ÉLÉMENIS

mesure le produit de sa base par sa hauteur, évaluéc^s

Tune et Fautrc numériquement.

Dans le cas où les arêtes AB, AD et AE contiendraient un nopabre exact de fois le côté ab du parallélépipède ag . on reconnaîtrait, à l'inspection de la figure, que Ton pourrait placer sur la base AC autant de parallélépipèdes égaux à ag^ que cette base contient de fois la base ac, et qu'on formerait ainsi un parallélépipède de même base que AG , de même hauteur que ag^ et qui serait contenu dans AG autant de fois que la "hauteur AE contient la hauteur ae ou le côté ab ; d'où il suit encore que le parallélépipède AG contient autant de parallélépipèdes égaux à ag que le produit de la base ABCD par la hauteur AE contient d'unités.

258. 1" corollaire. — Si les trois arêtes AB, AD, AE étaient égales entre elles, le volume du parallélépipède

AG serait mesuré par AB X AB := AB , ou par la troisième puissance de AB5 mais il est visible que, dans ce cas, les six faces du parallélépipède rectangle AG deviennent des carrés égaux : on lui donne alors le nom de cube y et de là vient qu'on appelle cube la troisième puissance d'un nombre.

259. 2® corollaire, — Puisqu'un parallélépipède quelconque peut toujours être transformé en un parallélépipède rectangle de même hauteur, et construit sur une base équivalente (249), il s'ensuit que le volume d'un parallélépipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur 5 et que, par conséquent, deux parallélépipèdes de même hauteur et de bases seidement équivalentes comprennent le même volume.

260. S*' corollaire, — Le volume du prisme triangulaire ABCEFG [Jig- 129), étant équivalent à la moitié de celui du parallélépipède ABCDEFGH (250) , aura pour mesure, d'après ce qui précède, la moitié du pro-

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duil de la base de ce parallélépipède par sa hauteur-, mais le triangle ABC, qui forme la base du prisme, n'étant que la moitié de celle du parallélépipède, il est évident que le volume d'un prisme triangulaire aura pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Le volume d'un prisme qui a une base quelconque ABCDE [fig- 128) s'exprime de la même manière 3 car si l'on partage le polygone ABCDE en triangles par des diagonales AC, AD, et que, par ces diagonales et par les arêtes parallèles qui leur sont contiguës , AF et CH, AF et DI , on mène des jJans , on partagera le prisme AI en trois prismes triangulaires de même hauteur, et dont les bases seront ABC , ACD , ADE. En désignant par H la hauteur commune de ces prismes, ou la distance perpendiculaire des plans qui contiennent leurs bases inférieures et leurs bases supérieures , les mesures de leurs volumes respectifs seront

ÂBCXH, ACDXH, ÂDËXH;

leur somme (ABC -f- ACD + ADE) H = ABCDE X H donnera le volume du prisme total AI.

On conclut de là que les volumes de deux prismes quelconques sont entre eux comme les produits de leur base par leur hauteur, et que, par conséquent, ils sont entre eux comme leurs hauteurs lorsqu'ils ont des bases équivalentes, ou comme leurs bases lorsqu'ils ont même hauteur, ou enfin que ces prismes sont équivalents lorsqu'ils ont à la fois même hauteur et des bases équivalentes, et cela, quelles que soient les figures de ces bases.

261 . 4* corollaire. — Le volume d'un tétraèdre a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur, puisque ce volume est le tiers de celui du prisme, qui est mesuré par le produit de sa base par sa hauteur (234) .

262. 5® corollaire. — Les mêmes mesures conviennent aux pyramides (juejconques ; car si l'on partage en

l8c) l^XKMKNTS

triangles la base AHCDp de la pyramide <{ueicoiique SABCDE (Jig' 1^-7)^ et que Ton mène des plans par le sommet et par ehacnnedes diagonales AC, AD, cette pyramide se trouvera partagée en trois tétraèdres de mém(î liauteur, et dont les bases seront respectivement ABC , ACD, ADE : le volume de- chacun de ces tétraèdres étant mesuré par le tiers du produit de sa base par sa hauteur, la somme des volumes de tous trois, ou celui de la pyramide proposée sera évidemment égal au tiers du produit de la somme de leurs bases par la hauteur commune, c'est-à-dire au tiers du produit de la base de la pyramide proposée par sa hauteur.

11 résulte de là que deux pyramides quelconques sont entre elles comme les produits de leur base par leur hauteur, et seulement comme leurs bases si les hauteurs sont les mômes , ou comme leurs hauteurs si les bases sont équivalentes , ou enfin que ces pyramides sont équivalentes lorsqu'elles ont à la fois même hauteur et des bases équivalentes , quelles que soient d'ailleurs les figures de; ces bases.

263. Remarque, — Puisqu'on peut trouver la hauteur de la pyramide dont un tronc donné à bases parallèles fait partie (234), il est évident qu'on aura le volume de ce tronc en calculant séparément le volume de la pyramide entière, celui de la pyramide retranchée, et prenant la dinéreuce des deux résultats.

On voit encore qu'un polyèdre quelconque pouvant toujours être partagé en pyramides (241), l'évaluation de son volume s'opérera en calculant séparément, d'après ce qui précède, celui de chacune des pyramides qu'il c-onticnt, et prenant la somme des résultats : je ne m'arrêterai donc pas sur ce sujet.

Cependant , il est une espèce de polyèdre à laquelle on peut ramener toutes les autres , et que , pour cette raison , il est bon d« connaître : c'est le prisme triangulaire trou-

DE GÉOMÉTRIE. l8l

que, qui ne diiiëre du prisme triangulaire ordinal le que parce que le plan opposé à sa base n^est point parallèle à cette base, et que, par conséquent, ses faces son tdes trapèzes au lieu d'être des parallélogrammes. ABCDEF (/i\i,'. i4<>) est un prisme triangulaire tronqué.

THÉORÈME

264. Un prisme rectangulaire tronqué est toujours équii^alent à trois tétraèdres de même base, et ayant leurs sommets respectifs placés à chacun des angles du triangle opposé à cette base.

Démonstration. — En faisant passer un plan par les trois points A, C, E, on détacherait d'abord du prisme ABCDEF le tétraèdre EABC, dont la base est le triangle ABC, base du prisme, et dont le sommet est placé à l'angle E du triangle DEF opposé à cette base. Il resterait ensuite la pyramide quadrangulaire EACFD, qui se diviserait en deux tétraèdres EACD, ECFD, en menant par la diagonale DC et par le point E le plan DEC. Ces tétraèdres ne sont pas ceux qui sont désignés dans l'énoncé \ mais en rétablissant le prisme dans son entier, on prouve facilement qu'ils sont équivalents à ces derniers.

En effet , si l'on mène dans la face ABED la diagonale BD, et que l'on conçoive le plan BDC, on aura le tétraèdre BACD ^ construit sur la base ACD du tétraèdre EACD, et de même hauteur, puisque les sommets B et E de l'un et de l'autre sont sur une même droite BE, parallèle au plan de leur base \ mais on peut aussi considérer le tétraèdre BACD comme ayant son sommet au point D, et pour base le triangle ABC : ainsi, ce tétraèdre est tel que l'exige l'énoncé.

Pour trouver le tétraèdre équivalent à ECFD , il faut , dans les faces ACFD et BCFE , tirer les diagonales AF vi BF \ et concevant alors le plan AFB , on a le tétraèdre BACF, dont la base ACF est équivalente à la base CFD

du tétraèdre ECFD, puisque ces deux triangles ont même base CF et sont compris entre les parallèles AD et CF ; de plus , les tétraèdres , ayant leurs sommets sur la même droite BE, parallèle au plan de leur base , ont par conséquent la môme hauteur : ils sont donc équivalents. Le tétraèdre RACF, considéré comme ayant son sommet placé en F, et pour base le triangle ABC, sera le troisième tétraèdre désîp;né dans l'énoncé.

265. Corollaire, — Il suit du théorème précédent, que le volume d'un prisme triangulaire troijqué a pour mesure le produit de sa base par le tiers de la somme des trois perpendiculaires abaissées sur cette base, de chacun des angles de la base supérieure , puisque ces perpendiculaires sont les hauteurs respectives des tétraèdres, à la somme desquels le prisme est équivalent, et qui ont tous pour base celle du prisme.

THÉORÈME

266. Dcur polyèdres semblables sont entre eux' comme les cubes rie leurs arêtes homologues.

Démonstration , — i". Si les polyèdres proposés sont les pyramides S'ABCDE, S'FGHIK (fig- 127), on aura, par le n*^ 235,

ABCDE : FGUIK :: SP' : S^'; multipliant cette proportion par la proportion évidente

IsPijS'Q ::SP:S'Q,

il viendra

ABCDE X 7SP : FGHIK X jS'Q :: SP' ; S'Q'.

Les deux premiers termes de cette proportion , qui expriment les volumes des pyramides proposées , montrent que ces volumes sont entre eux comme les cubes de leurs hauteurs ; mais la similitude des pyramides donne

DE GÉOMÉTRIE. i83

aussi (233)

SP : S'Q : : sa : s' F : : ab : fg ; d'où Ton lire

SP' : s^' :: SA' : s^' :: âb' : fq\

et, par conséquent,

SABCDE : S'FGUIK :: SA' : smf' :: âb' : fg' j

e'est-à-dire que les pyramides semblables sont entre elles comme les cubes de leurs arêtes homologues , soit que ces arêtes partent du sommet, soit quelles se t rouvrent sur la base (i).

2". Lorsqu'il s'agit de deux polyèdres quelconques, ou peut les concevoir partagés en un même nombre de pyramides semblables et semblablement disposées (243). Chacune d(;s pyramid(»s du premier polyèdre sera à celle qui lui correspond dans le second comme le cube de Tune de ses arêtes est au cube de l'arête homologue de l'autre jiyramide-, mais ces arêtes , qui sont nécessairement ou les arêtes mêmes des polyèdres proposés , ou les diagonales de leurs faces, ou enfin les diagonales qui joignent intérieurement les sommets de leurs angles polyèdres, sont, d'un polyèdre à l'autre, dans le même rapport (244); leurs cubes formeront, par conséquent, une suite de rapports égaux, et ces rapports étant aussi égaux à ceux des pyramides , il en faut conclure que ces derniers sont égaux entre eux. Par conséquent , la somme des pyramides du premier polyèdre est à la somme des pyramides du second comme une quelconque des pyramides de l'un est à la correspondante de l'autre, ou comme le cube de l'une quelconque des arêtes du premier polyèdre

(0 Eu imitaui lu consiructioii et lo raisonnoment du n« 177, il serait lacile de prouver que les volumes de deux telracdres qui ont un anf^li; dièdre commun sont entre fur comme les produits des arctcs qui, dans chacun^ comprennent cet ani^le.

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est au cube de Tarète homologue du second. Substituant dans cette proportion , à la place des sommes des pyramides, les polyèdres qu^elles composent, il en résultera que ces corps sont entre eux dans le rapport des cubes de leurs arêtes homologues.