Considérant sur. une sa^ar£açe dévelop
pable tine ligne autre que l'axe de dévelop^ ment y on aura la transformée de cette ligne en> rapportant sur le plan de développement les droites de la surface déveioppable coinprise» entre la ligne que l'on considère dt Taxe de déireloppement. Si par un point de cette ligne on lui mène une tangente , cette tangente , la droite de la snr&ce déreloppalble qui passe par le point de contact , et ki taagenfte à Taxe de développement menée par le point où la droite de lasurf ace coupe cet axe , forment un triangle qui est situé dans le plan tangent à la sur&cé^ déveioppable , et qui ne change pas de grau*» deur dans le plan du développement : donc y si l'on connaît dans ce triangle trois des sixchoses qm le déterminent , on pourra le cons^ truire sur le plan de développement. *
€S. Si l'axe de développement devient une ligne droite sûr la plan de développement ^ toutes les tangentes à oet axé , et la droite qui est sa transforitîôe , ^^ïncident sur le plan dé développement : idahs ce cas l'axéf de dévelop pémente^t tme ligné de la surface développa-» ble qtai fbuit de cette propriété d'être la plus iBourtë iehtre deux points quelconques de son périmètre. Une surface déveioppable étant exécutée, rien n'est si facile que d'y tracer
une ligne de cette espèce i U suffit èe prendre ua ruban mince et flexible ^ d'une largeur constante dans toute sa longueur ^ et de Tap^ IxUqaer eKactexnent sur la. surface : chaque droite qui termine le ruban dans le senc» de sa longueur , se transforme en une ligne qu'on pourra prendre pour axe de dével^pement , si d'après la nature de ht sitr&ce on tk^en connaît pas de plus. simple^
69. Il suit de ce qui précède que ,. pour obtenir le développement d'une surface , il faut connaître «wur (setrte suif ace Ud om de déveiy^pfsment ^ et la iamnsSûmmée de eet aifce sur h pkil de développement. Ije» droites consë^ tmàifea de la sar&«ie qui rencontrent Faste sou& deir angl^ déterminés- et <^n«[us , le divisent en* petits ari^ qui ne diSèt^ôut pas sensifete^^ tBient de la Jigne droite ; ks points de dWisioa de cet axe correspondent à d'autres pointa de «a transformée ^ et on obtient ee^ poiiMfs eoiv tespondans en^ i^apporlant le» petits apos d^ l'aoDe sur sa transformée dans Fordi^'e oàf ils s& wedèdent sur la snrfeeei »Éaîhteïlt (5©-5>r ) mener dés tangentes â neerdëux^ céxith^É^y sa^ ypw^ à l'asee de dévek^^ement et àr s^
transformée , ces tangentes ( art. 66 ) déterminent sur le plan de développement les droites de la surface développable rdonc on aura sur ce plan , la transformée de Taxe de déyeloppement qui sera une ligne d'abscisses y et les droites de la surface développable y qui seront les ordonnées correspondantes de tonsles points de cette surface qu'il s'agit de rapporter sur le plan de développement.
De quelques conditions particulières qui déter^ minent la génération d!une surface déi^eioppable.
70. Ou a vu ( art. a3 ) que l'enveloppe de l'espace qu'un plan parcourt , est une surface développable , qui est le lieu dés droites intersections succesaives du plan mobile. Four en donner un exemple , supposons que le plan se meuve en touchant constamment deux surfaces courbes fixes. Il est évident que la surface, lieu des intersections consécutives de ce plan mobile^ touchera, chacune des deux surfaces fixes, suivant une courbe qui est en général à double courbure^et Jeplan mobile dans; chaque position passera par deux droites infiniment voisines dont chacunç sera une tangente à lacourbe d[e contact de la surface développable, et de Tune
des surfaces fixes. Ilsuitdelà que deuxconrbes d^ane surface développable déterminent cette surface. £a effet , si l'on prend un point sur la première courbe , et si Ton conçoit que par la tangente en ce point on ait mené un plan tangent au eône dont le sommet est au même point , et qui a pour base la seconde courbe ^
. ce plan sera tangent . aux deux courbes données. Faisant varier le point sur la première courbe , on aura une suite de plans tangens à des ^r&ces coniques qui ont toutes pour base la secondé courbe , et les droites suivant les* quelles ces plans toncbent les surfaces coniques appartiennent à la surface développable^ qui passe par les deux courbes données. Lorsque la surface n'est pas développable , quoi^
i qu'elle soit engendrée par une droite mobile^ on a vu (art.. â4 ) que trois courbeà au moinsétaient nécessaires pour déterminer la loi du mouvôment de la droite génératrice ; mais deux courbes suffisent pour déterminer les positions de la droite génératrice d'une surface développable. Lorsque la droite mobile est constamment tangente à la même- courbe, alors celte courbe, qui est l'arête de rebroussement de la surface, détermine seule le mou-vement de la droite*.
(70 En exposant la théorie des courbes , nous consiàérerons d'autres surfaces déYeloppablés, par exemple, celle qui estengendrée par jan plaa mobile constamment perpendiculaiire à une courbe dont la forme et lit positiou^sont 4ôiinées^
Théorie des Courkes.»
f^ IV.
Des Centres de courbure et des ISiàyons] de courbure aune courbe -plane.
71* Peux pointa infinimeiit voisiiia d'une courl^e plane déterminent ( art» 5 ) la tfinjaite^ à cette courbe ; trois points consécutifs, 4' une courbe déterminent un cerda, qu'QiiBOi^ilie cercle osculateur de l£t courbe^ La distante de ces points étant inappréciable^ ou lef^ BXigp09Q Xjdiims en ^n seul , qui est le ppipt 4^? cpxitfK^t d^ la courbe et ( du cercle o^ç^lAtieUr. C Sfuygens est le^ premi^ géomètre qui a mnr^ sidéré ce cercle^). X«e^ centre et le. rayon du cercle oscillateur sont respecti^^nfent le o^j^^^r^ d^ courbure y et te rayc^ d^ çoifrbis^ de la cpprbf! plane popr te point de copt^cldu cercle, et de la courbe. La Cfou)?be qui est le lieu des ^ centrQ^4e courbjcite d'uqe courbe dpniléed^na. un plan y se nomme la c?^f;^^tjgf^^:d§>ççl][er€k
/ 73 ) Deux norniAles consécutives d'un cercle se coupant en an point qui est le centre du cercle; de même deux normales consécutives" d^necourbe plane se coupent > et le poifit d'inter-i section est le centre du cercle (Oseulateur pour le point de la courbe par lequel on a mené Tune des deux normales ( art. 5. )• Les normales d'une courbe plane sont tangentes à la développée de cette courbe ^ car chaque normale est coupée par les deux nonnales adjaceatds en deux points , et la droite infiniment petite ^comprise entre ces deux pointe^ est un élément de la développée.
Des Plans osculateurs des courbes à double
courbure ,r des ./tngles de contingence et de,
flexion de c^s courbes ; des Droites polaires
de leurs élémens ; de leur Courbhre gUme et
sphérique.
73. liCs tangettitès d'une courbe 4 double courbure prolongées indéfiniment , forment une surface développable qui a deux nappes égiiles , opposées et ^épar^s par la courbe même ( art. m ). Un plan tangent à oettte^ surface passe par' detlâ;: tangentes consécutives de k courbe : c'est de plan; qu'on nontme plan Q^ulate»r de b cdurbe. On appelle ungk de^
(74) flexion ¥ang\e de deux plans osculatears consécut^ 9 et jcmgle de, contingence l'angle de deux tangentes consécutives situées dans le mêine plan osculateur. L'angle de contingence est égal à l'angle de deux plans consécutifs normaux à la courbe , ou de deux plans perpjendiculaires à deux tangentes consécutives de la courbe. La droite intersection de deux plans uormaux consécutifs d'une courbe se nomme droite polaire (art. 65) de l'élément de cette courbe qu'ils, comprennent entr'eux. Il n'y a aucun point de cette droite qui ne puisse être considéré comme le centre de l'élément de la courbe , ou comme le centre d'une circonférence dont cet élément serait un arc. La perpendiculaire abaissée d'un point de la courbe sur la droite polaire correspondante à ce point est égal au rayon du cercle osculateur au même point. Le pied de la perpendiculaire est le centre de ce cercle , et là longueur de la perpendiculaire est le rayon de courbure. Ce rayon mesure la courbure dans • le plan osculateur. Si f à partir d'un point quelconque d'une courbe à double cpurbure, on prend trois autres points dont les distances au premier sont' inap- , préciables , on aura quatre points cpnsécuti& qui déterminent une sphère qu'on nommse
(75) sphère osculatrice Ae la courbe ; le centre et le rayon de cette sphère sont respectivement le centre et le rayon de courbure sphérique ^nmn point déterminé de la courbe à double courbure. Soit /ki^ JV ( fig. 7 ) une courbe quelconque \ A ^A^)^A^ trois points consécutifs de cette courbe. AT\A^ T' sont deux tangentes consécutives qui comprennent entr'elles l'angle de contingence 71^ T'. Deux plans normaux consécutifs A CD.^ A' CD se coupent suivant la droite polaire CJO de l'élément de courbe A A' A". Le plànosculateur ^ ^' C du même élément passe par les deux tangentes consécutives A[ Tyji' T\ La perpendiculaire A C^ onA'C abaissée du point A ou A' sur la droite polaire CJp(^)e^% le rayojx de courbure de Vêlement de courbe dans {eplan osculateur ^ A' A*', et le pied : Çde laperpendiculaîre en est le centre de courbure/ I^es deux perpendiculaires^ C, A' C au même point delà droite polaire , et les deux tangentes consécutives A T^ A'T' sont situées dans le même plan osculateur , et comprennent entr'elles des angles égaux; de ces angles , . Fun TJT':=A CA' est l'angle de contingence. - ^ rr
Lorsque la courbe MANé^ plane, tousses rayons de courbure ^ ou les rayonsde ses cercles
(76) osculatenrs ( art. 71 ) y sont dans le plan de là courbe, et deux rayons de courbure consécutifs J tels que-^C, -4' C déterminent le centre de courbure C de Télément A' A' A''.
Du Centre de courbure et du Rcnron de courbure
éCime courbe plane.
73. Quelle que soif la courbe plane proposée^ il faut adtnettre qu'^elle appartient à une surface dent la normale ou le plan tangent en uiï point donné de cette sutâiceest connu. Si cette torÊioe n'est pas donnée , oh placera la courbe plfôposée sur une surface réglée (art. 56) , telle que les normale^ à cette Mrface, menées pàt fous Ie9 points delà coùtbe , iseient déterminées» Dans les deux ca^ ^ on pourra considérer la eourbe proposée comme la seetionf faite par le plan de cette courbe sar une surface à laquelle on sait mener des normales , ou des plans tau-^ gens^ par dés points pris sur cette surface.
74. Unecourbepkne étant rapportée sur Une smr£Âce^}es normales à cettesurfiiee menées par tous lés points de la courbe forment une autre sti^facé q^i est réglée. L'une quelconque de ceist normales projetées orthogonalement sur le plan de la c^ourbe , deviezlt une tangente à la déyeloppée de cette courbe (art. 45); d'où il suîl
r ^« que la développée de la courbe prçpoeée e^
la section droite dHun cylindre auquel les droites^
gui forment la utrface réglée^ lieu des norMalea ,
sont tangentes. (Cette pi^oposition e^t évidente.)
2^^. QjuCun pUm quelconque normal à la courbe
( art. 5. ) touche la surface réglée en un point ^
dont la projection orthogonale , sur le plan de
la courbe proposée % est le centre de courbure
pour le point de cette courbe par lequel on lui a
éleué un plan normal. £n effet » considérant
la développée delà qoiirbe proposée comme
la section dsoite d'un cylindre ^uquel (art. 24)
les normales qiii forment la^urface xéglée lont
tangen.tes> un plan normal à la courbe oon^^
tient ( art. 46 ) quatve droites ; 1^. la normale
à la courbe ; a"", la normale à la surface i^églée,
dont la normale à la courbe est la , pro^tion
orthogonale; 3^. une drdite du pylindr^ ; 4^. la
tangente à la courbe de contact du ^lindre et
de la surface xé^ée. De ces quajtre droites , h%
trois dernières se coupent en un point pouc
lequel le plan normal à la courbe est tangent 4
k surface réglée , puisqu'il passe.(art. 4o et 46 )
par une droite de la surfEice^ et par une tang^nto
àla mêm^e surface*
Maifi la troisième droite appartenant au cy-r Uodre^ cet perpendiculaire au plan delà courbe
(78) proposée: donc elle projette sur ce plan le point de contact de la sarface réglée et du plan normal à la coarbe : d'où il suit que la projectioa de ce point est sur la développée de la courbe^ et enfin que cette projection est un des centres de courbure de la courbe proposée.
75« Une courbe plane étant tracée sur une surface S, une tangente T à cette courbe , et la normale iVà la surface menée par le point de contact , déterminent le plan (NT) d'une section normale , et les normales à la surface menées par les points de la section normale , forment une surface réglée à laquelle le plan (iV, 7 ) est tangent , puisque ce plan passe par la droite iVde cette surface réglée. Si par la même droite N on conçoit un plan perpendiculaire à la tangente T, <e plan sera par la même raison tan^ gent à la surface réglée ^ et le point de contact sera le centre de courbure de la section normale ( NT). En effet , la tangente T à la surface S ayant (art. 36) deux points communs avec cette 3ur£Eiqe , soient iV et N' les normales à la sur-- £3ice S menées par ces deux points. Ces deux normales consécutives N , N' comprennent entr'elles un élément de surface réglée f JV, N^) ; . or 9 quel que soit le plan mené par la tangente Ty ce plan coupe la surface «Sraivant une ligne ;
et les noriQales menées par les points de cette ligne fonnent une surÊice réglée qui a aussi un élément (N , H^ ) compris entre les deux normales consécutives N^ JV : donc , quelle que; soit la section de la surface S^, dont le plan passe par la tangente T, les surfaces réglées lieux deà normales menées par cette section^ ont un élément commun fiV/iV'j : donc elles se touchent toutes^ suivant cet élément. D'où il suit que le plan mené par la normale N^ perpendiculairement à la tangente Ty touche toutes ces surfaces réglées au même point de la normale N. Nommons C ce point de contact. On a vu ( art. précédent ) que la projection orthogonale de ce point C sur le plan, d'une section de la surface S passant par là tangente T , est le centre de couîrbure de cette section au point de contact de la section et dé là tangeiite T: donc , lorsque le plan de la séctîoii passe par la normale Net la tangente T(auqttet cas la section est normale) , le centré de cbur-^ bure de cette section est le point C même. -
Construction géométrique des rayons de courbure
é£une courbe plane*
76. Quelle que soit la cotftlie proposée, V^ placesB-la sur une surface à laquelle on sache
mener des normales par des points piîs sur cette
surface ; a^ construisez les normales à cette sar-
fiicCf qui passent par la Coorbe donnée /et le
lieu de ceis normales jsera une surface réglée*
3^ parle pojint donné sut la courbe , menez un
plan normal à cette courbe, qui touchera la
surface réglée ea un pcnnt ; construisez ce points
et projetesE4e sur le plan de la courbe par une
perpendiculaire à ce plan ; le pied de la perpen-*
diculaire «era le centre de courbure demandé.
« PémonsîratiQTi du Théorème de Meusnier.
( Académie dé Paris ; Savaiis étrangers , t. x ^ année i '78$^*
, 77. Théorème. Xes cercles ,<HculateuTs de toutes les sections d'unesurface dont les plans passent par «ne t^gente à cette^uiiace , sont sur une sphère ; le centre 4e oettie sphère est la centre de courbure de la section normale dont le plan passe par la même tangente, elt son rayon est égal au rayon 4^ courbure de cette section. Jiérnonatration. tJne surface étant coupée par une suite de plans qui passent par une tangente à cette surface , chaque settion déter-^ mine une sur&ce réglée , lieu des normales menées par les points de cette section. Toutes les sur&ces réglées, aiosi déterqiinées, ayant
( 80 ua élément commaa ( artiole 76 ) ^ le plail perpendiculaire à la tangente des sections planes^ mené par le point de contact de ces aections 9 est tangent à la gur&ce réglée, qui correspond à la section normale , et qui est le lieu des normales à la surface donnée, me^ nées par lès points de cette section ; or , ce plan touche cette surface réglée en un points qui est lé centre de courbure de la section normale , et la projection de ce centre sur un plan quelconque 'mené par la tangente , est le centre de courbure de la section de la surface contenue dans ce plan : donc les centres dé courbure de toutes ces sections sont situés suï* un cercle qui a pour diamètre le rayon de courbure de la section normale , et dont le plan est normal à l'une quelconque des sections y au point où elles se touchent, p'où il suit 'que lés cercles osculateurs de ces sections Sont sur une sphère qui a pour centre le centre de courbure delà section normale , passant par là tangente commune , et pour rayon, le rayon de courbure de cette section.
Construction géométrique des Cercles oscuîaleurs . d^une courbe à double courbure^ de ses plans
osculaieursy et des droites polaires des êlé'^
mens de cette courbe.
78. Quelle que soit la courbe à double courbure proposée , on peut supposer qu'elle résulte de Finlersection de deux surfaces dé&nies , pai: exemple , de deux surfaces réglées , et que ^^ diaprés les méthodes relatives au plan tangent exposées ( art. 69 ) , il n'y a aucun point de chacune de ces surfaces par lequel on ne puisse lui mener un plan tangent.
Cette hypothèse admise ^ oi^ déduira de ce qui jprécède la construction géométrique du cercle osculatear de la courbe à double courbiure y en un point donné de cette courbe. En effet , concevons par ce point la tangente à la courbe , et les normales aux deux surfaces dont cette courbe est l'intersection ; ces det^x plans menés par la tangente et par chacune des normales , coupent les deux surfaces suivant deux sections normales qui ont chacune un centre et des rayons de courbure. Les deux sphères (art. 77 ) qui ont pour centres et pour rayons y les centres et les rayons de cour^ bure des sections normales , ont pour intersec^
H0B le cercle cêculateùr demandé, car le plan de ce cercle coupe les deux sur&ces suivant deux lignes qui ont même centre de courbure , au point de ces deux surfaces que l'on considère. Mais on sait construire (art. 76) le centre et le rayon de courbure de la section normale d'une surface à laquelle on sait mener des plans tangens par des points pris sar cette surface. On connaîtra donc les deux
sphères qui, parleur intersection, déterminent le cercle osculateur demandé. La perpendiculaire au plan de ce cercle élevée par son centre, est la droite polaire du cercle osculateur et d^ l'élément de la courbe à double courbure contenus dans le même plan. Le plan du cer* cle osculateur ne diffère pas de celui que l'on nomme (^rt. 72) plan osculateur. La droite polaire d'an cercle osculateur d'une courbe passe par les centres des deux sphères , dont ce cercle est l'intersection.
De r Hyperboloïde osculateur dune s^rfaee
régUe.
79. L'hyperboloïde osculfileur mesure )a courbure d'un élément de surface xéglée , comme le cercle mesure cçUe de la courbe dont
(«4) il est oficttkteiir« Odâvu ( art. 5o )<fàùj patD)i les hyperboloïdes à une nappe qtii touchent une surface réglée suivant une droite donnée , Fun d'eux 9 l'hyperboloïde osculateur, était déterminé par la condition que cette droite et les deux autres droites consécutives qui lui sont adjacentes sur la silrfkce réglée , en soient les directrices. Si , par un point quelconque de la droite commune à la surface réglée et k Yhy-^ perboloïde osculateur , on mène un plan qui coupe à<-]a-fois les deux surfaces , il est évi<^ dent que les deux sections auront même cour^ bure ettL ce point , puisque les él émeus de cette courbure , savoir y le centre et le rayon de courbure , sont déterminés par les trois points dlntersection du plan ' et des trois droites consécutives , qui sont les mêmes pour la sur^ fiice réglée et l'hyperboloïde osculateur ; d'où il suit que le plan mené par une droite d'une surface réglée , coupe cette surface et Thyperbolciïde osculateur correspondant à la droite, suivant deux lignes qui sont réciproquement osculatrices. Mais ce plan coupe l'hyperboloïde osculateur suivant une autre droite : donc cette droite est osculatrice à la courbé de la surface réglée qui est contenue dans le même plan : ce qui signifie que trois
fioinls coillécuiifacb cetteeoQ>rbl^ sont Qti ligne droite , et qu'il y a infkxion.
Aine. 9 le plan izievié par une droite d'une (lUfface réglée^ ayant coupé cette surface sui^ Tant une cosirbe , l'intersection de la droite et -de la CQtirbe est à la fois on point dinSexioa de oefcte courbe 9 et le point où la sar&ce réglée ^6i» touchée par le fdiai»(att. 47).
8o. Coitsidérant les sections: d'une surface réglée dont lea plans passent par uaeinormale, OA taài que llB plan tangent, qui conlient les teasgentiea à toutes les seelions normales , partage ces sections en deux séries, les unes toucbéisa par le pkmrëits uneôté, les autres vers le côté opposé. Si par le pcmrt de contact du plan et de la sujrfiioe , qji couçoit la droite de cette surf9.ce , et Thyperboloïde osculateur suivant cette droite, le plan tangent coptiendra une seconde droite de Thypcrboloïde ; Tangle de ces deux droites comprend les sections normales touchjêes par le plan vers l'un de ses côtés , et le supplément de cet angle comprend les sections touchées vers le côté opposé ; car les lignes par lesquelles on passe des se^tiona normales dont les centres de courbure sont situés d'un côté dé la normale , aux sectionS' dont les centres de courbure sont situés du côté^
opposé , ont un rayon de coarbure infini j limite des rayons de courbare positifs et négati&(^o^. V Appendice ). Prenant pour exemple le plan tangent de l'hyperboloïde de révolation en un point du cercle de gorge qui sépare les deux nappes de l'hyperboloïde, le rayon de ce cercle est la normale pour ce point ; les sections normales comprises dans Taugle des deux plans normaux menés par les droites de Thyperboloîde étant concaves vers Taxe de Thyperboloïde, celles qui sont comprises dans le supplément de cet angle sont convexes vers le même axe.
liC petit cercle de gorge est de la première série , et l'hyperbole méridienne de la seconde.
Construction de V Hyperholoïde oacuîateur et une
surface réglée (i).
81. La droite de contact de la sur&ce réglée et de l'hyperboloïde osculateur étant donnée ^ on conduira par cette droite trois plans quel-* conques qui couperont la surface réglée suivaut trois courbes. Far le point où chacune de ces courbes sera rencontrée par la droite ^ on lui mènera une tangente (art. 56-57).
Ayant construit les trois tangentes^ on les regardera comme les directrices d'une droite
(1) Pftr M. Chadcs^
mobile; et cette droite engendrera Thyperboloide oscalateur ( art. 5o ).
Suite delà Théorie des Courbes à double
courbure (i),
Hes Développées et des Développantes dès Courbes à double eourbure. Des Surfaces osculatrices de ces CourbeSé
82. M. Considérons une courbe à double courbure, et la surface développable qui a cette courbe pour arête* de • xebroussement. Cette Qurface étant le lieu des intersections succès-sives des plans osculateurs de la courbe ( art, 2 1 et 7a ]L nommons-la Surface osculcOrice de la courbe. Les droites de cette surface sont les* tangentes de son arête de rebroussement , et par conséquent de la courbe à double courbure^ Les plans tangens de la surface oacu/atric^d' une eoupbe sont les plans osculate urs de cettecourbe*.
■ ■ B^— 1^ I > I ■ Il I I ■— — I m I i^
(i) La plupart des propositions contenues dans ce para- * graphe étant extraites des Mémoires de l'auteur de Tu/nafyse appliquée à la géométrie, on mariera d'uz^ M \e% articles relâliâ a ces propositions.
Concevons sur la surface osculatrice les tra-" jectoires perpendiculaires aux droites de cettp ^surface. Un fil étant divisé en deux parties ^ Viine fixe , pliée sur l'arête de rebroussenient , l'autre mobile ^ appliquée sur une tangente à cette arête^ cette seconde partie , qui est en ligne droite^ pourra se mouvoir en passant suc* cessivement par toutes les tangentes de Tarête de rebrousseitient, de manière que la longueur totale da fil ne change pas. Tous les points du fil en moi^vement décrivent sur la surface osculatrice des trajectoires perpendiculaires aux droites de cette sur&ce. L'arête de rebroussement se^éueloppey c'estrà-dire ^ qu'à chaque instant, la partie' rectiligne du fil s'allonge de la partie développée de cette arête. Ayant noïhmé Faréte dé rebroussement la développée, on appelle développuhtes les trajectoires perpenc^ulaires aux tangentes de cette arête.
Toutes les développantes ont , pour les points où elles sont coupées par la même tangente de Farête de rebroussement , un centre de courbure commun; ce centre et le point de contact de la tangente sur l'arête coïncident ; les longueurs des tangentes comprises entre l'arête de rebroussement et les développantes, mesurent les rayons de courbure de ces dé velop-
(89) pantes. Comme itn'y a aucune courbe qui ne^ puisse être cooaidérée et comme une développée , et comme Tarête de, rebrous3ement d'une HirË^ce développable , il suit qu^ane courba laelconque a une infinité de développantes , toutes situéfs sur sa sur£sice osculatrice. Nous liions coDsi^rer cette courbe comme une dé^ veloppante. ^ et aura voir qu'elle a une infinité de développées.
-0^ la Suffac^ polaire dlune Courbe y et de son Arête de rebrouêsemeint , lieu de^ centres jie courifurekephérique.
82k. iML Ayant, niené par* un pomt d'une coDobe on plap nonmaVà cette courbe, con-* QQliioQs que Jla courbe étant fixe , ce plan se Bieirire sàçs «assef d'être normal ;à k courbe ^ deux plans normaux con^éoutife . se« coupent suivant la droite polaire (art. 7a ) de Pélément de coui^be qa?tls comprepneot , ejt Fenveloppe de l^ei^paee que le plan normal à la^ courbe parcourt est le lieu de toutes les droites polaires y et par. conséquenide tous les pôles ^ la courbe ; oestpar cette raison, que nous proposons de Qoqimer cette enveloppe surf aee polaire de la courbe. Les droites polaires de la courbe |ont
(go)
los tangentes de l'arête de rebroussement de la sarface polaire. Chaque point de cette arête est Tintersection de deux droites polaires , ou de trois plans normaux consécutifs; elle est donc ( art. 7a ) le lieu des centres de courbure sphérique des élémens de la courbe , ou des centres des chères oscidotnces , dont chacune passe par quatre points consécutifs de la courbe.
84. D'une courbe à double courbure quelconque , dérivent deux surfaces développableSy Tune osculatrice et Tautrepo/mr^ ; la première, lieu des tangentes de la courbe , est engendrée par le plan osculateur de cette courbe ; la seconde , lieu des pôles de la courbe, est engen* drée par le plan noroial; Il n'y a aucune droite de ces deux surfaces ^^e l'on ne puisse construire géométriquement en faisant usage des principes exposés dans lès pwagrapfaes précédens (art. 66-78). . .
Construction :géç7nétrîque des Centres de eoun^ bure sphérique des Courbes à doubh courbure.
85. Lorsqu'une/ courbe à double courbure est l'intersectioDfc de deux surfaces courbes auxquelles op sait mener des plans tangens par des ppints pris sur ces surfaces^ il n'y a aucun>
(90 point de cette courbe pour lequel on ne puisse construire ( art. 78 ) le plan osculâtenr 9 le cercle osculateur et la droite polaire qui correspondent à ce point. Or, la surface polaire a pour arête de rebroussément ( art. 83) la ligne des centres de courbure sphérique de cette courbe : donc le . plan hormal en un point déterminé de cette courbe touche la surface polaire suivant une droite tangente à Fa* rête de rebroussément dé cette surface , et le point de contact est le centre de'xourbure sphérique correspondant au point déterminé delà courbe. Four construire ce point ^ on mènera par la droite polaire qui le contient un plan quelconque qui coupera toutes les autres droites polaires tangentes à l'arête de rebroussément de la surface polaire; joignant ces points par une courbe^ elle sera tangente à la droite polaire située dans le plan de cette courbé ( art. 46 ), et le point de contact sera le centre de courbure sphérique demandé, a Cette cens* }D truQtion^rigpureuse en théorie, ne serait ad* s> mise en géométrie descriptive qu'au défaut s> d'une méthode plus rigoureuse et plus cony> Jçfvm^ à ce principe , qu'un point est d'auy> tant mieux déterminé par des opérations » graphiques^ que l'angle des lignes qui se
( 9» ) * croisent en ce point s'écarte moins de Tan- » gle droit ». Hans la construction précédente, cet angle e^t uiUy puisque le. centre de courbure aphérique est i^u point de contact d'une courbe et d'une droite située dans le plan de cette courbe; c'est pourquoi nous allons indiquer une autffe construction qui se déduit des principes que nous avoDs établis précédeininQnt y et qui nous a été communiquée (i).
86.. Un plan quelconque mené par une droite d'une suriace développable ^ coupe cette surface suivant yne courbe tangente à la droit%(art. ,46), et par conséquent tous les plaqs tangena de la surface suivant des droites tangentoa à cette courbe^ Siq^posons que ces d2t>ites soient données ààm «n plan, elles sont tangentes à une nème^ qoorbe qui n'est pas connue > mais chacune d'elles Ja touche en un point qu'il s'agît de GQnstruire% Ponr résoudre cette questionV on considérera lea droites donr nées. dans on plan P coqune les^ projections orlfax^onales des droites d^une sorfaoe réglée ; et pouK fixer un mode de^ génération de cette surface^ on supposera, par exemple, qu^elle est ^Qgendrée pair une droite* constamment parai-*
'^ ' ' ' f "" i i Mi f' r ' i r ' i ' .r umtLj t upt ■ m i ■■ ■ * ■
(ï> Par M. Chwkf.
( 95 ) lèWaa plan P, et de plus assujettie à passer par ane droite arbitraire qui ne lui soit point parallèle.
Cela posé y soit D la droite polaire sur laquelle se trouve le centre de courbure sphé-^ rique qu'il s'agit de construire géométrique*^ ment. Un plan quelconque P mené par cette droite coupe les plans tangens à la surface polaire suivant des droites D' y D^' , etc. , tan-^ gentes à une courbe qui est elle*méidne tangente à l'arête de rebroussement ; le point de contact de ces deux courbes est le Centre de courbure sphérique situé sur là droite polaire D. Consi* dérant ces droites D , D\ iD", etc. , comme les projections des droites d'une sur&ce réglée sur le plan /^> un second plan P' perpendiculaire à celui-ci et mené par la droite Z), coupe la surface réglée suivant une courbe ; et pour construire cette courbe > on supposera que la géné^ ratrice de la surface réglée àatisfait auic d^u^t; conditions, d'être parallèle au plan Py et de p^i^ «er par une droite arbitraire , qui néâi^imoiM rencontre la droite 17^ alors le plan P' eoupe la surface réglée suivant une courbe déterminée, facile à construire, et le point d'intersection de cette courbe par la droite D est le centre db t^ourbure sphérique demandé.
De la Surface polaire d^une Courbe considérée comme le lieu des dépeloppées de cette Cour'be*
87, itf. Soient (fig, 8) fx, m, m', m", etc. les points consécatifs et infiniment vobins d'une courbe à double courbure donnée MN; p, p\ p', etc.
les droites polaires des élémens de la courbe m m' , m! m" , etc. Un plan quelconque tangent à la surface polaire de la courbe donnée contient deux droites consécutives/? et p' y et il est normal à la courbe en un point m. Une droite quelconque mdy menée dans ce plan tangent par le point m de la courbe y coupe les deux droites polaires jp etjp' en deux points del d' ; la droite dl w! qui joint le point d de la surface polaire , et le point m' de la courbe infini-ment voisin du point 771 ^ coupe la droite polaire (p'') au point d!'^ la droite qui joint ce point d' , et le point m" de la courbe infiniment voisin du point m! , coupe la droite^polaire (p'"j au point d'^; et ainsi de suite. On construit de cette manière sur la surface polaijre uneeourbé dd'd'.... 9 qui est ( art. 8a ) une déi^eloppée de la courbe proposée. Mais la première droite iTidf menée dans le plan tangent à la surface polaire / est arbitraire : donc cette surface est le lieu d'une infinité de courbes ddd\...^ dont cha-
^aaeest.iuie développée de la courbe proposée ; l'où il suit 3.^ qu^une courbe quelconque y conidérée comme développante , a une infinité de léveloppées situées su ria surface polaire de cette Dourbe ; a^ qull ^ a une infinité de surfaces iéveloppab]es dérivées d'une même courbe, dont chacune contient cette courbe et l'une de ses développées, et toutes ces surfaces sont composées de droites tangentes à la surface polaire, et normales à la courbe , en sorte que la courbe est une trajectoire orthogonale de toutes ces sur&ces.
Propriété remarquable de V Arête de rebrousse^ ment d^une surface polaire.
88. Deux droites consécutives de la surface polaire d'une courbe sont perpendiculaires à deux plans osculateurs consécutifs de cette courbe (art. 78). Or, ces deux droites sont tangen tes à l'arête de rebroussement de la surface polaire : donc l'angle des deux tangentes consécutives de cette arête ou son angle de contingence , est égal à l'angle de deux plans osculateurs consécutifs
de la courbe proposée , ou de l'angle de flexion de cette courbe. Réciproquement , l'angle de
flexion de l'arête de rebroussement est égal à
Y angle de contingence de la courbe proposée ;
-( 9« ) car deux plans osculateurâcodséctitifsde ce^tte arête sont perpendiculaires à deux tangentes consécutives de la courbe : donc une 'Coart>e quelconque , et Parête de rebroussement de sa surface polaire ^^ jouissent, ae cette propriété , que les angles de contingence et de flexion aux points situés dans le ménie plan normal d la courbe ^ sont réciproquement égaux (i).
Propriété des développées ^une Courbe.
89. M. Lorsqu'on développe sur un plan la surface polaire d'une courbe , toutes les'dé veloppées de cette courbe deviennent sur le plan de développèitieht des ligneâ d):ôites. Celle propriété résulte de ce que deux droites consécutives de la surface développablé qui passe par une courbe , et Tune quelconque de Ses dé ve* loppées , se coupent en un point de la surface polaire » et forment des angles égaujc avec Ja droite de cette surface qui passe par le point d'intersection.
Soient ( fig. 8. ) p , p' , p' les droites de la surface polaire ; dd^ d' l'une des développées de la courbe m m' tn^\ Deux droites consécutives fidymdd! de la surface développable
( I ) Théorème de M. Fourier 5 Correêpondanc9 « lome 111 , pttge \^5.
( 97 ) qui passe par la courbe m w! ni^ et par la déye-*' loppée d à! et' de cette courbe , font avec la droite (p) des angles égaux fk^dky m dky (p) dd\ Dans le plan de développement ( art* 65 ) , ces deux angles S'dky (p) dd' sont opposés par le sommet, et les deux élémens consécutif» «Tdf, ^d' de la développée J^dd^ ne forment qu'une seule et même droite. Il en est de même de toute développée autre que la ligne dçt d!':
donc toutes les développées d'une courbe de^ -.Tiennent, sur le plan de développement ^ de la surface polaire de ^cette courbe , des lignes droites, et sont par conséquent sur cette surface les lignes les plus courtes (art. 68) qu'on puisse mener eutre deux points donnés*
Usage des développées tPune courbe pour décrire cette courbe et un mouvement continu^
90. M. Ayant mené par un point d'une courbe un fil tangent à la surface polaire de cette courbe , on le pliera en le tenant toujours tendu , de manière que cette tension lui fasse prendre s,or la surface la direction la plus courte entre ses extrémités ( art. 68 ) j il se pliera sur Tune des développées de la courbe^ et dans le même temps, un point du fil décrira la courbe*
Si l'on veut décrire d'un mouvement contina une courbe donnée, on construira la surface polaii*e de cette courbe, et après avoir mené par Tun de ses points deux fils tangens à la surface , on les pliera sur cette surface suivant deux développées. Ayant fixé les extrémités des fils sur ces développées , on fera mouvoir le plaii tangent à la surface polaire ^ qui passe par ces deux fils , ou plutôt par le même fil divisé en deux parties droites , réunies en un point de la courbe. Tenant toujours ces deux parties du fil en lignes droites dans chaque plau tangent, leur point de réunion décrira la courbe proposée.
Si la courbe donnée est un cercle , la surface polaire se réduit à la droite polaire ( art. 65 ) de ce cercle , et les deux fils étant attachés à deux points de cette droite , leur point de réunion décrira le cercle qui est l'intersection des deux cônes droits que les fils décrivent en tournant autgur de la droite polaire comme axe.
De la Développée de Réaumur, ou de la
Développqïde.
. 91. Si par tous les points d'une courbe plane on mène dans le plan de la courbe des lignes droites qui se rencontrent deux à, deux consé--
( 99 ) icutivement ^ en coupaat la coutbè sous uti angle constant, ces droites çont les tangentes de la courbe que Fontenelle a appelée dépe^ ioppée imparfaite. ( Voyet le Grand Calcul dif^ jUrentiel de M. Lacroix , tome I®^, page 4g2 ^ n^ édition , 1810. ) Réaumur est le premier qui a considéré cette^ espèce de développée dans 4in Mémoire de l'Académie de^ Sciences de paris, année 1709. Dans un autre Mémoire des Savans étrangers de la même Académie> tome II, année iSii » M. Lancret a examiné lesdéveloppées ioiparfaites des courbes à double courbure , et il les désigne soUs le nom de deve*' loppoïdes. Nous adoptons cette nouvelle déno* mination%
Soit A MNB une courbe quelconque (fig* 9) j deux droites consécutives ou infiniihent voisines, menées, par deux points consécutifs de cette courbe et dans son pla^, se coupent en » un point qui appartient à la déyelôppoïde ; la partie de ces droites comprise entre la courbe AMNB et la développoïde , se nomme rayon die dépeloppoïde. Menant les deux droites consécutives par les mênies points delà courbe A MNBy en faisant varier Fangle de ces droites . et de la tangente à la coUrbe , )e rayon de déi^ veloppoïde varie en même temps* Réaumuc %
démontré que les rayons de développoïdes qtrl correspondent à Tangle yariable de ces rayons et de la tangente à la courbe proposée, sont les cordes d'une circonférence dont le diamètre est égal au rayon du cercle osculateur de la courbe proposée au point de concours des rayons de développoïdes.
92. Soient ( fi g. 9 ) Af et A'^ deux points pris à xine distance finie l'un de l'autre sur la courbe proposée A M NB ; M T, NT les tangen tes aux points ilf et N; MO ^ NO deux droites qui partent des points M et N^ et font avec les tangentes en ces points des angles égaux tMO, TNO^ ces quatre points ^ savoir, le point de concours O des deux droites MO, NO, le point de rencontre T des deux tangentes, et les points de contact Met N, appartiennent évidemment au cercle 9 dont le centre est déterminé par les droites TS, MR qui divisent en deux parties égales les angles MTIS, TMO; car les angles tMO et TNO étant égaux, ils ont chacun pour mesure la moitié de la somme des arcs MO et MT: donc les droites MT, / NT doivent concourir en un point T de la cir-
conférence MON. Deux autres droites quelconques MO' , NO\ qui coupent la courbe proposée AMNBy sous les angles égaux tMO\
(loi)
TNO^ diflférens du premier angle tMO^ se rencontrent évidemment en un point 0' de la circonférence -WOiV; lorsque ces droites seront perpendiculaires sur les tangentes , et dirigées suivant les cordes MSy NS^ elles se rencontreront en un point S de la même circonférence., situé à l'extrémité du diamètre TS.
Mais les points M et N étant infiniment voisins , ce diamètre et les cordes M S , SN" se confondent ; le point S devient le centre de ^courbure du petit arc MTN ; donc, dans ce ^as , les rayons de dé vj}a{$poïdes MO ^MO,y ifO'',.,,...-€ôsi-d^^rdes di^ cercle OMNS^ dc^îe diamètre est égal au rayon de ce cercle i^s^ulateur de la courbe proposée au point de concours M de tous ces rayons. ( Théorème de Réaumur. )
g3. On déduit de ce théorème la proposition suivante :
ce tSi par une droite donnée tangente à une D surface quelconque, on conçoit toutes les » septions dont les plans passent par cette tan- » gente, les rayons de dcveloppoïdes de ces.
» diverses sections, qui partent du point de )) contact de la droite et de la surface , sont les D Cordes d'une sphère d'un diamètre égal au H rayon du cercle osculateur de la section nor-^
( lOâ )
» maie àe la snrface', dont le plan passe par s^ la tangente donnée i^. {Correspondance d^ T Ecole Polytechnique y tome III, page i5o. )
En effet , les rayons de développoïdes d'une même section sont (art. 9a ) les demi-cordes da cercle osculateur^de la section au point de concours de ces rayons , et par le théorème de Meus^ nier (art. 77), les cercles osculateors des sections dont les plans passent par la tangente à la sur-* face , appartiennent à la sphère ^ qui a pour centre et pour rayon le centre de courbure et le rayon de courbure de la section normale : donc les rayons de développoqides sont les demicordes de cette sphère , et par conséquent lea cordes entier es d'une sphère d'un diamètre égal au rayon de courbure de la section normale.
Remarque sur la Joigne de la surface polaire ^ qui est le lieu des centres de courbure -plana ou circulaire dune courbe à double courbure^
94. On a vu ( art. 7a ) que la perpendiculaire abaissée d'un point d'une courbe sur la droite polaire correspondant à ce point , déterminait le rayon et le centre de courbure circulaire pour ce même point. Il suit de là que les pieds des perpendiculaires abaissées des points d'une courbe sur les droitea polaires corr^^
( io5 ) pondantes^ forment sur la surface polaire une ligne qui est le lieu des centres de courbure circulaire de la courbe proposée. Cette ligne est une développée de la courbe (art. 72)^ dans le cas particulier où la courbe est plane. Alors le même plan contient la courbe , et la développée qui est le lieu de ses centres de courbure circulaire. Ce cas excepté , la ligne, lieu de ces centres , ne peut être une développée de la courbe* En effet, pour que cette ligne fût une développée, il faudrait que les rayons de courbure, c'est-à-dire les perpendiculaires abaissées des points de la courbe sur les droites po»laires correspondantes à ces points, se rencontrassent deux à deux consécutivement (art. 87),. pour former la surface développable qui oon-^ tiendrait la courbe et la développée de cette .courbe dont les tangentes seraient par hypo^ thèse les rayo|as de courbure circulaire } mais chacune de ces perpendiculaires est ( lirt* 752 ) dans un plan osculateur de la courbe propo*sée,etpar conséquent deux plans osculateurs consécutifs de cette courbe se couperaient sui* ' vaut un rayon de courbure : or, ces deuxplan» se coupent nécessairement suivant une tangente : donc on ne peut pas supposer que deux rayons de courbure consécutifs d'une courbe à
( io4 )
double courbure se rencontrent, et par conse-qaent la ligpe des Centres de courbure circulaire de cette courbe n'est pas une de ses développées (i).
B est d'ailleurs évident que la ligne des centres de courbure sphérique d'une courbe ne peut pas être une développée de cette courbe , car cette ligne est l'arête de rebroussement de la surface polaire , et les droites de cette surface, tangentes à Tare te, ne peuvent jamais rencontrer la courbe proposée.
jpe la Surface rectifiante éPune courbe à double
courbure.
95. La surface osculatrice d'une courbe est (art. 8a) le lieu des tangentes et des développantes de cette courbe. Deuxdroites consécutives de cette surface comprennent les élémens des développantes, qui ont pour centre commun le point où l'une de ces deux droites touche la courbe proposée, et leur plan est un plan osculateur de cette courbe : donc le plan perpendiculaire à un élément de l'une des développantes concentriques est perpendicu-^
(1} MM. Lacroix et Louvet ont démontré cette propofîlion. Voyez le Grand Calcul différentiel de M. Lacroix , tome I , in*4* 1 i8jo 2 seconde édition , page 62S ^ n° 3S.p.i
(io5)
laire à l'an des plans osculateurs de la courbe proposée. Mais un plan mobile , qui dans toutes ses positions est normal à une développante^ engendre la surface polaire de cette développante^ et toutes les développées de cette développante deviennent des lignes droites (art. 44) sur le plan de développement de cette sui^face : donc si l'on considère une seule développée y les plans menés par les tangentes à cette développée , perpendiculairement aux plans osculateurs qui passent par ces tangentes ^ et les plans tangeus à la surface polaire de la développante coïncideront; d'où il suit que les in* terseclions successives des premiers ou derniers plans appartiennent à la même surface développable. Cela posé, pour rectifier une courbe donnée , on la considérera comme une développée dont on connaît les tangentes et les plans osculateurs. Les plans menés par chacune de ces tangentes perpendiculairement au plan osculateur qui la contient , donneront par leurs intersections successives, la surface polaire de Tune des développantes de la courbe proposée. En supposant cette surface développée, la courbe donnée devient (art. 89) une droite sur le plan de développement : on la nomme, par çett^ raison > surface rect^nte de la courbe.
(io6)
(Voy. Grand Calcul différentiel deM.JjSLCroiXf I*' vol. pag. 65i. )
Ayant déjà ( art. 78 ) les plans tangens delà surface rectifiante , la construction des drçites de cette surface dépend de la solution du problème suivant :
' Étant donnée la suite des plans tangens â une surface développable y déterminer les drùiêes de eétte surface ?
Un plan quelconque coupe les plans donnés suivant des droites qui sont évidemment lea tangentes d'une ligne de la surface développable : or, on sait (art. 86) construire une courbe dont on a les tangentes : donc on connaîtra deux lignes delà surface rectifiante d'une courbe à double courbure, savoir cette courbe, et ensuite la ligne déterminée par ses tangentes. Les droites qui joignent les points de ces deux lignes situées dansle même plan tangent de la surface rectifiante , appartiennent à cette sur-^ face.
96. Une courbe a double courbure considérée comme Farête de rebroussement d'une surface développable, se transforme, sur le plan de développement ( art. 65 ) de cette surface , en une courbe dont les rayons de courbure sont égaux aux rayons de courbure de la courbe
( 107 ) proposée; en effet , les plans tangens de la surlace développable étant aussi (art. 8a} les plans oscnlateurs de la courbe^ ils contiennent deux éléments , et deux tangentes consécutives de cette courbe dont l'angle ne ehajïgp pas sur le plan de développement : or , ces deux éléments déterminent f art. 71) les rayons de courbure de la courbe et de sa transformée :
donc ces rayons sont respectivement égaux; d'où il suit que le rayon de courbure de la courbe proposée étant constant , sa transformée sur le plan de développement de sa surface ospnlatrice est un cercle. ( Grand Calcul différentiel de M. Lacroix, i^^^ vol. , pag. 64a. )
Sur la Ligne la plus courte entre deux points
d'une surface courbe^
97. La ligne la plus courte entre deux' pointa d'une surface courbe quelconque, est aussi la plus courte entre les deux mêmes podnts de cette ligne, considérée comme la courbe de contact de là surface proposée , et d'une surface développable. Or, la ligne la plus courte entre deux points d^une surface développable étant une ligne droite sur le plan de développement de cette surface , ses plans osculaleurs aont ( art. gS ) perpendiculaires à la surface ;
( io8 )
donc les plans oscnlatears de la ligne la plus courte entre deux points d'une surface quelconque ^ sont perpendiculaires aux plans tangens de cette surface.
Il suit de là que deux surfaces ^ dont Tune » développable , a pour arête de rebroussement la ligne la plus courte entre deux points de l'autre surface, se coupent à angles droits dans tous les points de cette ligne; car le plan tangent d'une surface développable étant le plan osculateur de son arête de rebroussement', il est perpendiculaire au plan tangent de la seconde surface.
Examen de quelques cas particuliers de la sufface polaire d^une courbe.
98. M. Lorsqu'ane courbe est décrite sur une sphère , tous les plans normaux à cette courbe passent par le centre de la sphère ; d'où il suit que sa surface polaire est un cône qui a pour sommet le centre de la sphère.
Si la courbe est plane , sa surface polaire est un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de la courbe ; toutes ses développées sont des hélices (1) tracées sur ce cy-
(i) On nomme ainsi la courbe tracée sur un cylindre, qui devient une ligne droite sur ce cylindre développe.
(109) liadre : Tune de ces développées est la section du cylindre par le plan de la courbe. Cette section est çn même temps la ligne des centres de courbure circulaire. C'est le seul cas ( art. 72 } où cette ligne est une développée de la courbe.
Il est évident que lorsqu'une courbe est plane, la surface osculatrice qui est le liea de ses tangentes^ et le plan de la courbe, coïnr cident.
Définition des Rayons de courbure et des Lignée de courbure des surfaces courbes.
99. M. De même que le rayon de courbure d'une courbe plane est déterminé (art. 71 ) par l'intersection de deux normales consécutives menées dans le plan de la courbe , deux normales consécutives d'une surface se coupent en un point dont la distance à la surface, mesurée sur la première normale , est le rayon de coûr^ bure de la surface qui correspond à cette normale.
Une normale quelconque à une surface S lie peut être rencontrée que par deux autres « Il .11 p ■' I I II»
Toutes les tangentes de cette courbe sont également incliiiëes par rapport aux arêtes du cylindre qui passent par le» points de contact.
( "o ) normales infiniment voisines de la première.
te
A partir d'unenormale déterininée JV, là suite des normales qui se coupent deux à deux, forme deux surfaces développables qui se rencontrent à angle droit suivant la normale N, et coupent la surface S suivant deux lignes ^ qu'on nomme lignes de courbure de la surface S. Les tangentes aux ligues de courbure qui passent par un point d'une surface S ne diffèrent pas des tangentes dés sections normales, dont Euler a déterminé la position^ par la condition que les rayons de courbure de ces sections fussent des rninima ou des maximay et qu'on a appelées par cette raison les sections principales de la sur^ face : elles sont aussi les tangentes des courbes de contact de la surface S y et des cylindres inscrits ou circonscrits à cette surface , engandrés par des droites qui leur sont parallèles.
Les rayons de courbure d'une surface en un point déterminé de cette surface, étant les rayons de courbure des sections principales dont les plans passent par ce point , on les nomme encore rayons de courbure principaux.
Définition des Tangentes réciproques i^ une
surface.
ibo. Ayant mené dans un plan tangent à une surface , et par le point de contact , une droite quelconque £), le cylindre qui a pour arêtes des parallèles à cette droite tangentes à la surface , touche cette surface suivant une courbe que la droite Z>, menée dans le plan tangent, coupe en un point ^ la tangente à la courbe de contact en ce point , et la droite D comprennent un angle dont les côtés sont des tangentes réciproques cle la surface. Faisant tourner la droite D dans le plan tangent , le point de contact ne variant pas, Tangle des tangentes réciproques varie.
On démontre que ces tangentes sont réciproques dans ce sens , qu'elles sont à-la-fois les génératrices de deux cylindres tangens à la surface, et les tangentes aui courbes de contact de ces cylindres et de la surface.
On s'arrête à ces définitions des rayons de courbure des surfaces, de leurs lignes de courbure et des lignes à tangentes réciproques.
L'expression de ces rayons, les propriétés de ces lignes sont du domaine de l'analyse appliquée à la géométrie.
(iiO
Notes de M. Chastes.
I. Une courbe à double courbure étant donnée, on sait^ ( art. 56 - 57 ) lui mener des tangentes , qui sont Jes droites de la surface osculatrice de cette courbe (ait. 82). Coupant cette surface par un plan , et construisant les tangentes de la ligne d'intersection , un plan quelconque tangent à la surface osculatrice est déterminé par deux droites , Tune tangente à cette ligne et l'autre tangente à la courbe donnée. Oi* , ce plan tangient est aussi un plan oscillateur (art. 8a ) de la courbe; d'oii résulte une construction géométrique de ce plan autre que celle qu'on a exposée (art. 78}*
II. Ayant constrmt les plans osculateurs d'une courbe à. double courbure , les normales à cette courbe , menées dans les plans osculateurs, forment une surface réglée (art. g4) ; considérant l'une de ces normales en. un point quelconque de la courbe, le plan normal au même point touche la surface réglée (art. 74), et le point de contact est sur la normale plane le centre du cercle osculateur.
Note relatwe aux ariîcles (G^-Gf)).
M. Lacroix a donné , dans un Mémoire présenté k l'Aca-^ demie des Sciences en 1 7^ , la solution analytique du problème suivant :
Une courbe quelconque étant tracée sur une surface dé' veloppable^ trouver ce qu*elle devient dans le développe-» • ment de cette surface^ et réciproquement une courbe étant tracée sur un plan , trouver ce qu*elle devient lorsqu'on enveloppe ce plan sur une surface donnée. ( Voyez sou Calcul différentiel ^ I*' vol., page 636. ) On trouve dans ce même ouvrage , page 660 , la question suivante : Étant données deux courbes , Vune sur un plan , Vautre dans Ves* pace, trouver sur quelle surface développable il faudrait plier la première pour produire la seconde. H* G»
i il3 )
