Î'JI ÉLÉMENTS
THÉORÈME
252. Si l'on coupe un tétraèdre par des plans parais lèles à sa base et équidistants y on pourra former à chaque tranche un prisme extérieur et un prisme intérieur, de manière que la somme des premiers approche autant quon voudra de celle des seconds y et, par conséquent y aussi du tétraèdre.
Démonstration. — Soient ABC {fig- i35) la base du léiraèdre proposé, et FGH, LMN, QRT les plans coupants ; on mènera par les points A et B , F et G , L et M, Q et R, les droites AD et BE, la et Ki, 0/et Pg^, U/ et Mm , parallèles à l'arête CS , et terminées aux plans coupants supérieurs. A la première tranche ABCFGH, le prisme extérieur sera ABCDEH, et le prisme intérieur aiCFGH. Pour abréger, je désignerai l'un par AH et l'autre par aH. A la seconde tranche FGHLMN, le prisme extérieur sera FN et l'intérieury* N , et ainsi de suite jusqu'à la dernière tranche SQRT, qui n'aura point de prisme intérieur, mais un prisme extérieur QS.
Tous ces prismes ont pour hauteur commune l'épaisseur des tranches; et le prisme intérieur de chaque tranche , étant compris entre les mêmes parallèles que le prisme extérieur de la tranche au-dessus , est égal à ce dernier (240) -, en sorte que
iiH = FN, /N = LT, /T = QS,
et, par conséquent,
«H -f-/N -h /T = FN -I- LT -f- QS ,
somme qui comprend tous les prismes extérieurs , excepté le premier, AH : celui-ci est donc l'excès de la somme des prismes extérieurs sur celle des prismes intérieurs.
Je n'ai considéré que quatre tranches, mais on en peut faire autant qu'on voudra-, et plus le nombre en sera grand, plus leur épaisseur ou celle du prisme AH dimi-
DK GÉOMÉTRIK. ifS
nuera. 11 pourra, par conséquent, être rendu moindre qu'un prisme donné, quelque petit que soit celui-ci : il en sera donc ainsi de la différence entre la somme des prismes extérieurs et celle des prismes intérieurs. Mais le tétraèdre SABC étant plus petit que la première somme et plus grand que la seconde , sa différence avec Tune quelconque des deux sera encore moindre que leur différence propre : on pourra donc faire en sorte que Tune et l'autre somme approchent autant que l'on voudra du volume de ce tétraèdre.
THÉORÈME
253. Deux tétraèdres de même base et de même hauteur sont équivalents.
Démonstration, — Si l'on conçoit que sur chaque tétraèdre SABC, S'A'B'C, on ait construit une suite de prismes extérieurs correspondants , ces prismes , compris entre des plans parallèles , ont nécessairement même hauteur 5 les sections qui leur servent de base, étant respectivement à même distance du sommet, ainsi que les triangles égaux ABC, A'B'C, bases dès tétraèdres , sont égales chacune à chacune (236) : les prismes, extérieurs correspondants sont donc équivalents ; par conséquent, la somme des prismes extérieurs d'un tétraèdre est égale à celle des prismes extérieurs de Tautre. Si donc fi'lf' désignent ces deux sommes , on aura *
/=r/' ou ^r^i;
mais comme on peut rendre aussi petite qu'on le voudra ^ la différence entre chacune de ces sommes et le tétraèdre auquel elle appartient, on parviendrait à prouver que la
f SABC ^ . ,
différence entre les rapports '■- et ^,^,^,q, est moindre
qu'aucune grandeur donnée-, et, par là, celle du rapport
invariable ^ ^^ , et de Tunité l'étant aussi, il en résulte
que ^^ = I (153) , ou que SABC = S'A'B'C (i).
THÉORÈME
254. Un tétraèdre est équivalent au tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.
Démonstration, — Si , par les points A et C de la base ABC du tétraèdre EABC {fig* i36), on mène les droites AD, CF parallèles à l'arête BE, et par le point E un plan parallèle à ABC , on formera un prisme triangulaire ABCDEF (237). Si maintenant on fait passer par les sommets A , E , C des angles trièdres de ce prisme un plan , il en séparera d'abord le tétraèdre proposé EABC , dont la hauteur et la base seront les mêmes que celles du . prisme; il restera ensuite une pyramide quadrangulaire EACFD, représentée à part en E'A'C'F'D', dont le sommet sera en E , et qui aura pour base la face postérieure ACFD du prisme. Si , par les points D, E, C, on fait passer un nouveau plan, il partagera cette pyramide en deux tétraèdres EACD, ECFD, représentés à part en Y." A" CD", E'^^C'^T'^'D"'-, leurs hauteurs seront égales puisqu'ils ont leur sommet au même point E et leurs bases sur un même plan. Ces bases seront aussi égales •comme étant les moitiés du parallélogramme ACFD. Les tétraèdres EACD, ECFD seront donc équivalents (numéro précédent) 5 mais le second pouvant être considéré comme ayant pour base le triangle DEF, égal au
(i) On démontrerait immédiatement qiPil y aurait absurdité à supposer un des tétraèdres plus grand que Tautre : il suffirait pour cela de consi> <icrer des prismes extérieurs tels , que la différence entre ceux qui seraient formés sur le tétraèdre supposé le plus petit et ce tétraèdre fût moindre que la différence des deux tétraèdres; cor il en résulterait que la somme des prismes extérieurs correspondants, formés sur le tétraèdre qu'on regarde comme le plus grand, «eralt moindre que ce tétraèdre.
triangle ABC, et son sommet au point C, il aura même base et même hauteur que le prisme , et sera en conséquence équivalent au premier tétraèdre EABC. Donc les tétraèdres EABC, EACD, ECFD seront équivalents; donc chacun sera équivalent au lîers du prisme triangulaire qu'ils composent.
THÉORÈME
255. Les parallélépipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.
Démonstration. — Soient les parallélépipèdes rectangles AG et IP [fig- 137), dont les bases AC et IL sont des rectangles égaux: 1°. Si les hauteurs AE et IN sont commensurables , qu'on les divise en parties Ka et \i égales à leur commune mesure, et que, par les points a et z*, on mène des plans parallèles à AC et IL , ou formera les parallélépipèdes kc et 1/ égaux entre eux (240) ; mais le nombre de ces parallélépipèdes étant dans A G le même que celui des parties égales contenues dans AE , et dans IP le même que celui des parties égales contenues dans IN , on aura évidemment
AG : IP :: ae : m,
conformément à Ténoncé.
a". Lorsque les hauteurs AE et IN ne sont pas commensurables , le tour de démonstration employé dans le n** 166 prouve de même que le rapport du parallélépipède AG au parallélépipède IP ne peut être ni plus grand ni plus petit que celui de AE à IN. En effet, si l'on suppose la proportion
AG : IP :: AE :IR, et ir>in,
on portera sur IN des parties aliquotes de AE plus petites que NR*, et, par le point de division n^ tombant entre N et B, on mènera 'un plan parallèle à IL pour former le
parallélépipède Ip , à Tégard duquel on aura
AG : i/? :: AE : in.
De celle proporlion et de la précédenle , on lirera IP:I/? :: iR:i/i,
résullal absurde , puisque IP <^ Ip el IR > Iw. On ne saurail faire non plus
AG : IP : : AE : IR' et IR' < in ;
car, pour un poinl de division n'^ placé enlre R' el N , on
aurai l
AG : i/?' :: AE : w,
d'où l'on conclurail
IP : Ip' :: IR' : i/i'; ce qui es l encore absurde , puisque IP > Ip' el IR' <^ln\
THÉORÈME
256. Deux parallélépipèdes rectangles quelconques , AG et IP (fig. i38), sont entre eux comme les produits des arêtes qui forment un même angle trièdre.
Démonstration. — Si Ton prend sur l'arêle IN du parallélépipède IP une partie 11' = AE, el sur l'arête BC du parallélépipède AG une partie BC' = IM5 puis qu'on mène le plan l'L' parallèle à IL, el le plan C'H' parallèle à AF, on construira les parallélépipèdes IL' el AG' qui auront pour bases les rectangles IJVl' et AH', formés sur des bases et des hauleurs égales : on aura donc , par le numéro précédenl ,
AG' : IL' :: ab : IR;
el en comparanl les parallélépipèdes AG el AG', considérés comme ayant pour base le rectangle AF, il viendra
AG: AG' :: ad : Aiy.
DE GÉOMÉTRIE. 1 -y-y
Multipliant ces proportions par ordre, en omettant le facteur AG', commun aux deux termes du premier rapport composé^ et substituant à AD' son égale IM, on conclura
AG : IL' :: ÂBxÂD iîkxîm.
Enfin , les parallélépipèdes IL' et IP, ayant même bascî IL , donneront la proportion
IL' :IP ::ii':iN.
Multipliant encore cette proportion et la précédente par ordre, en omettant le facteur IL', et remplaçant II' par son égale AE, il viendra
AG : IP : : ab x ad x ae : ik x im x in ,
ce qui donne l'énoncé du théorème.
257. Remarque. — Si Ton choisit pour terme de com- . paraison , de tous les parallélépipèdes rectangles, le parallélépipède rectangle ag {fig* iSg) dont les trois arêtes contiguës ab ^ ad^ ae soient égales à la ligne prise pour unité ou pour mesure commune des droites, leur produit sera l'unité , et Ton aura
ag\ KG \\ I : ÂB X ÂD X ÂÊ;
c'est-à-dire que le parallélépipède rectangle AG contient' dra autant de fois le parallélépipède rectangle ag^ que le produit des lignes AB, AD , AE , rappoitées à la mesure commune ab , contient r unité. C'est là ce qu'il faut entendre quand on dit que la mesure du ^volume d'un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois at^tes contiguës^ et si l'on observe que le produit AB X AD exprime le nombre des carres égaux à ac, contenus dans la base AC (168), ou, ce qui est la même chose, donne la mesure de Taire de cette base , on en conclura que le volume d'un parallélépipède rectangle a pour
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