AO: A'O' :: S0:S

d^où l'on tire

AO — A'O' : so — se :: ao : so,

ce qui revient à

AO — A'O'rOC :: AO:SO,

proportion dans laquelle les trois premiers termes sont donnés, et qui fera connaître la hauteur du cône entier.

(0 On donne'le nom de c6ne droit à celui que je décris îcî , |)oup le distinguer du c6ne oblique à base circulaire, qui 8''engendre en faisant tourner aulour d'un point S (fg, ilja) une droite SA, assujeilie à toucher continnellomeril la circonférence d'un cercle ADB, situe dans un plan qui ne passe pas par le point S. La droite S(^, que Ton nomme encore Vaxc du cône, n'*c&t plus perpendiculaire au plan de la base ADB.

l8() ÉLKMKNTS

THÉORÈME

269. Si ton construit des polygones réguliers, £n^ scrits et circonscriis à la base du cône, et que Von joigne les angles de ces polygones a^ec le sommet du cône, ces lignes détermineront des pyramides dites régulières , parce que toutes leurs faces triangulaires seront égales; et parmi ces pyramides, on pourra toujours en trouver deux, l'une inscrite^ l'autre ciivonscrite, telles, que la différence de leurs aires Soit moindre quune grandeur donnée, quelque petite que soit cette grandçur.

Démonstration, — Soit abcdef {fig, i43) le polygone inscrit dans la base du cône 5 en tirant les droites «S, iS, ^S, etc. , et joignant ces droites par des plans, on aura la pyramide Sabcdef. L'aire de cette pyramide , sans y comprendre sa base abcdef^ est composée des triangles aSh , iSc, cSd^ etc. , égaux entre eux, puisqu'ils sont formés par les côtés du polygone ahcdcf que l'on suppose régulier, et par les obliques Sa, Si, Se, etc., qui s'écartent également de la perpendiculaire SO. L'aire de l'un de ces triangles, de aSb par exemple, a pour mesure ^ab x Sg^ Sg étant perpendiculaire sur ab. Leur somme aura pour mesure -N X «i X Sg^ , en désignant par N le nombre des côtés du polygone abcdef\ et comme N X «^ est évidemment le contour de ce polygone , on en conclura que Vaire de la pyramide régulière, lorsqu'on ny comprend point sa base , a pour mesure la moitié du produit du contour de cette base par la perpendiculaire abaissée du som-^ met sur l'un de ces côtés.

Dans la pyramide circonscrite , dont je n'ai représenté qu'une seule face ASB , pour ne pas trop compliquer la figure , les faces sont toutes égales entre elles comme dans la pyramide inscrite, parce que les arêtes SA, SB sont toujours dos obliques qui s'écartent également de la perpcudi-

culaire SO. Le milieu du côte AB du polygone circonscrit étant précisément le point de son contact avec la circonférence du cercle aGft/, la perpendiculaire SG , abaissée du point S sur AB , se confond avec le côté du cône. L'aire du triangle ASB a pour expression J-AB xSG,et, par conséquent, celle de la pyramide entière, à l'exception de sa base , sera fN X AB X SG-

Cela posé, si l'on désigne par p et P les aires de la pyramide inscrite et de la pyramide circonscrite , et par p' et P' les contours de leurs bases, on aura

P = \p'X^8j P=:iP'XSG;

d'où l'on conclura

P — ;? = 1 F X SG - i /?' X Si .

Mais il résulte de la nature des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle (151), que les contours de ces polygones approchent sans cesse de l'égalité à mesure que l'on multiplie leurs côtés 5 et il est visible que, dans les mêmes circonstances , la différence entre les droites SG et Sg peut devenir aussi petite qu'on voudra : les produits jP'xSG et 7/?' xSg" approcheront donc aussi sans cesse de l'égalité , et la différence des aires de la pyramide inscrite et de la pyramide circonscrite pourra , par conséquent , devenir moindre que telle grandeur donnée qu'on voudra.

270. Corollaire. — Il est évident que plus on multiplie les côtés des polygones inscrits et circonscrits, plus les pyramides inscrites et circonscrites approchent de se confondre avec le cône , et plus en même temps Faire de la pyramide inscrite augmente, tandis que celle de la pyramide circonscrite diminue. En effet, le contour du polygone inscrit augmente toujours, ainsi que la droite Sg , qui , en s' approchant de la surface conique , s eloigiie

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sans cesse de la perpendiculaire SO, tandis que le contour du polygone circonscrit diminue sans cesse en s'approchant du cercle, et que la droite SG conserve la même grandeur. Il suit évidemment de là que, pour Tétcudue, Faire du cône est toujours comprise entre celles de la pyramide inscrite et de la pyramide circonscrite 5 majs comme , par le théorème précédent , on peut rendre la différence de ces dernières moindre qu'une grandeur donnée, quelque petite qu'elle soit, on pourra toujours, à plus forte raison, rendre la différence entre l'aire du cône et celle de la pyramide inscrite ou de la pyramide circonscrite, aussi petite qu'on le voudra.

THÉORÈME

271 . Vaire d'un cône droit a pour mesure la moitié du produit de la circonférence du cercle qui lui sert de base par son côté, ou \ CR, en nommant la première C et le second R.

Démonstration. — Si P représente actuellement le périmètre du polygone circonscrit , l'aire de la pyramide circonscrite sera exprimée par 5- PR (269) , puisque R est la même chose que SG5 et désignant par X la vraie mesure de Taire du cône, les trois quantités ^ PR, jCR et X seront dans le cas du n° 1 86 , puisque la première , toujours plus grande que les deux autres, en vertu du n*^ 270 , et à cause que P > C , peut en approcher d'aussi près qu'on voudra : on aura donc

X = iCR{.).

(i) Ce théorème se démontrera il immédiatement par un raisonnement analogue à celui de la note du no 187, en substituant des pyramides aux polygones employés dans la note citée. Le lecteur trouvera aisément do quelle manière il faudrait modifier. ce raisonnement pour rappliquer aux propositions des n^s 2715, 280, 283, 297 cl 504, qui complètent la mesure de l'aire cl du volume des corps ronds.

DE GIÎOMÉTRIE'. 189

THÉORÈME

Î272. Uaire de la portion qui reste de la surface co~ nique après quon en a retranché une paitie SA'D'B' par un plan parallèle à la hase y ou faire du cône tronqué ADBEA'D'B'E' (fig. i44) « pour mesure la moitié du produit de la somme des circonférences de ses deux bases ADB et A'D'B' par son côté AA'.

Démonstration, — 8î Ton élève par le point A , perpéntli cul ai rement à SA, la droite AC, égale en longueur à la circonférence ADBE, et que Ton tire SC, l'aire du triangle rectangle SAC ayant pour mesure ^ACxSA, est équivalente à l'aire du cône SADBE (numéro précédent). Tirant ensuite la droite A'C parallèle à AC, les triangles SAC et SA'C, semblables entre eux, donneront