SO
6&59 âe ce sapplémetit) et qûé' tiovÏB" alloni rappeler iei.
Ptx>positioru relàUws tni ùàntaci des autfitcet
: ^9* La surÊice réglée la plas géjnérale, telle ^ne ût>as f avoïis définie (artJ 34 ) , et k stit^ iace réglée particulière que noùâ avons nbm^ mée, même article , hyperboloïde à une nappe ^ peuvent / par un choix convensible de drûiteê directncèis de cette seconde surface , se toucher suivant une droite j^rise à volonté sur la première
surface. EnefiFét, soient (fig.£ï',pl*î')-^>-^'> ^f trois points pris à volonté sur ' une droite \ÀA[A^) d^ùnë surface réglée, et qu'on imaigîne pl^rceittoispointis'ëtsur la surface trois courbes quelconques ^iB; A^ B\ ^iB";ilesl évident qu'on peut prendre ces trois courbes pour les directrices de la droite génératrice de Ki sUtfaCe régléei En'&isant varier ces courbes à\xh la 5(oiillàce , Uè'knàriière qu'elles passent toojourspar les mêmes points A^ A'yA^\ là clroite Inotrile engebârëia inémé' ^tir&ce ; et dans ^é(À j^(iàitibnaa''â"iti6himenf voisiné de la drbitb ^AlA'A''\ élleVa^puierà sur léfii^bii coiik'béii âaH, A' ci B' i A^'%^ S' i^ia^
que ces coorl>e6( varietiCi j^t quVUed. dèvientieiil
a a! a ' . les coupera ea %t<M nouveaux poiQi$;«^
a 9 a ' ^ daqs le premier; çasd'éjémeiiti deJa$iDN;
iace réglée ( déûni art« m ) compria entre k»
deiix4r<Htes consécativie^ Â'.^-'^ -^^ ad fi* , est
déterminé par les troi^éléiQf^zia de cdorbes^o^i
A^d ^ A'[ d' y et dans le teçofid cas par \»^Xvd»
élèraens de courbes y/(^^v^f<y-y;^'' 4e"; d'où il
•rait gne cet éléoieut 'i4^\ 4'\ ad d' de sar&qe^
réglée 9 ef t. déterminé par les élémens de
trois cQiir}>es de cette sur&ce.Qes éléiiiens da
coarbes sçuit dan^les planf langens de la wtr^
.feçe réglée laux ppiiUa -ff ^^ ' î. ^'% etlcfurs pro-
lofigjs m^ps sont des tangopte^^ à cette sm&pSi :
donc A si à partir de ces ppintsDPr ptèy&e usp
droite qiijelconq.Qe d^ns ^hacui^ des pl^ns .qui
'taucbeatlasuid^acéiréglée ^ux mlme^poifilifityopi
aara trois droites di^trices ^'^ubyperboloïj^eÀ
une nappei qui SjÇjra tangent à. lfl| yior&çe ré^ée, ^
suivant l;idrqiteY^.<^fF^^^^^^ aux deux
sarfacqs. .;. ...^' ..:•. i.;.... .,,^ - ; . s/; .
5o« Ainsi , quelle que soit une surface réglée ^
il y a une infinité d'hyperboloïdesàunenappe
iqoi peuvent avoir un Clément commun avçc
, celte surface , ou la toucher suivant une droite»
^ TouAces byperboloïdes ont pour directrices
««bï(t«iMAi0ik'4ata'«i«fe'|ilàA« ta^eiis de la «otfto» frétée i weuëB^pififrdls (pdtelS^ifiîÈrei» ràéiU^ê^M âé\sù]aÊà:W'Àëi&<&kmfix^ et des ^^pe«(b&l<âdett:<OKaëlin'âè ioèb •h^j^boilc^es l|«i^0ii»«t&'â& c^nlm^lfiià^r^è' llt'9iiMii(£é\t^éé (fu'ilrt<^tt«l(ë !èttt¥tffitr' UÀé <dfâftë(j ^ ddttk
j^ ^uëWok dridii^ ednsécfaiiVé^*^ 'la'6etrfali$b '¥églëe d^UiâeiàVùh- kypëfbtiMdë'^cPtiù éotl- ^àct' '][>lus itnfiîédifit^ <^è ïiëUs!àotiittieraii^.|ità:
-f» 'ir«;»pkn 'qiielcôtiqW ikiiéhë^liar tWlë ai»dit8 ^nl<à''Vèiâaésr(by|iei<bbMdëà ^ùi fit t6ndUè!tft
^iit de cëiitiîét<a^ iplan et 'fi^' U 'i^ààèéiAgiee; 'âèhkkj&myâi^à-û^ é^ fffHtësidëiiét'aiitiëilt
tion du point de contact sur cette sur&cè. '
. (ri «-•'•ij«»>, •, .« ^.*■<. . j . i . i V . . I .^ i i i # p Jif 1 l ■ J , . ,
< 1 i^..i I I I ■ I I I ■ II. II. *i I I - I II ■ I fc ,,.
'^^' ', fU^ 'Sb; i ■'-• â: •' ■•.■■''■ •;.> . ..••«.'î-i'^ ■' • •
ZV la '^ffngfntf çL^ne sffitio^ phne ^jTun hy-^ iBffr cette çQiirbe.
, ^„ 1^ p]ap .tangçi^t ^ .V^yjperbploïde à uno
44^#9?H9^flf T le&4<ÎHf .^W'^ ^e,la ?iarface qui
.«epJWfWf^ifrtt ^A tftiigefttç5^^9«tes iç^ ligne» i4» ï'to^Mpïdequi,pf|ft$^t.pfur ^ point de cmm cdo»c,,si jiar. Je pf»i9t,di?imé4»r unp section plane d'un hyperltoJx^^ » <op .couÇoiit
ilf rtWjt9Bf;efl*f* ;<5^^ftHrfaçei, l'intierseedon ^ /c» P^in ^ ^^ j|iliw,4e> i^Q^^ sera la
: l§i !«M>.;P«HrI?« 4h4t|jl'ifltçr8pç|iofii.4e deujc Jpgfjgfp^md^t»- ^,we^p^iBp^n>,^9en)e^|tlf
édm^ f(iWl#t44nfie¥»^}'op,4wh3rperl^i^J^ -<WI»«r.ffi|t«(4l^»«!4fli#«Knfie^^fllAf?%yK^
peuvent encore satisfaire à cette troisième con'^ dîtidi^, d*être ']pa>ailëlés à hà plan donné ârbr^trairémenb; 'titi , ce qui est là même chiMe ^on peut supposer que ces directricesfsontle's droite» intersections d'un plan donné , et de* trois planis tànjgensà là silrf ace réglée eh trois points prn arbitrairement sûr'uïie drpfte de cette, sur* fece. îikas cette hypothèse , FHypérbokÂ'dè tangent , sûivaiil ' IW ' même droite , deVièût ( art.' 5i ) un plati gauche ou un pairaBoloïde. Il y à donc tihé infitiité de patabôlaïdes q^ peuvbht tbùéher lai surface réglée générale V suivant 'àne drbite; . ' ; .
53. PàrnÀ les plans gaucher qui tà^chéïk 'une àur&ce rë^er suiVabt àîie droite ^ il y en a un dont les directrices sont parallèles 'au plafi perj^endièuîaire â'ià droite de tangeildé ^ et il est évident qu^âlorsléëtté drdite ési^'cdnsthdment perpendicuMHfe à % généràttibe duplàti "^uché. Bn fiiisàtit iéurAér bè'^làn ^gauche -d'un quart de révolution autcittr de^la drc^te^, suivant laquelle il touché la surfkise tégléé , les génératrices feront cilles-^hiêmes ùh quart de révolution ^ et de ttingéntë^ à ksu^faée réglée ^ elles defviendront des iâormàles à l& isêâfè'surface; d'où il suit que le lieu des normales d^Unë ^orÊitie réglée suivant une^^oite' él6^6blXé-stoT*-
^ kypefbôKqiie, '-'- ' '
.jÇ)e la ^ifngentf^ à une section plane et une sur^
. ,,fiMerègfÀ^yq^apùUr^Twie de<8es directricefi
,. .cetfe- section, f et pour les dex^e autres direo-
trices deux droites arbitraires JO' y jD", prises
^y.Jbffrs-du;plan éla-la.secUoji. :
'''■^4;'Sbppdsdiiè' que le -point de là iseotioû
/|>1aïié'^l»r lO^ttël tfllâéniaRde la tàngetite, sott
* êtkàxé. ^Ce i»bîàtëât'^ inéide tëD!i{tt sur uoie droi«
-ië ■A''Ji^^ aé'IttbiûiBèe réglée qui tioup& les deux
««îr^frîéësliùéàSiëà 2?^, Z^'étt deux points A'» Af*
''fbtir^èi^^i'W^^ttif plànâ tangeos à la surface
4abb d«èiWiài^%À.t 'lleS! deiix' dtdites ( A' À"-)
-éè^ /î>Vet j«r lètPdfeuSl droites {A' ^") et ©^
^lUtënibHt par W'Mm&Ûrtâté {A'A")vn plan
^^tièlcbùqùb> <àtttrë'>qb6: les^Iabs taagebs ed,
^' et ^'S ce plftil'OCiupcjra la^iàUfface ré^ée
suivant une courbe , et la touchera au point
dIhUsWec'tibà Ôê^béità towlie Jet dé ia, droite
trois plans tangens de la surface réglée en trois points différenf >;^, J! y ^'' de la droite ^ Jtf'^^ '^ynmtmené'/pÊMile poiiit A dans, le pla|i tauj^ent èn^ce point y lime droite qîkelconque.JD^i 4er/t«oi!sdmiées:i}i^i>V >^'' ^cnit^(ût« 5o.); lès
gent à la surface réglée, suiv^^j^t :}a âfçi^ A A' A' ( art. 49 ) ; donc si par le point delà séctioù plan^'adnné sut %'tà|Btaè d^oftè; W teêwî Un iftto Rangent à llïyïtefboii^é, iW tètseclîon -ftè 'cfe 'if>làh et dd ^an cle'la section , BCrà la tangeW èfcthahdéé/ ^" ' ^
55. La troisiènre "âiiredltiî^ D ''ii'éèànt assqjfttli^ ^n!à t» 9fçuil^,c^(Uiipn4'é|.r« ^itjaée dans jte pko ftui,to*(jh<ft, 1^ ft^il^ r^i^ %u<poiuÇ ;^,
j^ieflt >qu'on j|â«t; I!9»8^Ui{t^;#UTe ii^tttre cont-
H|il)(«ii)Hi.déi9r-mi0««tl|çvs»tH9l»^{fffi^ * 4'4tfP fN^lallèkl «o^^iplt^Rjfl^^i^iKDi^^^irp» 4iMMB^r^
M&pt )( aft. 5> ), n^, .^sioiçfd^f^i^ im^ W iBÎ^ j(gau«ihei».4QiEMi,)eSi4ir%)t|^cs#iPi, P'.v-fy .a^
;'i ' ■ . : . i-îi'iu/: ..• i) , offino') on:,i ij.'iwit;,.
-toUr^ip^ èlre placëeaqr ÙB«r|àirf«â/régU^ cqùiaipoar directriees^cettç Qàufbi&,rfit dco^fc
(«9) aucnne courbe plane à laquelle on ïie puisse ( afcticAe .'prébécbht ) mener ^i&nô ias^geiite par un point donné sur cette courbe.
, lîiaiTsqbe^ ia* rocAÀrbè proposée fiera l'îine des ttcàs settiso^A txmiqnes,, cpn paom Ift placer 4sair.i»Ki Jaiypérbbloïde & nnëiuip^e ^ et aa fan«jgbiAe éaaaipoixA idènné 'sembla droite intsiv Motion 'éor pbit de & dourbe<et du ipfaui tan- -getik^à iFiiy^erb^leïée ; «hkhI^ wit jJi mai pdint -d^utié «Hiffaie ^ibiii^ fequiA cairfflemaiidtt^là tanv *geii^; bn pi^èndra rsnn ié totmlxtut > àe cette '^Mp&é>^tmfB^avàrei pointe ii?';^*>aï''S :;af' "7
f^teW£ diiditt^s^uêâootiques if^v d^''/litirs>daplân ^ite^Vellip^ ^ Jetipkr tes ti^bis^^^iliti i^^ \sé\ jt^ -tCMd idirôSe^ !iP^V®''9 ^'' ttui i;'ïg^)paiei^t «ivr les ^âir«rfles ^ârfeiftirài»y cT^ rf"" /on c^ti^Bèrerà ces r Ikôé^'dér^éreb nârtSti» cdiiifU)^ [Im direotrîei|)i
iif«uit|^^l^éi)fMiI^j^ i^ par ïdipotnt
MrOik ^>^0é>iite-3d»Mt^'i2>ijm a^iputeisur les itbùx^i'Mte^L^ ^ •i;!/'',i» tij^kit taar^nt À Ffayu
cpeHfafoM^itieif^p^^topGiat|^; lén déteitmqé '^|iwctorUvoitos#e^v^^^ ce point.
vi^%iteVseotirài "de W^plata^'diiplan de Vellipse
^iMfra la vttngdirte^dènmTidéev t|ai , '4afn^ ce cas
partictttfidr ^^M^QirtrUft jpar la lij(iie droite et
le cercle.
((v6oî)
' 57. La courbe proposée étsnt quelconqiie^
on pçttt' conceToir par le point dooilé sur la
courbe pour leguel on detziandé la tangente »
nne droite ' D ■ menée « aiè&tilaireGpijent; liora dit
plan : de la courbe y et dJeuiK tcaScfSYérsales de
teetie droite !menée& par des ' péin^ j^iiîs ài T07
^onté sur la naâme) droite' Z?».Ces déox trans^
rversales et la courbé proposée étant les diireç-
vtrice^ d^uinrè. si^rfacerréj^ée »S^.soii méfiera par
la droite £} défoelte' sut face im plan qui toui-
fcbera cette sitriE^te en U0>p(>in{;)ret4>n[ aufa.,
itoivàtntcietledroUeiZ^^trais plaœtangens^ troÎB
poiffets de Qcmtact ^ et par con^ue^t trbis nor«
maies à làsturface. réglée*. Ce^. tri^ normales
parallèles aulplan perpendËtCUlaîreiàlà étpiieul),
déternïinent; {ML5i:^h2)iiii^nffu^^àtik^m^
i niai à lasui;face liéglée lS^s«livaQll cette droite R::
-oh eonnaitra donc 1^ sioritialç & la mrface i^fUi
foivd D de la pourbe proposée ^. par lei|uèï on
.^ mené la^droifie/^. LaproJ^tkft^lorth^f^maie
*dii^eeUe..nQri9ifiié,sur le plan 4e i» courbe éém
. dom> ( art. ,45) la normale à ^aetie ^m^rhe ^ qui
'- esi perpewUcuUdîe à la twgente dsmmidie*.
jDeia Tcm^mtè à une cçurbû à double couriure^
. 58. XJne courbe à double courbure étant don-
née^ elle petit être cOnsic^érée^ quel que soi tsiba
contour, comme rintersection de deux aur4
faces réglées ^ qui ont une directrice commune^
savoir la courbe proposée , et pour directrices
particulières à chacune d'elle^ y deux: droites
arbitraires prises hors de la courbe. ,Uii pointT
étant donné sur cette courbe^ les. plans tangens
aux surfaces réglées, menées par ce point, sont * • * ■ *
déterminés ( art. 47 ) , et 1^'intersection de ces
deux plans est évidemment la tangente à la
coacbe à double courbure..
Du Plan tangent à une surface , en un point donné de cette surface; des tàHgentea aux courbée de la mèm^ surface.
^. La sttlrface étant définii»^ il n'y a atkçun .poiât-dè cette surface parlequel 0n ne puisse mener deux courbes : la prexûèri? » ^x^^çx^^^ pond à Tune des positions de la génératrice plane on à doubli^codirbâcâ ; la 9eoobde>.qi|i résulte de l'intersection de la.sarfiM^ par on plan: Or , par les articles (;56^8} , on iconstruit . les: taû-^ »gentfiS'à ceajdfiUE; €0iirb«9>a«i pcâiit qù^cU^s
(fia)
86 croisentsurla surface : donc le plan conduit par CM deiià tangente» ^ qm «st W p|^ tàn|eirt à là. surface ( 5'j et 40)9 eat déterminé.
Si Ton suppose que le plan tangent, en ua point d'une surface soit détjçrminé , il contient ( art. 4o) les fàngqntes de toutes lei^ lignes ^ui passent par ce point : dbnd^'si Tun^ de ces lignes est une cpurbe plané, s^' tan^^nte au même point est rinter^ction du plan ^e cette courbe et dû pjan tangent Si la ligne n'est pas plane j liiais ^ji^^elle appartiéune çncore à une àutreVsurtacè è. laquèHe on sait mesner des plans tangens, sa tangente sera Pintefsection de deux plàhâ tàngens aux '^iirfapés qui se pénètrent suivant là ligne proposée (art. 42 )'.
Me l($ Tim^entf, ^ la courbe ptfine , mer^ée par un point donné sur le plan de h çotfjrbe : et de la Tangente à la courbe à double cour^*^ hure menie pW'Un point deMœ ^Uifac/efuié'^
• vehppùhi&y'iiiiM
" • fébrèufiê^fniiMj ' ' « • 'i o;i >-.••••• m : .
' €0. Ltieoàriwd'pro^oBéeétaiifcplacéeiaiirviie ^ «urfâkcetéi^&^^il^ûoîifirdérei^lepbintdé^ pkr ' lequel oâ doit kn tnene^ une^tangeiite) ebnuqe ^ je sQtHmêt ^^jiiife^^stu-fecd eoinqiie 4ârconsci;^#
^ k la mii^fce Éégléb ; la coarbe êft ôQntMt de ew éeux rarfaMiè doûp^ra k <$oûtb6i proposée eQ an point 9 par lequel on mènera^ h, tangente diemandéie. ♦
Four déterminer k courbe de contact des deux snr&ced ^ on itfènera par ce point dodné hord de la edurbe ^ el par chacune des droitea de la surfaèe réglée un plan. Ce .plan coupera cette surface snivadt une ligne qâisera renootik frée par la droite (art. 4?) ^n un point j ce point appartient^ à là courbe de contact de lit torface réglée qui contient la courbe proposée^ et de la sbrfabef cti^Hique circonscrite à la ^ùé^
face réglée.
Du Plan tar^èhl à une suffacê 4e révùkêttàn, >
€i. laé^ylaVi qui tôilché une sui^i^e de r^rb^ hiïïaà eh Un point ^ e$t perpendiculaire au plan méridien qui passe parce point : en effet^ il n'y a aucun point de la surface de révolution par lequel an he paisse mener un cefcle dont ^ le celitré servît sur' Vàte dé révolution ^ et ^oM te plan èèfàit ^ërpendieulaîty^ à ceft ake : or , la^ fâtigente au cerclé est perpendiculaire an pUa méridien qui paÂ^ pair ce tnême point i donc ce plaii tahgeiit ^ ^i êèntieat la taogentf «a/9
terclè/est perpendiculciire aa pUn mené par le point de coQtact.Il est d'iûUeurs. évident que les normales à la sur&ce. de rér^ lution , sui'sant une section méridienne , sont aussi des normales de cette section.
62. Si l'on conçoit la sur&ce développabl^ ( art. a3 ) engendrée par un plan mobile cons-H tammeut perpendiculaire au plai^ d'une sectioqL méridienne , et passant successivement par toutes les tangentes à cette section , Tenveloppe de Tespace que ce plan parcourt est uue. surface cylindrique qui est inscrite ou circonscrite à I^ surface de révolution , et dpnt les arêtes sont, perpendiculaires au plan de la section m^ri-^ dienne. Ces deux surfaces ont évidemment cette section pour ligne de contact.
Propriété dès surfaces d^ répoUttion ,* et en général des suffaces engendrées par un cercle mobile. T
65. Lorsqu'une surface peut être couple par un système, de plans suivant des cercles , * les. normales à la surface, menées par les points doj l'une quekx>yiquedessections.circulairesy for-^ ment une surface réglée congiposée de droites qoipaasenttpote» par hx droUe polaire dtf. cercla,
quePôri considère. (On nomme Ugne dè$p0lea^ on dimte polaire d'aa dercle , la perpéxidkii-^ laireau plan de ce cercle élevée par son centre). Cette proposition résulte de celle qui a été de-* montrée ( art. 4i5 ), que lès , projections orthogonàies des normales à la surface sur le plan â'aaë courbé de céttç surface, sont les.norinales de la courbé ; car il est évideht que les rayons d^un cercle étant les normales de ce cercle^ .ils spnt aussi léîs projections des normalés à la surffipe sur laquelle ce cercle est tracé.
Lorsque la 3ui^face est de révolution, les normales suivant im cetclê de cette surface forment dès cÔnes droits qui ont leurs som^ mets sur l'a^LC de révolution : les sommets dé ces cônes sont ktissi les centeeideA «|Aii^èsiii&^ crites ou êiroonserites à la fiàéfiie sai^cé. Ces sphères ont pour rayons les paï'tiéa de normales delà sui^cé ou de la section ^téridiennie > cd'àiprises; entre ¥sxe de révoluticrn et les^ eerdes de contact des sphères et de la surface.
A chaque cdne droit normal :à «une 0i(trfaeel de révolution suivant un cercle^; ^wreiapond un autre cdne droit tangent à la surface suivant le même cercle. Ce secondpône droit a^ conDOUo le premier > son sommet sur, l'ase de révcdu'^
tion, et pour génératrice une tangente à la sec-^ tion méridienne y qui tourne autour de cet axei
Du Plan tangent à une surface dèçeloppahle.
64. De même qu'une tangente à une courbe est ( art. 5 ) le prolongement d'un élément de cette courbe 9 le plan tangent d'une surface développable est aussi le prolongement dans tous les sens de ^élément de cette surface : or cet élément est formé (art. 92.) de deux droites consécutives de la surface : donc le plan tangent à la surface développable touche cette surface . suivant une droite > et dans tous les points de cette droite ; ce qui n'a lieu que pour ce genre de surfaces , comme on Fa déjà supposé (art. 4 1)11
Deê Lignes de ki surface développable , con-* eid^réês sur cette surface et. sur le plan de son développement.
65. Lorsqu'on développe une surface (art. sa), une ligne quelconque plane ou à dotible cour-* bure de cette surface devient sur le plan de déve« loppement une autre ligne que je nomme la transformée de la première. Supposons d'abord qull y ait sur la surface développable une courbe dont la teansformée soit connue y et pour la distinguer nommons-la axe de dépe^.
hppement La section droite sur le cylindre »
le cercle sar le cône droit , la ligne sphérique dont tous les points sont à la même distance du sommet du cône oblique , sont sur ces diverses surfaces les lignes qu'on prend pour axes de déueloppement : les transformées de ces axetf sont la ligne droite ou le cercle*
66. li'axe de développement et sa transformée étant connus , il n'y a aucune ligne de la surface développable dont on ne puisse construire la transformée sur le plan de développement. En effet, chaque tangente à l'axe de développement fait avec la droite de la surfaco développable , qui passe par lé point de con- . tact , un angle déterminé : or , cet angle ne cjiange pas sur le plan de développement^ c'est-ànlire , que la tangente à la transforméa pour le point correspondant à celui de l'axe ^ et la droite de la surface rapportée sûr le plaa de développement comprennent entr^elles \o même angle ; d'où il suit qu'il n'y a aucun point de la surface développable. qui ne soit déter-r miné par une abscisse ( art.âi^t) comptée l'axi» de développement , et par la droite de la sutface qui est l'ordonnée correspondante à cett^ abscisse. ; ..
