JUMENTS

ayant pour base commiHcle parallélogramme ABOJN , ils

rentreront dans le premier cas du numéro précédent.

Il est évident que toutes les faces du parallélépipède AT sont des rectangles : on le nomme , à cause de cela, parallélépipède rectangle ^ et l'on conclut, de ce qui vient d'être dit, qu'^/^^ parallélépipède quelconque peut étj^e transformé en un parallélépipède rectangle y ayant une hase équivalente à celle du premier, et même hauteur.

La hauteur d'un prisme ou d'un parallélépipède est la perpendiculaire menée entre les deux bases.

.IV. B. — 11 faut observer ci-dessus que les bases ABCD et AI^KS ont nécessairement un côté commun.

THÉORÈME

250. Si Von forme sur la base d'un prisme triangulaire un parallélogramme , et que Von élèi^e sur* ce parallélogramme y pris pour base, un parallélépipède de même hauteur que le prisme triangulaire, celui-ci sera la moitié de l'autre.

Démonstration. — Soi t le prisme triangulaire ABCEFG , {fig» 129) ; si l'on achève sur sa base le parallélogramme ABCD, qu'on élève par le point D la droite DH parallèle aux droites AE, BF, CG, et terminée au plan de la base supérieure EFG du prisme proposé, les plans AEHJ) et DHGC, respectivement parallèles aux plans BFGC et AEFB (217) , compléteront le parallélépipède, et formeront, avec le plan AEGC^ un second prisme triangulaire ADCEHG, dont les parties constituantes seront les mêmes que celles du prisme ABCEFG. En effet, les bases triangulaires sont les mêmes , la face ACGE est commune, et les autres faces parallélogrammes sont égales, comme opposées daus le parallélépipède. On ne peut cependant pas conclure du n" 240 l'égalité de ces prismes, parce que leurs faces ne sont pas semblablement disposées. Il n'y a que les angles Irièdres tels que H

et B , dîagoiialement opposés dans le parallélépipède , qui soient entièrement formés d'angles plans égaux. En comparant la position de ceux-ci (223) 5 on reconnaît que les angles dièdres AEHGetGCBA, DHGE et FBAC, AEGH et EACB, sont égaux. On voit par là que le prisme triangulaire ADCEHG est construit au-dessous du plan EHG, avec les mêmes parties qui constituent le prisme ABCEFD, au-dessus de ABC, et que, par conséquent, ces deux polyèdres , compris dans la classe de ceux qui ne peuvent coïncider ( 22s ), doivent renfermer le même espace : le volume de chacun d'eux sera donc la moitié de celui du parallélépipède qu'ils composent (i).

251. Corollaire, — 11 suit de là que deux prismes triangulaires de même base et de même hauteur sont équivalents comme moitiés de parallélépipèdes équivalents.

(i) Si Ton ne regarde pas cette égalité comme évidente, on la prouvera ainsi qu'il suit. Par les extrémités A, E d'une arôte du parallélépipède BH {fig' 134 ), on mènera des plans perpendiculaires à cette arête, et l'on formera ainsi le parallélépipède NE, dont les arêtes sont perpendieulairessurla baseAMNO, et, de plus, équivalent au parallélépipède BH, puisqu'ils ont même hauteur, que leurs bases AOLE et ADHE sont équivalent4îs, et qu'elles ont un côté commun (249). Mais le plan !)BHF partage le parallélépipède'INE en deux prismes triangulaires droits AOMELI, MNOIRL évidemment égaux; car leurs faces sont égales, semblablcment disposées, et leurs angles dièdres correspondants sont égaux; chacun de ces prismes est donc la moitié du parallélépipède NE , et , par conséquent , celle du parallélépipède BH. Cela posé, il est facile de voir que les pyramides quadrangulaires AMBDO et EIFHL sont égales comme ayant chacune à chacune toutes leurs faces égales , semblabiement disposées et leurs angles dièdres correspondants égaux, et que si on les retranche alternativement du corps AMOEFH, les restes seront les deux prismes triangulaires AOMELI, ABDEPH. Ces deux prismes sont donc équivalents; or le premier étant la moitié du parallélépipède BH, il en sera de* même du second.

Cette démonstration m'a été communiquée^ en i8o3 par M. Fournier jeune; mais M. Ampère, alors professeur à l'Ecole centrale de Lyon, en avait déjà trouvé, de son côté, le principe.