AC : A'C :: SA : SA

mais on a aussi (267)

circonf. ADBE : circonf. A'D'B'E' :: SA : SA';

le rapport SA : SA', commun entre ces deux proportions , conduit à la suivante ,

circonf. ADBE : circonf. A'D'B'E' :: AC : A'C;

et puisque AC = circonf. ADBE, par construction, il en résulte

A'C = circonf. A'D'B'E'.

11 suit de là que l'aire du triangle SA'C, égale à j A'C X SA', sera équivalente à celle du cône retranché SA'D'B'E' ; Faire du trapèze ACC'A' sera donc écjuivalcnte à celle du tronc de cône ADBEA'D'B'E'^ et comme la droite A A' est perpendiculaire aux droîtt^s AC et A'C, la mesure du trapèze ACCA' sera (175)

IAA'(ACh-A'C'),

tfju

»,LÉlfl.>7-*

PBOELKNE.

27^>. Ttouvft h' Tofumf' (Tr.n frr.'nc fi*^ cônr droii à

S^AutioN, — Il faudra pr*>lonçer les c<*té* AA' et BB' ( fif^, I i4 f ju^ju â r^ qu'ils se ftrnr-oDtrent . pour comiaitie la liauffir S^J du rône entier « 368 1. au moyen de laquelle on auia pr^ui le \oluiDe de re corps. | SO X ADBE; et M/U!>l rayant di* S^J la hauteur du tirjDC OO', le reste SO' M'ra la liauUrur du cône retrandié. dont le Tolume sera, yj^i r;fiiiM'quifnt. exprimé par \ >id' X A'D'B'E'. La dit fénuitA', r-ntie w; produit et le précédent sera le Tolnme du tronc de c6ne proposé.

277. Si l'on conçoit que le lectangle ACC* A' (fig- 145) tourne autour di; l'un de ses côtés CC. il engendrera le corps apjM^é cylindre droit ^ la ligne A A' déciîra dans c-e fijou\cnicnt la surface cylindrique droite.

Vax point quelconque A'' de cette droite décrira la cîrconférenœ du cercle A^D^'B''', ^al et parallèle au cercle ADB engendré par AC, et que Ton nomme la ttasa du cylindre; car la droite A^C", perpendîciilaîre à CCy cl égale à AC, décrira , en tournant autour de CC, un plan parallèle au plan ADB cl dont rintersection avec la sui-face cylindrique sera A''D"B''. Il lésulte de là (|uc la section de la surface du cylindre droit par un plan parallèle à sa base est un cercle égal à cette base.

Le cylindre est teiminé supérieurement par une base A'D'H' égale (ît parallèle à sa base inférieure ADB. La droiu» (;(!' autour de laquelle tourne le parallélogramme A(X/A', cl qui contient évidemment les centres des bases cl ceux (les sections qui leur sont parallèles, se nomme VdXc (In c) /indre, vi est perpendiculaire à la base (i).

(i) L« vylindtt' ohUque oMt c«lui que ronformc la surface décrite par une

DE GKOMÉTRFE. i()3

THÉORÈME

278. Si l'on inscrit et circonscrit au cercle qui sert de hase à un cylindre des polygones d'un même nombre de côtés, et que, par les sommets des angles de ces polygones, on mène des droites parallèles à Vaxe OO' (fig. 147) en joignant leurs extrémités supérieures par d'autres droites y onjoimera deux prismes, Vun inscrit. Vautre circonscrit au cylindre proposé; et Von powra toujours prendre ces piismes tels, que la différence de hurs aires soit moindre quune grandeur donnée^ quel-^ que petite que soit cette grandeur.

Démonstration, — Les droites aa\ bb' , etc., élevées parallèlement à OO', et, par conséquent , perpendiculaires au plan abcdef^ seront sur la surface du cylindre, puisque les rectangles aOO'a', bOO'b' sont égaux au rectangle générateur. Il est évident d'ailleurs que les rectangles abb'a'^ bcc'b\ etc., sont égaux, puisqu'ils ont visiblement deux angles et trois côtés égaux chacun à chacun (85). liCs arêtes aa' ^ bb^^ etc., étant perpendiculaires sur ai, ic, etc., les aires des rectangles af,

ic', etc., seront exprimées par ab X ««'> bc X ii', etc. 5 réunissant ces produits, en observant qu'ils ont tous un facteur commun, puisque aa = hb' = etc. , l'aire du prisme inscrit, sans y comprendre les bases abcdefj a^V c' d' e' f ,^ sera exprimée par [ab + bc -^-cd-hde -h- ef-hfa) X aa\

droite quelconque AA' (Jîg. 146)» assujettie à glisser parallèleinent à elle-même le long de la circonférence d'un cercle ADB. Si Ton considère la droite génératrice A A' parvenue dans une position quelconque DD'; que, par le centre de la base, on mène CC parallèle et égale à AA', qu'on termine le corps par un plan A'D'B' parallèle à ADH, en tirant CD', on formera le parallélogramme DCC'D', et l'on aura C'D' = C:D. Ainsi, la base supérieure A'D'C du cylindre oblique sera un cercle, aussi bien qu» sa base inférieure et toutes les sections qui lui sont parallèles; mais l'axe ('C ne sera point perpendiculaire sur cette base, comme dans le cylindre droit.

GÉOMÉTRIK, l6* <°V//V. l3

ig4 ÉLÉMKKTS

OU par pxHys\ f) désigne le périmètre du polygone abedef

et H la hauteur aa' ^ commune au prisme et au cylindre.

Pour éviter la confusion, je n'ai représenté qu'une seule face ABB'A' du prisme circonscrit. Il est visible que si, dans cette face et par le point G, où le côté AB touche le cercle, on tire GG' parallèlement à OO', cette droite sera sur la surface cylindrique, puisque le rectangle GOO'G' est égal au rectangle générateur. L'aire du rectangle ABB'A' étant exprimée par ABxGG', Taire totale du prisme circonscrit, en n'y comprenant point les bases , sera égale au contour P du polygone circonscrit, multiplié par la hauteur GG' ou H commune à tous les parallélogrammes qui forment l'enveloppe du prisme circonscrit et celle du prisme inscrit.

Cela posé, la différence entre l'aire convexe du prisme inscrit et celle du prisme circonscrit sera

et pourra devenir aussi petite qu'on voudra, en prenant des polygones inscrits et circonscrits dont les contours P et /? diffèrent l'un de l'autre de moins que telle grandeur donnée qu'on voudra.

279. Corottaire, — 11 suit évidemment de la proposition précédente, et par les raisons déjà développées dans le n** 270, que la surface cylindrique est moindre que celle du prisme circonscrit et plus grande que celle du prisme inscrit, et que l'on peut , par conséquent , trouver un prisme , soit inscrit, soit circonscrit , dont l'aire diffère aussi peu qu'on voudra de l'aire du cylindre droit.

THÉORÈME

280. L'aire de la surface com^exe du cylindre droit a pour mesure le produit de la circonférence de sa hase par sa hauteur ^^ ou le produit CH.

Démonstration, — Si l'on désigne par V le contour du

DE GÉOMÉTRIE. igS

polygone qui sert de base au prisme circonscrit au cylindre , et par X la vraie mesure de ce dernier, on aura PH pour Taire du prisme circonscrit , et il est visible que les troisKjuantités PH , CH et X seront dans le cas du n** 186 : on aura donc X = CH.

THÉORÈME

281 . On peut toujours former deux prismes , Vun inscrit et Vautre circonscrit au cylindre y tels y que leurs volumes diffèrent aussi peu qiCon voudra.

Démonstration. — Le volume du prisme inscrit abcdefa'b'c'd'e'f est égal à abcdêfx H (260) ; et désignant l'aire du polygone inscrit parp , celle du polygone circonscrit par P, le volume du prisme inscrit sera mesuré par pH , et celui du prisme circonscrit par PH : leur différence étant (P — p) ^ H pourra devenir aussi petite qu'on voudra, puisque la différence P — p entre l'aire du polygone inscrit et celle du polygone circonscrit peut être rendue moindre qu'une grandeur donnée, quelque petite qu'elle soit (184).

282. Corollaire. — 11 suit de là que l'on peut construire un prisme inscrit et un prisme circonscrit tels , que leurs volumes diffèrent aussi peu qu'on voudra de celui du cylindre, qui sera d'ailleurs toujours plus grand que le premier et moindre que le second.

THÉORÈME

283. Le volume d'un cylindre droit a pour mesure le produit de l'aire de sa basé par sa hauteur, ou CH, C étant faire de cette base.

Démonstration. — Si l'on désigne par P l'aire du polygone circonscrit, P'H sera la mesure du volume du piisme circonscrit; et si X désigne la vraie mesure du cylindre,

196 KLÉMEl^rS

les trois quantités P' H, C H et X se trouvant dans le cas du n" 286 , on aura nécessairement X = C'H (i).

284. Si le demi-cercle ACB tourne autour de son diamètre AB (fig» 148) , il engendrera la sphère, et la demicirconférence qui l'enveloppe décrira \si surface sphénque.

Dans ce mouvement , un point quelconque D , de l'arc ACB, décrira évidemment une circonférence de cercle ayant pour rayon la perpendiculaire DE, abaissée sur le diamètre AB que Ton nomme axe. Il faut pourtant excepter de cette remarque les extrémités A et B de Taxe, qui restent immobile comme tous les points de cet axe , et que l'on nomme pôles,

La surface sphériquc a tous ses points également éloignés du point O , centre du cercle générateur; car ce point ayant conservé la même situation sur le plan du demicercle ACB , dans toutes les positions prises par ce plan , sa distance à chacun des points de l'arc ACB, qui ont passé successivement par tous ceux de^lJ sphère ^ja'^, pas varié. ^ —

Il suit de là que le rayon du cercle ACB est aussi celui de la sphère.

285. La section de la sphère par un plan quelconque est toujow^s un cercle.

Démonstration. — La proposition est évidente par ellemême , d'après ce qui précède , lorsque le plan coupant passe par le centre de la sphère ; et alors la circonférence de cette section a pour rayon celui de la sphère.

Mais si DGFH désigne un plan quelconque, et que du centre O on abaisse sur ce plan la perpendiculaire

(i) Le théorème ci-dessus a également lieu à Tégard du cylindre oblique; car il est facile de voir que le ihcorème et le corollaire précédents ne supposent pas que l'axe du cylindre et les arêtes des prismes soient perpendiculaires au plan de la baso.

OE , le pied E de cette perpendiculaire sera à égale distance de tous les points de la section DGFH5 car toutes les obliques OD, OG, OF, OH, étant égales comme rayons de la sphère, s'écarteront également de OE (200) : la courbe DGFH sera donc un cercle ayant son centre en E , et DE pour rayon.

286. Remarque, — La droite DE étant nécessairement moindre que le rayon OD , le cercle DGFH sera moindre que celui qui résulterait d'une section faite par le centre de la sphère : ce dernier serait un grand cercle, tandis que l'autre n'est qu'un petit cercle.

Tous les grands cercles, ayant même rayon, sont égaux entre eux.

287. Corollaire, — Deux grands cercles, ACBF, ÂIBH, se coupent toujours en deux parties égales , car il est évident qu'ils ne peuvent se rencontrer que dans la droite AB, commune section de leurs plans, qui, passant parleur centre commun, est en même temps le diamètre de Tun et de l'autre, et les partage, par conséquent, en deux parties égales.

288. Trois cercles qui se coupeut deux à deux sur la surface de la sphère forment un triangle sphérique; mais on ne considère ordinairement que celui qui, comme ICM , est formé par trois arcs de grand cercle plus petits que la demircirconférence.

Si du centre de la sphère on mène des rayons aux points C, I et M, il est visible que ces rayons détermineront un angle trièdre OCIM , dont les angles pUns lOC , lOM, MOC seront mesurés par les arcs CI, IM et CM.

THÉORÈME

289. La somme de deux côtés d'un triangle sphérique est toujours plus grande que le troisième.

Dcnionstration, — Puisqu'en vertu du n° 222, \\

198 ÉLÉMËNTiS .

somme de deux quelconques des trois angles plans lOC , lOM, MOG, qui forment Tangle trièdre OCIM, surpasse le troisième, et que les arcs CI, IM et CM, qui mesurent ces angles, sont du même rayon, il en résulte nécessairement que la somme de deux quelconques de ces arcs, qui serait la mesure de la somme des angles auxquels ils correspondent (HO) , doit surpasser le troisième.

290. 1'*^ corollaire, — Il suit de là que le plus court chemin pour aller d'un point à un autre sur la surface sphérique , est l'arc du grand cercle déterminé par le plaii qui passe par ces deux points et par le centre de la sphère*, car si l'on assignait pour plus court chemin, entre les points A et B [fig* '49) > ^ii© ligne AMNB, différente du grand cercle AB qui passe par ces points, que l'on prit un point M sur cette ligne , et que Ton tirât les arcs de grand cçrcle A M et MB, ou aurait (numéro précédent)

AM4-MB>AB.

Prenant entre M et B le point N, et menant les arcs de grand cercle MN et NB, on aurait encore

MN-+-NB>1VIB, et , par conséquent ,

AM H- MN 4~ NB > AiVH- MB.

En continuant ainsi , on voi t que plus on s'approche de la ligne AMNB, plus le chemin à parcourir pour aller de A en B augmente , d'où il est évident que AB est le plus court. Et l'on n'en saurait trouver d'autre^ car le grand cercle que Ton mènerait par deux points quelconques de l'arc AB se confondrait avec cet arc , puisque tous ses points et le centre de la sphère sont compris dans un seul plan.

J'ai supposé la ligne AMNB extérieure à tous les grands cercles menés par deux quelconques de ses points^ maih

si le contraire avait lieu, ainsi qu'on le voit dans la partie ponctuée MN'A , on tirerait les arcs de grand cercle MN' et AN'^ et comme on aurait