME
196. Une droite CD (fig. io8), élei^ée hors cTun plan AB, perpendiculairement à deux autres , DE, DF, menées par son pied D dans ce plan y est perpendiculaire à toutes celles quon pourrait mener par ce point dans le même plan.
Démonstration. — Soit DG une droite menée par le point D , d'une manière quelconque , dans le plan AB 5 il faut tirer une droite EF qui coupe DG, prolonger au-dessous du plan AB la droite CD d'une quantité CD = CD 5 tirer enfin les droites CE, CG, CF, CE, C'G et CF. Cela fait, puisque CD est perpendiculaire sur DE et sur DF, celles-ci le seront sur CC (13) 5 les obliques CE et CE, CF et CF seront égales comme s'écartant également du pied de la perpendiculaire (27) 5 et, de plus, le côté EF étant commun aux triangles CEF et CEF, ils auront tous leurs côtés égaux chacun à chacun, et seront par conséquent égaux (20) : leurs angles CEF et CEF seront donc égaux. Il en sera de même des triangles CEG et CEG, dans lesquels ces angles sont compris entre un côté commun EG et deux côtés égaux CE et CE (16). 11 suit delà que les côtés CG et CG sont égaux ^ et comme ils s'écartent ^alemient du point D ^
DE GÉOMÉTKIE. l35
il en résulte que la droite DG est perpendiculaire sur CD (27), et réciproquement, CD sur DG (i).
197. Remarque, — La ligne CD tombant à angle droit sur toutes celles que Ton peut mener par son pied dans ce plan , et nMpclinant , par conséquent , d'aucun côté vers le plan , lui est perpendiculaire.
THÉORÈME
198. Si trou droites, ED, FD, GD (fig. 109), sont perpendiculaires à une même droite CD, pc un même point D, elles sont toutes les trois dans un même plan perpendiculaire à cette dernière.
Démonstration. — Si cela n'était pas, ou pourrait, par les deux droites ED et FD, mener un plan AB auquel CD serait perpendiculaire, et qui couperait le plan GDC mené par GD et CD , dans une droite G'D qui serait aussi perpendiculaire sur CD (196) : on aurait donc alors, sur la même droite CD, par le même point D , et dans le même plan, deux perpendiculaires, GD, G'D, ce qui est impossible (32).
THÉORÈME
199. Par un point pris y soit hors d'un plan y soit sur ce plan, on ne peut mener qu^une seule perpendiculaire à ce plan^ et, par le même point d'une^ droite, il ne peut passer qu'un seul plan perpendiculaire à cette droite.
Démonstration, — Le premier cas de la proposition est presque évident par lui-même ; car si , par le point C (Jîg' 108) , on pouvait abaisser sur le plan AB une autre perpendiculaire que CD , CG par exemple, cette droite
(t) Celle démonstralion, du même genre que celle d^KucIide, mais plus simple, m'a été communiquée par M. Cauchy, alors fori jcime <t déjS 1res di.stiti^;uo
serait aussi perpendiculaîrc sui^GD, et le triangle CGD
aurait deux angles droits , conséquence absurde (52).
Dans le deuxième cas , si , par la seconde perpendiculaire C^D {fig' 109), et par la première CD, on faisait passer un plan, il faudrait que les deux droites CD et CD fussent en même temps perpendiculaires à la droite DE, dans laquelle il rencontrerait le plan ABy conséquence encore absurde. L'énoncé de la proposition est donc vrai dans ses deux premières parties.
A regard de la troisième , si , par le point D , on pouvait mener, perpendiculairement à CD, un autre plan' que AB , qu'on tirât par ce point , dans le premier, une droite quelconque GD; alors le plan GDC, mené par cette droite et parla perpendiculaire CD , rencontrant le plan AB dans une droite G'D différente de GD , il s'ensuivrait que deux droites C^D et GD , comprises dans le même plan que CD , seraient perpendiculaires au même point de cette droite, ce qui est absurde (32).
THÉORÈME
200. Les obliques qui s'écartent également de ta per^ pendiculaire à un plan sont égales^ celles qui s^ en écar^ tent le plus sont les plus longues , et la perpendiculaire est la plus couite de toutes les droites que l'on peut mener d'un point donné à un plan.
Démonsiratioji, — La perpendiculaire étant CD {fig* 1 10): i*^. Tous les points situés sur la circonférence du cercle EF , décrit du point D comme centre , sont également éloignés du point C , puisque , les angles en D étant droits, les triangles CDE et CDF seront égaux comme ayant le côté CD commun et les côtés DE , DF égaux : donc CE = CF.
2°. Si l'on joint le point G, extérieur au cercle, avec le centre D , la droite GC , située dans le même plan que les droites CF et (^.D, sera plus longue que CF (27 )►
3". La ligne CD , évidemment plus courte que CF, sera nécessairement plus courte que toutes celles que Ton peut mener du point C sur le plan AB.
201 . Remarques, — Chaque point de la droite CD, étant également éloigné de tous ceux de la circonférence EF , peut être employé à la description de cette circonférence, comme le centre D.
C'est par ce moyen qu'on abaisserait une perpendiculaire sur un plan, par un point extérieur : d'abord, du point C on décrirait sur le plan AB un cercle dont on chercherait le centre D -, et en le joignant avec le point C , on aurait la droite CD perpendiculaire sur le plan AB.
La perpendiculaire CD , étant la plus courte ligne que Ton puisse mener du point C sur le plan AB , offre la mesure naturelle de la distance du point C à ce plan.
THÉORÈME
202. Si d'un point Q de la droite CG , ohlique au plan AB (fig. m), on ahaisse sur ce plan la perpendiculaire CD, et que Von joigne les points G etJ) par une droite^ la droiteYF^ menée dans le plan'AB perpendiculairement à GD, sera aussi perpendiculaire sur CG.
Démonstration. — Ayant pris GE = GF, et tiré les droites ED, FD dans le plan AB, on aura ED=:FD (27). Menant ensuite les obliques CE et CF, elles seront égales, puisqu'elles s'écarteront également de la perpendiculaire CD (200) 5 mais en les considérant, par rapport a CG, dans le plan ECF , elles s'écarteront également du pied G de la droite CG , qui sera, par conséquent, perpendiculaire sur EF (30). •
THÉORÈME
203. Une droite DE (fig. 112) , située hors d'un plan AB , mais parallèle à une ligne quelconque AC menée dans ce plan y ne le rencontre points quelque. prolongée
l38 ÉLÉMENTS
<]uon la suppose y et est en même temps parallèle à toute droite BF menée dans le plan AB , parallèle^ment à AC.
Démonstration, — i**. La droite DE, se trouvant avec la droite AC dans un même plan AD , ne pourrait rencontrer le plan AB que dans son intersection avec le précédent, c'est-à-dire sur AC5 mais, par Thypothèse, DE ne pouvant rencontrer AC , ne rencontrera pas non plus le plan AB.
2**. Si , par la droite DE et par l'un des points B de la droite BF, supposée parallèle à AC, dans le plan AB, on mène le plan D/", la droite B/'sera nécessairement parallèle à DE, puisqu'il vient d'être prouvé que DE ne saurait rencontrer le plan AB dans lequel B/' est aussi contenue 5 et, d'après ce qui précède, la ligne AC , parallèle à DE, ne pouvant pas non plus rencontrer le plan D/' qui contient cette dernière, ne saurait, par conséquent, rencontrer la droite B/'qui s'y trouve aussi. Les droite^. AC et B/' contenues dans le même plan AB , ne se rencontrant point , seront, donc parallèles \ et comme on ne peut mener par le point B qu'une seule parallèle à AC (40) , il s'ensuit que B/' se confond avec BF, ou que DE est parallèle à BF, deuxième partie de la proposition.
204. Corollaire, — Il est évident par là que deux droites DE et BF, parallèles à une troisième AC, sont parallèles entre elles ^ car en imaginant un plan AB qui passe par les droites BF et AC, la droite DE remplira les conditions de l'énoncé du théorème ci-dessus.
THÉORÈME
205. Les angles BCD et FAE, qui ont les côtés parallèles et Voui^erture tournée dans le même sens , sont égaux, quoique situés dans des plans différents.
Démonstration, — Si, par les côtés parallèles CD et
DE GÉOMÉTRIE. i^g
AE, CB et AF, on fait passer deux plans AD et AB, qu'on prenne CD = AE, CB = AF, et qu'on mène DE , BF , DB, EF, les figures ACDE, ACBF seront des parallélogrammes (79) ] les côtésDE et BF seront, par conséquent, égaux à AC, parallèles entre eux (numéro précédent), et formeront un parallélogramme dans lequel on aura DB = EF. Les triangles DCB et EAF , ayant donc leurs côtés égaux chacun à chacun , seront égaux et donneront BCD=:FAE.
THÉORÈME
206. Si dans chacun des plans AB et AD on mène, par un point quelconque H de leur commune sectioîi AC , des droites IH et HG perpendiculaires à cette com-* mune section, et que l'angle IHG quelles fonnent entre elles soit égal à V angle ihg que forment les droites ih et hgy menées de la même manière dans les plans ab et ad y par rapport à la commune section ac de ceux-ci y ^ on pourra faire coïncider les deux premiers plans ai^ec les deux derniers.
Démonstration, — Si l'on applique le plan ab sur AB,. de manière que ac tombe sur AC , et que le point h soit -sur le point H, la droite hg coïncidera nécessairement avec HG, puisque les angles ahg et AHG sont tous deux droits. De plus , les droites IH et HG , perpendiculaires , à AH , déterminent un plan GHI perpendiculaire à cette droite (198) ^ les droites ih et hg en déterminent pareillement un autre g-Ziz, perpendiculaire à ah. Mais lorsque ak est confondue avec AH , les plans GHI et ghi doivent se confondre aussi, sans quoi il serait possible de mener par le même point H deux plans perpendiculaires à la même droite (199) 5 et comme les angles GHI et ghi sont égaux par l'hypothèse , il s'ensuit que , hg coïncidant avec HG , ih doit aussi coïncider avec IH : d'où il est évident que les plans ad et AD coïncident aussi , puisque les deux
l4o ÉLÉMENTS
droites ah et ih , placées dans le premier, se confondent avec les deux droites AH et IH, placées dans le second (194).
207. I*' corollaire. — 11 suit de là que l'espace compris entre deux plans AB et AD qui se coupent, considéré entre ces limites, peut, quoique indéfini dans les autres sens , être comparé à tout autre espace terminé de la même manière. Cet espace , qui est à l'égard des plans ce que Tangle est à l'égard des droites (7) constitue Y angle de ces plans y et en mesure l inclinaison.
Je le nommerai désormais angle dièdre, c'est-à-dire angle à ileux faces ^ et je le désignerai par quatre lettres, dont les deux du milieu marqueront la conmiune section des plans, ou V arête deTangle dièdre (i). L'angle formé par les plans AB et AE {Jig- ii3), qui se rencontrent suivant la ligne AG, sera Tangle dièdre BGAE ou DHGC.
Il suit encore du numéro précédent, que Tangle CHD, formé par les droites HD et HC , menées perpendiculaîremeut à la commune section AG, des plans AB et AE, ^ est la mesure naturelle de l'angle dièdre qu'ils comprennent entre eux; car il est visible que si Ton fait tourner le plan AE autour de la droite AG , commune section des deux plans proposés, ou arête de Tangle' dièdre , la droite HC , qui coïncidera avec HD lorsque le plan AE serm couché sur AB , décrira dans ce mouvement un plan perpendiculaire à AG (i96)« et viendra se placer en HF, dans le prolongement de HD, lorsque le plan AE se trouvera dans celui de AB; en sorte que Tangle CHD commence ^ augmente et finit avec celui des plans. De pltis, si Ton compare Tangle de deux plans ab
^i) On le noHiaM «>rdiKâùretiHMii «m^^ /^«wc oauib «ecte expression est Urès*Ticieti$e; car elle u^otfr^ «|iie rkkttdVn Aiijf;le conleaw dains «b pUoi^ et . pnr conseqnetil . e«IW de Tjiii^le fiMtaè par deux dn>îie!s. Le omm dièJrw est coinposé 4e deux iik>Is çrev.> d^Mil le premier ^i^niie demr^ et |« second fmtr ou ^«jr»
et ae avec celui de deux autres plans AB et AE , on trouvera que le rapport de ces angles dièdres est le même que le rapport des angles chd et CHD. En effet, lorsque ces angles sont commensurables entre eux, qu'on les divise en parties qui soient aliquotes de l'un et de l'autre , par les droites hd\ HD', HD'', et que l'on mène, par la commune section ag et par hd' ^ le plan ad' ^ par la commune section AG et par HD', HD'', les plans AD', x\D", on formera d'une part les angles dièdres dligd'^ d'hgc, et de Tautreles angles dièdres DHGD', D'HGD'', P'^HGC, qui seront tous égaux (206); et l'angle dièdre dhgc sera à l'angle dièdre DHGC comme le nombre des parties contenues dans l'angle chd est au nombre des parties contenues dans l'angle CHD.
Si les angles chd et CHD n'étaient pas commensurables entre eux, un raisonnement absolument semblable à celui du u° 109 prouverait que leur rapport ne saurait être ni plus petit ni plus grand que le rapport des angles dièdres bgae et BGAE. 11 résulte donc de là que V angle dièdre a pour mesure l'angle plan formé par deux droites menées dans chacune de ses faces ^ perpendi^ culairement à leur commune section et par un même point de cette droite.
Il est évident que les angles dièdres jouissent des mêmes propriétés que les angles plans qui les mesurent; les angles dièdres LGAK et BGAE par exemple, opposés par l'arête GA, sont égaux, puisqu'ils ont pour mesures les angles plans IHF et CHD , opposés par le sonmiet.
208. 2® corollaire. — Un plan CD mené par la ligne FG perpendiculaire au plan AB ^fig» ii4) ^^ penche d'aucun côté de ce dernier , auquel il est par conséquent perpendiculaire j car si l'on mène dans le plan AB, perpendiculairement à CE, la droite FK, et qu'on la prolonge en L, les angles GFK et GFL étant droits (196) , il résulte du numéro précédent, que les angles dièdres
l4a ÉLÉMENTS
ACËD et BECD , formés par le plan CD sur les deux parties AE et CB du plaa AB , sont égaux comme droits. Il est visible que, par la droite CE, prise dans le plan AB, on ne peut élever perpendiculairement sur celui-ci que le seul plan CD.
209. Sij par un point quelconque de la commune section CE des deux plans AB , CD , qui se rencontrent à angle droit y on élevée peiyendiculairement au pre^ mier une droite FG, cette droite sera comprise dans le second.
Démonstration. — En effet, si elle n'y était pas, on pourrait encore , par cette ligne et par la ligne CE , mener un second plan perpendiculaire à AB , ce qui est absurde {numéro précédent).
La droite FG est d'ailleurs perpendiculaire sur la commune section CE (196).
210. Corollaire. — Il suit de là que l'intersection GH {fig. II 5) de deux plans CD et EF perpendiculaires à un troisième AB est perpendiculaire à ce dernier \ car la perpendiculaire élevée par le point G du plan AB devant, par le numéro précédent, se trouver en même temps dans le plan CD et dans le plan EF , ne peut être que leur commune section (jH.
THÉORÈME
211. La droite ¥G (fig. ii4)^ menée peipendiculaù'ement à CE dans le plan CD qui rencontre le plan AB à angle droit, est perpendiculaire à ce dernier.
Démonstration. — Si , par le point F, on mène dans le plan AB la droite FK perpendiculaire à CE, l'angle GFK sera nécessairement droit , puisque le plan CD est , par l'hypothèse, perpendiculaire sur AR (208). La ligne GF,
DE GÉOMÉTRIE. l43
se trouvant donc en même temps perpendiculaire aux deux droites CE et KL menées dans le plan AB , sera aussi perpendiculaire à ce plan (196).
21 2. Deux droites FG et HI , perpendiculaires à un mêrneplany sont parallèles entre elles ^ et réciproquejnent, si la droite FG est perpendiculaire au plan AB, et que HI soit parallèle à FG, HI sera aussi perpendiculaire au plan AB.
Démonstration, — Si Ton joint les points F et H par la droite CE , et que l'on mène par cette ligne et par la ligne FG le plan CD , qui sera perpendiculaire a AB , il comprendra la ligne HI, puisqu'elle est aussi perpendiculaire à AB (209); et celte dernière, se trouvant alors dans le même plan que FG et perpendiculaire à la même droite CE, sera parallèle à FG (39).
Réciproquement, si les lignes FG et HI sont parallèles , le plan CD qui les contiendra sera perpendiculaire sur AB , lorsque l'une d'elles , FG par exemple , sera perpendiculaire sur ce dernier 5 et comme, en vertu du parallélisme, l'autre droite HI se trouvera perpendiculaire sur CE aussi bien que FG , elle sera perpendiculaire au plan AB, d'après le numéro précédent.
THÉORÈME
213. Deux plans perpendiculaires à une même droite GH (fig. ii6) ne sauraient se rencontrer.
Démonstration, — S'ils se rencontraient en effet, et que l'on joignit l'un des points de leur commune section^ qu'on suppose être EF, avec les points G et H, où la perpendiculaire GH les rencontre, les droites HF et GF, qui , partant d'un même point , formeraient un triangle avec GH, seraient nécessairement dans le même plan
iM ÉLÉMENTS
avec cette dernière •, et comme elles devraient la rencontrer à angles droits (196) , il s'ensuivrait que d'un même point on pourrait abaisser dans le même plan deux perpendiculaires sur une droite, ce qui est absurde (32).
214. Deux plans perpendiculaires à une même droite, ne se rencontrant point, sont parallèles entre eux.
THÉORÈME
215. Lorsque deux plans parallèles S^ et QD (fig. 117) sont coupés par un troisième FH , les intersections EF et GH sont parallèles entre elles.
Démonstration, — Il est visible que les droites EF et GH , comprises dans le même plan FH , ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu'on les prolonge, sans que les plans AB et CD , qui les contiennent respectivement , ne se rencontrent aussi ^ ce qui ne saurait arriver, puisqu'ils sont parallèles,
216. Corollaire, — 11 suit de là ; i'\ Que deux plans parallèles ont leurs perpendiculaires communes 5
oP, Que ces perpendiculaires sont égales, d'où il résulte que la distance des plans parallèles est la même dans tous leurs points.
En effet, si l'on élève sur le plan AB {fig. 118) la perpendiculaire GH , et qu'on tire par son pied les droites GL et GI, les plans LGH et IGH couperont le plan CD suivant des droites HM et HK , parallèles aux droites GL et GI, du plan AB, et, par conséquent, perpendiculaires comme ces dernières à GH : donc (196) GH est perpendiculaire au plan CD en même temps qu'au plan AB.
En second lieu, si l'on élève encore sur le plan AB la perpendiculaire RS, et que l'on conçoive le plan GRS, la figure GHSR sera un parallélogramme rectangle (215), et donnera, par conséquent, GH = RS.
THÉORÈME
217. Sideiix droites qui se coupent sont parallèles à deux autres droites qui se coupent, le plan déterminé par les deux premières sera parallèle à celui que déterminent les deux autres.
Démonstration, — En effet, si les droites HM et HK sont parallèles aux droites AP et AN, et que Ton abaisse du point H, perpendiculairement au plan AB, la droite GH, elle sera perpendiculaire sur chacune des droites GL et GI menées dans ce plan parallèlement aux deux droites AP et AN, et qui seront parallèles aux droites HM et HK (204) : la ligne GH sera donc aussi perpendiculaire sur ces dernières, et, par conséquent, sur le plan CD qu'elles déterminent (196) 5 les plans AB et CD, étant alors perpendiculaires à la même droite GH, seront donc parallèles (214).
218. Corollaire, — Il suit de là que , par deux droites HQ et GI [fig' 119)5 qtii 5 ne se coupant point et n'étant point parallèles, ne sauraient être comprises dans un même plan, on peut toujours faire passer deux plans parallèles , dont la plus courte distance donne celle des deux droites proposées.
En effet , si Ton mène par un point quelconque M de la droite HQ une ligne MD parallèle à GI, et par un point quelconque R de la droite GI, une ligne RO parallèle à HQ, les droites HQ et MD, respectivement parallèles aux droites RO et GI , détermineront un plan CD , parallèle au plan AB qui passe par ces dernières.
Il est visible que les droites HQ et GI ne peuvent s'approcher de plus près que ces plans.
219. Remarque, — Si , par un point quelconque R de la droite GI, on mène une perpendiculaire RS sur le plan CD , le plan GS , passant par RS et par GI , s^ra en
CEOMÉT&iE, 16® édit. 10
l46 KLKMKNTS
même temps perpendiculaire sur CD et sur AB (216) . et rencontrera le premier, suivant une droite HK parallèle à GI (215), et qui coupera la droite HQ au point H, où celle-ci s'approche le plus de GI; car, si du point H on abaisse sur GI la perpendiculaire HCi , elle sera perpendiculaire au plan AB (211) et, par conséquent, aussi au plan CD (216) : elle mesurera donc la plus courte distance des plans et des droites.
Il faut bien observer qu'elle est perpendiculaire en même temps aux deux droites proposées HQetGI (196).
THÉORÈME
220. DeiLJC droites GH et IK, comprises entre deux plans parallèles AB et EF (fig. 1 20) , sont toujours coupées en pairies proportionnelles, par un troisième plan CD parallèle aux deux premiers.
Démonstration. — Pour le prouver, on joindra d'abord le point H et le point I par une droite HI , puis on tirera dans le plan CD, par les points L, M, N où les droites GH , HI , IK le rencontrent , les droites LM et MN que l'on pourra considérer comme les intersections du plan CD avec les plans triangulaires GHI, HIK, et qui seront , par conséquent , parallèles aux droites GI et HK, dans lesquelles GHI rencontre AB, et HIK rencontre EF (215). Le triangle GHI, ayant donc ses côtés GH et HI coupes par la ligne LM parallèle à GI , donnera
HL:LG::HM:Mi, hl:hg:: hm:hi; MN étant parallèle à HK, le triangle HIK donnera
HM : MI : : KN : NI , hm : HI : : KN : Kl ; d'où l'on conclura, conformément k l'énoncé,
HL ; LG : : K^^ : m , hl : hg : : kn : ki.
221 . Lorsque plusieurs plans ASB, BSC, CSD, DSE, ESr\ FS(j, GSA i/i^. i^-i)) ^fui passent par le même
i)K GKOMKTRÏK. I 47
point S, se reucoulrentileux à deux, l'espace qu'ils comprennent entre eux, indéfini dans le sens opposé iau point S, se nomme ordinairement angle solide; mais je crois devoir l'appeler angle polyèdre , ou angle à plusieurs faces, par la raison que j'ai déjà donné le nom (Tajigle dièdre , ou angle à deux faces , à celui que deux plans forment entre eux (i). Cette nomenclature offre d'ailleurs l'avantage de distinguer les angles de ce genre par le nombre de leurs faces. L'angle à trois faces SABC (fig» 122) sera nommé angle trièdre ; un angle qui aurait quatre faces serait un angle tétraèdre j l'angle SABCDEFG [fig- lai) est un angle eptaèdre.
Le point S, où se rencontrent toutes les faces de l'angle, en est le sommet ; leurs intersections successives SA , SB , se, SD, SE, etc., sont les arêtes de l'angle. Ce qui constitue l'angle polyèdre SABCDEFG , et le distingue de tout autre angle composé du même nonibre de faces, ce sont les angles plans ASB, BSC, CSD, etc. , formés par ses arêtes consécutives , et les inclinaisons respectives de ces faces, ou les angles dièdres qu'elles forment entre elles.
Il y a donc dans l'angle trièdre six choses à considérer, savoir, trois angles plans et trois angles dièdres.
THEOREME.
222. La somme de deux quelconques des angles plans qui composent'un angle trièdre est toujours plus grande que le troisième.
Démonstration. — Si les angles plans ASB, ASC, BSC (Jig' 122) étaient égaux entre eux, la proposition serait évidente par elle-même. Dans le cas contraire, soit ASB le plus grand des trois : on y mènera la droite SD,
(1) On verra plus bas des raisons assez fortes pour bannir de la Géométrie le mol solide, dont la signification la plus connue dans notre langue rcpoiul h une idée lrés-di(Térente de celle qu'on y attache en Géométrie.
l48 liLÉMENTS
de manière que l'angle ASD soit égal à ASC ] on prendi a SD = SC, et l'on tirera les droites ADB, AC, BC. Les deux triangles ASC et ASD seront égaux, puisque les angles ASC et ASD, égaux par construction, se trouveront compris entre des côtés respectivement égaux 5 on aura donc AC = AD. Mais AC -h BC > AB (15) ou AC -H BC > AD -\- BD ; retranchant , de part et d'autre , les lignes égales AC et AD, il en résultera BC> BD. Or les triangles BSC et BSD ayant les côtés SC et SD égaux entre eux et le côté SB commun , l'angle^SC, opposé au côté BC plus grand que BD, surpassera nécessairement l'angle BSD opposé à ce dernier (19) 5 d'où il est évident que ASC + BSC = ASD H- BSC surpasse ASD -{- BSD ou ASB.
THÉORÈME
223. Si deux angles trièdres SABC, S'A'B'C (fig. 1 23) sont formés de trois angles plans égaux chacun à chacun, les angles dièdres compris entre les angles plans égaux seront égaux, c'est-à-dire que les faces semblables seront également inclinées entre elles dans chacun des angles trièdres proposés.
Démonstration.— Soient ASB = A'S'B', ASC=A'S'C', BSC = B'S'C'^ si, sur les arêtes BS et B'S', par lesquelles se joignent des angles plans égaux , on prend BS = B'S', et que par les points B et B' on conçoive des plans ABC, A'B'C perpendiculaires à ces arêtes, les triangles BSC, ASB, étant rectangles en B, comme les triangles B'S'C, A'S'B' le sont en B', seront égaux à ces derniers, à cause de l'égalité des côtés BS et B'S', et de celle des angles BSC et B'S'C, ASB et A'S'B' (18) : on aura donc
