La surface proposée a pour génératrice

( art. 19 ) ou une ligne droite, ou une courbe plane , ou une courbe à double courbure. Ce qui présente trois cas.

1®' Cm. La génératrice est une ligne droite.

Un plan donné d0 position par rapport à la surface^ coupei les droites de cette surface en des point3 que Fou çoq$^truit( i4)^ en considé-

tsAl cliaque droite isolément La ligne qui joint ces points est l'intersection de la surface proposée et du plan donné.

. d^ Cas. La génératrice est une courbe plane^. Les points dlnte^section d'une courbe plane, et d'un plan donné ne peuvent étrie situés que sur la droite intersection de ce dernier plan et du plan de la courbe. Or y le plan variable de la courbe coupe le plan donné suivant des droites que l'on consti^it (art. 1 5 et i4) , en con-» sidérant la courbe n)iobile dans une position déterminée : donc la ligne qui }(Àat les points d'intersection de ces droites et de la courbe iqobile , est à-la-fois sur le plan donné et sur la suriace coupée pat ce plan.

3® Cas. La génératrice est urie courbe A

double courbure. Oa prend hors de jia courbe ^

considérée dans une position déterminée^ deux

droites quelconques > et on regarde les deux

droites comme les directrices d^une surface

réglée dont la courbe est la troisième directriee.

Le plan donné coupe cette surface réglée suî-^

vant une courbe qui contient évidemment le

point d'intersection de ce plan et delà courbe

' génératrice de la surface ^ or ^ un point est dé*

terminé par Tintersection de deux courbes :

donc o|i trouvera par cette méthode tant de

|»oints qu^on voudra de rint^rséclioti du plan donné et de la surface engendrée par la courbe à double courbure.

Si les deux droites prises arbitrairement sont paraljlèles eutr'elles et à une distance infinie de la courbe à doubla courbure, ^ surface réglée derient une surface cylindrique. En général;^ la n^étbode consiste à placer la courbe génératrice sur une surfacp engendrée pair une ligne droite^ telles qu'un cane, un cylindre, une surface déreloppable, ou plus générale^ ment sur un^ sqrface réglée* .

He^ Inter9ectip.w (Us Surfaces courbes entr elles.

34. La forme et là position de deux surfaces étant dmmées, on suppose qu'elles se pénètrent. En menant par cljiaque point de la ligne d'intersection un plan qui coupe à-la-fois les deux surfaces suivant deux courbes , il est évident que ces deux courbes se rencontrent en un point qui est sur la ligne d'intersection des deux surfaces. Or, par l'article précédent, on peut construire et tracer chacune de ces courbes dans le plan qui les contient; oh aura donc par ce moyen tant de points qu'on voudra de Pinf èrsection de deux surfaces. Si les courbes des deux surfaces contenues dans le même

plan ne se coupaieiit pas, on concl aérait que ce plan ne rencontre pas la courbe d'intersectiori de ces surfaces. Dans chaque cas particulier , on choisit le système de plans le plus conve-r nuble pour réduire , autant que possible , Iç nombre et la longueur des lignes de construc7 tion. Ce choix étant fait, on a aussi ^ déterr miner les plans limites entre lesquels la courbf lf intersectioiî des deux surfaces est comprise. Lorsque les deux surfaces qui se coupent sont coniques , par exemple, pu fait usage d'up sys^ tëme de p^ans qui passent par les sommets de^ deux côi^es. ^ exi résulte que chaque pla^ coupe leç G^nes sqivaut des droites qui se rencontrent en des points de la Ugpe d'intersection dé ces deux surfaces. C'est par la même raison qçt'ayfin^ à trpuyf^r l'intersection de deux cylindres qui se pénètr^ul , on les coupe par des plans parallèles £^ux génératrices de ces cylindres. '

35. II n'y a pas de règle générale pour déterminer le système de plans coupans le plus avantageux 9 ni pour trouver 1^ plans limites de ce système. La sqlutipn da cfis questions serait enf^or^ plus compliquée ^ si Pon substituait aux plp-ns ppupaiisun système de surfaces courbes de même nature et de dimensions va-

iHables j dont chacune satisferait à la eonditiati de passer par deux courbes qui se rencontre^ raient en un point de la ligne d'interséctiod des deux surfaces proposées. Cette substitution présente néanmoins dans quelques cas parti' culiers des avantages , surtout lorsque les sur:faces courbes substituées aux plans , db va* tient que par une seule dimension. Prenons pour exemple deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. On substitue aux plans coupans des sphères variables de rayon et concentriques , dont le centre commun est le point dlntersection des deux ajtes ; ce qui revient à considérer chaque point de la courbe d^intersection de deux surfaces comme le point commun à deuxcerclejs dune sphère dont le rayon , qui est la dimension variable , est connu. Deux petits cercles^ d'une sphère ne se rencontrent pas nécessairement ; mais deux cercles qui ne sont pas dans le même plan , et qui se rencontrent , sont nécessairement sur la même sphère. Ainsi , quel que soit le système des surfaces coupantes , les valeurs des dimensions variables doivent être telles , que chaque surface de ce système contienne nécessaire^ ment deux lignes connues et données sur les surfaces qui se pénètrenté

De$ Tangentes et desplans tangens c^une surface^

36. La tangente à une courbe est le pro* longement de l'élément de cette courbe. Deux points consécutifs de la courbe déterminent Télément, et par conséquent la tangente. De même ^ deux points consécutifs d'une surface déterminent un élément de courbe ^et le prolongement de cet élément détermine la tangente à la surface. Tous les plans conduits par cette tangente coupent la surface suivant des lignes qui ont un élément commun ^ et par conséquent même , tangente suivant cet élément. On peut donc définir la tangente à une surface 9 la droite tangente à toutes les sections de la surface dont les plans passent par cette droite.

Cette définition suppose que le point de contact de la surface et de sa tangente, est aussi le point de contact des sections dont les plans passent par cette tangente. Dans cétit^ hy pothèse^ la tangente prolongée pourrait^ après avoir touché la surface / la couper eu un oa plusieurs autres points. Si l'on considère un cas plus particulier ^ celui de la surface réglée y une droite de cette surfisice est sa propre tangente y et en même temps la séicante d'un

noQibre infini d'autrea lignes tracées sur cette surface.

Définition du plan tangent à une surface , et de la normale élevée par le point de contact.

57. On entend par plan tangent d'une surface , un plan qu'on a mené par deux tangentes de la surface qui se croisent au point de contact. ( Voyez cette définition dans l'ouVrage de Clairaùlt : ce Recherches sur les courbes à double D courbure, y> art 81 , édition de lySi. <xLHdée )!> qu'on doit avoir du plan tangent à une sur- 3 face courbe emporte avec elle ( Extrait du 1^ Complément des EUmens de Géométrie de B M. Laôroix, pag. 991^ 3^ édition ^ 1808 ) D la condition que ce plan doit passer par 1» toutes les tangentes qu'on peut mener à la i> surface proposée par le point où il la touche. . . y> On sent asses bien la vérité de cette pro- » position, car si elle n'avait pas lieu , il » s'ensuivrait qu'on ne pourrait pas mener » des plans tangens à toutes les surfaces en 3> général. t> ( Voyez art. 4o )•

La droite perpendiculaire au plan tangent y nienée par le point de contact du plan et de la surface , est la normale à la surface pour ce point. Une section faite sur la surface par un

^ plan qui contient la normale ^se nojhme 9ection normale de la surface.

Il y a deux espèces de plans tangens, les uns pour lesquels touteis leÈ lignes menées silr ' la surface par le poiut de contact , préséhtent leur coilvexité vers le mêilie côté du plan ; lea autres pour lesquels ces lignes se partagent e» deux séries de courbes > qui présentent leuF convexité au plan tehgent de deux côtés di£Bé«* rens. Il y a des cas où les courbes de l'une des séries sont des branche^ des courbes de Tautro série:; cela a toujours lieu pour les joints de la surface qu'on liomme pointa singuliers. L'exa* men de bes cas particul&eis dépend de l'anar* lyse algébrique. :

Le plan tanguent -à la spltèré, ati ^lîndre est de la première espèce. Le tore , Fhypetboloïde de réyolutioii ( art. 20 ) > l'hyperboloïdè . a une nappe ( art. 2i4) ^ offrent dès exemple^^un plab tangent de là sécbihdè espèce. ^

38. Le plan tangeht à là sphère eût évidem^-^ ment perpëndictilaire à réstcémité du Ta|jFmt qui passe par le pditlt de contabt. '^

Le |dan tangent au cylindre ppsse par raie droite du cylindre , et par une tangente à.une courbe tracée sur ce cylindre. Ge'plan aif«& déterminé > todche le cyliildre^ noa-seulemefit

au point où la courbe et Ja droite se coupent ^

mais encore dans tous les points de la droite. .

Cette dernière proposition est évidente, car

deux droites consécutives d'un cylindre étant

parallèles , elles comprennent un élément do

cette sm^face situé dans le plan des deux

droites : or , ce plan ne diffère pas de celui

qui passerait par Tune des droites , et par une

transversale des deux droites qu'on suppose

infiniment voisines; mais cette transversale est

la tangente à une courbe tracée sur le cylindre:

donc le plan mené par cette tangente , et par

une droite du cylindre , est dans le prolonge*

ment de Félément de la surface cylindrique ;

d'où il suit qu'il est tangent à cette surface dans

tous les points de la droite par laquelle on l'a

conduit.