Examinons maintenant le pkn tangent de

la seconde espèce. Un plan quelconque mené

par une droite de Phyperboldïde de révolution^

coupe cet hyperboloïde ( art. ao ) suivant une

autre droite ^et néanmoins il touche cette sur*

face au point de rencontre des deux droites ;

: car , étant perpendiculaire 9u plan méridien

qui divise l'angle des deux droites en parties

égales j il contient la tangente au cercle qui

passe par le sommet de cet angle. Le plan tan«

gentàl'hyperboloïde à «ne nappe coupe aussi cette surface suivant deux droites , et il n'est tangent qu'en un seul point , qui est le point de rencontre des deux droites.

En effet, ces deux droites étant sur la surface , elles comprennent entre elles un angle ^ et des parallèles menées entre lés côtés de cet angle » sont des cordes de la surface ; or , la parallèle à ces cordes menée par le point de la surface 9 sommet de l'angle y est une tangente à cette surface y puisque la longueur de la corde est nulle pour ce point : donc cette tangente est dans le plan des deux droites de l'hyperboloïde. Faisant varier la direction des cordes par allèleis entre les mêmes droites, on prouverait de la même manière que le plan des deux droites de la surface contient toutes les tangentes à cette surface > qu'on peut mener par le sommet de Tangle compris entre i^es deux droites : donc ce plan est tangent à Thyperboldide.

Le tore, simple datis sa génération, présente plusieurs difficultés lorsqu'on examine ses propriétés par rapport au plan tangent. Si du cen-* tre du cercle générateur du tore , on abaisse une perpendiculaire sur l'axe de révolution , qu'on suppose donné hors du cercle , cette perpèndioulaire coupera le cercîe en deux points^

dont les distances à Taxe sont l6s raycmidës ce^ des décrits par ces de ux points. Le plan tangent, en chacun dé ces.points y sera déterininé par les tangentes à deux cercles dont on connaît lés centres et les rayons. Le plan tangent au point 1^ pluséloigné de l'axe est de la première espèce; lé plan tangent au point le plus voisin de Vaxeat .de la seconde espèce. La normale correspondant à ce dernier plan étant menée , les plans conduits par cette Normale coupent le tare suivant des lignes de deux espèces; les unes conveïes vers un côté du plaa tangent y les autres convexes vers/le côté opposé;. Une autre pac^ ticnlarité non nloins remarquable du plan tangent de la Seconde espèce., c'est qu'il coupe k . surface du tôrè suivant une courbe , en sorte que le plan est à-là-fois tangent et sécant. Le point de contact est en même temps un point double (i) de la courbe contenue dans œ plan ; les tangentésÀ cette courbe au point don* ble (a) y déterminent deux sections normales ,

(i) On appelle point double d'une courbe celui où deux branches de cette courbe se coupent ; point triple > le point commun à trois branches; et en général point multiple y celui ou plusieurs branches d^ùnê mêkne conroe se croisent.

(a) D'autres droites menées par ce point dans le planât

dont les plans pbssent par ces tangente^ tt par la noriiiale; on démontre que ces seetions sont lès limites des autres seetidtis nor orales touchées dans un sens où danis l'àutte par le plau tangent; Là démonsfration de cette piropoâtiôn repose sur la théorie (le la courbure d'un élément de surface oourfoe , donnée par Sùler/ théorie que nous exposerons dans l'appendice qui termine ces éléibèUs de géomé** trie à trois dimensions.

4o. Qu'un plan tiingentà titlë surfaëè soit dé la première ou dé la secdndé espèce ^ le point de coHtact de la sar&ce et du plan est déterminé. Si par be point on mène un plan quelconque ^ qui coupe la sur&ce suivant une courbe et le plan suivant ude droite > cette droite est tangente à la courbe au même point. Réciproquement> toutes les tangentes à Ude surface menées par un point quelcbilque de fcette surface y sont situéeë dafis un même plan 'y à moins que ce point à6 la sûrfkcé ne ëoit multiple. Par points multiples ff'&ûe ÉuiÙLce j on entend les poipts communs à plusieursnapiiesde là même sar&ce ; auquel cas ^ on peut mener par chacun

h côtiAe qui est aussi lé plantangeht delà Siir&ce, sont des sëcatites de cette courbe.

de ces points autant de plans tangens à la mt^ face qu'il y a de aappes , et chaque plan con*tient un nombre infini de tangentes à la surface qui passent par le point de contact. Ainsi, lorqu'on ^QÛnit ( art. 57 ) le plan tangent d'une surface , celui qui passe par deux tangentes , oa suppose que le point de contact n'est pas mul^ tiple. La surface de la sphère n'a pas de points multiples y et le plan tangent mené par deux tangentes à la surface ne peut pas la couper^ car il la couperait suivant un cercle qui serait touché au même point par deux droites; ce qui est impossible. Prenons pour un second exemr pie , un cylindre qui a pour section droite une courbe fermée à point double. Les deux taiH gentes à cette courbe menée par le point doable, sont évidemment tangentes à la surface cylindrique^ et néanmoins le plan conduit par ces deux tangentes est perpendiculaire aux , arêtes du cylindre y mais on doit remarquer que, dans ce cas, la droite du cylindre menée parle point double de sa base , estriutersection de deux nappes de ce cylindre et de deux plans , tangens à ces nappes, qui pasisent parle poiat double. Il ne suffit donc pas qu'un plan passe par deux , ou un plus grand nombre de tangentes à une surface , pour qu'il soit tangent à cette

snrface; il faut qu'il en contienne un nombre infini, et Fexistence d'un ou plusieurs plans tn un point donné d'une surface* quelconque , n'est démontrée qu'avec le secours de l'analyse algébrique.

En géométrie , ou doit considérer le point de contact d'une surface et d''un plau y comme la limite des sections de la.surface par une séria de plans parallèles au 'plan tangent , en admettant néanmoins que ce pkn tangent peut con«tenir , outre le point de contact , une section entière* appartenant à une autre série de cobrbes, qui sont situées dans des plans parallèles aux premiers.

4i. En général , un plan tangent à une sur*hce ne la touche qu'en un seul point; il n'y a d'exception à cette proposition que pourra surface développable qu'on a définie (art. 21 )^ et qui est telle qu'un plan peut la toucher dans tous les p(»nts d'une droite prise à volonté sut cette surface. Le cyUndreest un cas particulier des surfaces développables* Nous supposerons "^ans ce qui suit que le plan ^ tangent; à celte sucface particulière soit déterminé par ^la tangente à une ligne courbe tracée sur cette surface , ainsi qu'où Ta expliqué ( art. 58). .

DeB Tangentes aux Qourbe^qt^i résultent ^ fm* terseùtion des surfaces auxquelles on sait mener des plans Umgens -pçat des points pris sur ces surfaces.

4ai La tangente en un point de lu ligne d'in* tersection de deux surfaces est évidemment dans le plan qui touche chaque surface en ce même point ; d'où il suit que cette tangente est la droite intersection de deux plana tangens. li&rsque Tune des deux sur&ces est un plan^ la tangente en i|n point quelconque de la courbe plane est l'intersection du plan tangent ^à laspr- -face et du plan de la courbe, ( Voyez lés art. 68 et 84 des Recherches de Glairault sur les courbes à i^uJfle courbure )• '

43. La normale à une courbe qui résulte de l'intéssectiond^une surface et d'un plan étant ( art. 6 ) perpendiculaire à la tangente élevée par le po^nt de contact y elle est «aussi la pro^ jectioa orthogonale de la nbrmiEile à la surface au même point sur le plan de la courbe \ car le plan qui passe par ces deux droites, est en même temps perpendiculaire au plan tangent et au plan ^e la courbe : donc il est perpendiculaire à la droite intersection de ces deux

plans .' cette droite est évidemment la tan^ gdnte, d'où suit cette proposition :

La normale en un point ^une courbe qui résulte de Finterseciion éPune surface et d^un plan j est la projection orthogonale de la nor^ maie à la surface au même point sur le plan de la courbe*

44. La tangente à la courbe à double courbure qui résulte de la pénétration de deux sur&ces, peut aussi être considérée comme xine droite perpendiculaire aux normales des surfaces menées par le point où la tangente touche la courbe ; mais lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites , et que ces trois droites se croisent au même pioînt , la première est perpendiculaire au plan des deux dernières {\) : donc la tangente de la ligne d'intersection de deux surfaces court^esest perpendiculaire an plan mené pat le point de contact, et parles deux normales aux surfaces qui passent par ce même ppint. ( M. J. Binet* Correspondance^ tom.ni> pag. 19g.)

46. Il suit de ce qui précède ,"que la détermination des tangentes aux courbes qui résultent de rintersection des surfaces y dépend de

(i) GéomélirieieLeQénàtef Lii^rt des Plans y page i3g.

la direction du plan tangent en un point qntU touque de ces surfaces ; mais lorsqu'une sur^ face est définie ( art. 19 ) , le plan tangent en un point quelconque de cette surface est dé^ terminé 1^* par la tangente.à la génératrice qui passe par ce point ; 2^. par la tangente à une autre courbe quelconque qui passerait par le même point. La construction de ces tangentes suppose donc la solution de ce problème :

Cojmaisaànt la génération d^une surface ^ lui mener un plan tangent en un point donné?

INfous allons d'abord résoudre cette question pour la surface réglée , et nous déduirons de cette splution une méthode générale pour déterminer le plan tangent à toute autre sur^ face. ( Af t. Sg, )

JJu Plan tangent a la surface réglée^ et cens* truction géométrique du point de contact*

46. Quelle que soit une surface réglée , les projections orthogonales des droites de cette surface sur un plan quelconque , sont tangentes à une c%>urbe tracée sur ce plan^ et cette courbe . est l^ section droite d'un cyhndre auquel toutes les droites de la surfeice réglée sont tangentes ( art. 34 ). Un plan quelconque tangent au cylindre contient une droite du cylindre

{arfci 68.) et irne dro^è delà sup&ce^réglét (art. 24); ç(Qsdeaai;di^oiLç5se coapent au point qùle plan iangeat au cylindire devient tanjgent à k surface r^gléa. £n effot^ ce plan -passe, par une droite. ;de la âur&9e réglée., ç^ui., est %% pr0pre.tajcigfliite , et pa,r la tangente à la courbe de;!ponjtact de cette, surface et du* cylindre : , donc

tangentes. Mais ce pla^^tangent de la seconde espèce .. ( art^ .Sg ) coupe évidemment la surface xéglée , sttiyant une courbe qui passe encore par le point de contact : donc ce point est dé-: termfp^ pi^r la rencontre jde cette courbe plane ^ et de la droitede la aurfacç réglée contenue d^ni| le plaji de la courbe.. Si dans quelques cas par- Uculiers la droite el la co^urbp se touchaient au lieu de seçouper, la diroite tangente et la droUe de la surface coïncideraient ^ et le plan tangent serait indéterminé : c'est ce oui arrive lorsque^ la sw^cfs est déyeloppable. ^ pla^ mené par^me droite de la surface dévelpppable^ qniest une tangente 4c l'arête de rebroussemeiil!; ( art.. axj, coupe fjoutes les autres tangentes «^ cette arâte en dç? points qui forment une courbe tangente à la drc^ite de la surface. Cette coïnci/deuce 4e l)Et tangente à la courbe , e^ dic^

la âsoilCL de la «orfac» â^uée daii? }e pl^ d«

cette 'coM, Tfô ^t^ àW>ir Heà^ Ibt^quë lé éùrfiicè est réglée , q^ùb pout deà pdiaté sidgàliers^e cette* sàrfkéé:' ^'- ' '' '"• - " ' •-• 47. Oii léôttfclot ife cè'^i |»ré4«A^, <jra# ^faM 'qaelèonqae tnêné' par tfné drt^te d'âtië iurtèiùé tè^éè èoupé cette' sùirfi^ slti^àtM ùtte Cburbe, ét!/à tc/ttcbé àti pbint'dà èèttW courbe est rédddntééèf par là! drtfft^.^G» Méttië plan , en éourùant àiii'bbtt de ta af^teâèlttiiar- &ce réglée , ne teàsie pas de iBiétrë^fakigënfe; ïbais h position àà pornt êe contact iitt-l» ârdté cîiiElnge àVeo celle dU plan niobitéi ' i - . ' tenons pciui' eketnple rhyper1»o36!)de à Mië iiappé : nous avonà dénlontré ( art^ !Î&) 4^ cette surface pouvait être etig&hdrée pàt^ œïd droite àe deux niahi'è^és difiéi-entëst' il sttit dé là qu'ùù plàïi qtd |>asse par une dréife^ éotte^ pôtidante au prlstiiièr mode dégéiiéi*àtioti > éùntient dnë autre droite correspbndbntèaiu kèeend ititiâei €e)s deux droites 9 situées daîis/le nfiètne plan , se rencbntrent ; et ce platl toiicfaè (Sg ) la SQfr&ce îaù pôiÂt de îrehcbhtre dés deti^ frottés. Considérant trois droites qtielconques delà stn*isLCépy'&\ jD" j tin pïaki qui tottrhe atltbtH* d* la ^mière D éotrpe'dahs toutes sM|yosliiôtiâf lès èèax anttéà b'.D'* en dédjc pèihts^ la droite quJL joint ces deux points cotl^ là

plan mobile est tangent. Lapositioç^^Iiff^^^ contact sur la droite D varie en même temps

droite , et on voit co^fu^oa^ ou détermine leurs

positions respectives*

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