CHAPITRE PREMIER
I}es Coordonnées à^un point , des Equations de la ligne droite y et du Plan.
t . Oi^ sait comment on détermine la position d'un système de points situés dans un plan.
Ce plan étant supposé fixe , on y trace deux lignes droites qu'on nomme axes des coordonnées 9 et on considère chaque point comme le sommet de l'angle d'un parallélogramme formé par les axes des coordonnées , et par
des parallèles à ces axes j la longxieur et la direction des côtes de ce parallélogramme, déterminent la position du point. C'est par une mé» ihode semblable qu'on fixe la position d'un point dans l^espace. On conçoit trois plans invariables , qui se coupent suivant trois droites qu'on nomme axés des mordonnées , et on considère le point donné comme le sommet de l'angle d'un parallélipipède qui a pour diagonale la distance de ce point à l'origine des coordonnées, et pour arêtes des droites parallèles aux axes des coordonnées. La direction et la longueur des arêtes du parallélipipède , qui aboutissent au point donné , déterminent la position de ce point dans Tespace.
a. Les trois plans des axes des coordonnées qu'on nomme simplement plans des coordon* nées j divisent l'espace en huit régions. Les mêmes valeurs absolues des trois coordonnées d'un point correspondent à Tune ou à l'autre de ces parties de l'espace. En effet , soient x y j-, Zy ces valeurs absolues , on aura d'abord les quatre combinaisons suivantes :
Et en changeant les signes de ces premicres
(5) eombinaîsons , on aura les suivantes :
5«; — 0?,— y,— ^; 6^ — jt,— ^,+4P> .
Les points symétriquement placés par rapport à Forigine des coordonnées , sont situés sur «ne droite passant par cette origine ; ainsi la première et la cinquième combinaisons correspondent à deux points symétriquement placés : il en est de même des points des deuxième et sikieliae combinaisons , des troisième et sep> tième , des quatrième et huitième.
5. Les plans fixes des coordonnées sont ou inclinés ou perpendiculaires entre eux. Lorsqu'ils sont rectangulaires ^ un point a pour coordonnées les perpendiculaires abaissées de ce point , sur les plans des coordonnées ^ ou les distances de ce point à ses projections orthogonales sur les trois plans fixes.
Quelle que soit la direction des axes des coordonnées , en nommant a , b ^ c les coordonnées d'un point parallèles k ces axes, les équations du point sont :
Les plans menés par un point donné perpendiculairement aux axq; rectangulaires^ coupent
ces axes en trois points dont les distance^i à Forigine des coordonnées , sont égales aux coordonnées du point donné. Chacun de ces trois points est la projection du point donne sur l'un des axes rectangulaires.
4- Si Fou n'a quune seule équation entre les trois coordonnées d'un point , la position de ce point est indéterminée , et le lieu de tous les points , dont les coordonnées y satisfont ^ est une surface dont cette équation exprime la nature.
Si l'on a deux équations entre les trois coor« données d'un point , la position de ce point est encore indéterminée ^ le lieu de tous les points qui satisfont à ces équations est à-Iafois sur les deux surfaces quelles représentent; ce lieu est donc la ligne d'intersection des deux surfaces.
Il suit de là qu'une ligne donnée dans l'espace est représentée par deux équations entre les trois coordonnées d'un point de cette ligne, fet une surface est représentée par une seule équation entre les trois coordonnées d'un point de cette surface.
6. En géométrie, la méthode la plus générale par laquelle on détermirib la position d'un point,
consiste à regarder ce point comme Tinlersection de trois surfaces courbes : dans l'analyse appliquée à la géométrie , on suppose toujours le point donné de manière que les trois surfaces dont il est l'intersection , se réduisent à dès plans, ou à des sphères, ou à des cônes droits^ comme on le verra à l'article relatif à la transformation des coordonnées.
Dans les paragraphe suiyans , on supposera les trois axes des coordonnées a: , j- , a perpendiculaires entre eux ; par axe des a: , des jr ou des z, on entendra l'axe parallèle alix oc , aux jj aux z j on désignera chaque plan des coordonnées par les deux lettres qui expriment les valeurs des deux coordonnées auxquelles ce plan est parallèle. Pour désigner un point dont les coordonnées sont x^^j^y z^,, on écrira «le point a:',j*', z^, »
Des équations de la ligne tbviie.
6. Les équations d'une : ligne droite, située dans Tespace , expriment la relation qui existe ^ntre les coordonnées x ^^ yy% d'un point qiiel-»
conque de cette droite. Uayant projetée surj les' plans des acz et des jz , ses projections sont d'autres droites qui ont pour équations :
(l) dp = 0Z -f- M,
entre lesquelles éliminant z , l'équation résultante en X et J'y
(S) hx '^ ay = ba — a/8 ,
appartient à la projection de la droite sur le plan des ay.
Des quatre constantes a, b, a, ^j deux aet b éont les tangentes des angles que les droites des équations (i) , (2) font avec l'axe des z ; « et jd sont les coordonnées du point oii la droite donnée coupe le plan des xj ; point pour lequel on a z=o.
Deux quelconques des équations (i) , (2), (3) entre les coordonnées ^ , j^ , ^ d'un point d'une droite donnée , sont les équations de cette .droite. .. ..
Faisant successivement a:=:o, y=ro, dans ces équations , on aura , pour les coordonnées du point oii la droite rencontre les plans des 2^9 et des xz y ,
i\ rtr;-. , y:=:i 1- i« , pour Tun ;
fi ^fi , 11
a®, r = — -— - f « = — -r — f- « , pour rautre.
Lorsque la droite passe par Forigine des coordonnées , on a « = o , j8 = o ; et les équations (i), (2) se réduisent à celle-ci :
Des équations de condition qui expriment ^ I**. que deux droites se rencontrent ; a°. quelles sont parallèles.
7. Nommant x^ , y ^ z' les coordonnées du point de rencontre des deux droites représeulées par les équations (i) , (2) , (art. 6 ) , et par celle-ci (3) et (4) :
(3) x=za'z + a', (4) y = h'z + fi';
on a :
a/= flz'-f" ** f y'^=^ bz'-^- /8, pour la première droite y
et
«'ssfiV-j-flt', y'==i'z'+^', pour la seconde ^
il est évident que si ces deux droites se rencontrent, lés quatre dernières équations auront lieu en même tems pour le point d'intersection ; donc, si l'on élimine les coordonnées de ce
ppmt , réquaiîon qui résultera de celte climi-» nation , exprimera que les droites des équations (i) , (2), ( art. 6 ) , (3), (4) se rencontrent. On a pour résultat de l'élimination ;
Lorsque les droites données sont parallèles , leurs projections le sont aussi ; donc , on a a = û' , è = 6'. Le point de rencontre , est dans ce cas , situé à Tinfîni : on voit , en effet , que d'après ces conditions du parallélisme , Téqua^ lion (^) est satisfaite, quelles que soient les valeurs de « , «t', jQ, jS', qui peuvent varier ^ quoique les droites données conservent le pa* rallclisme.
Solution de plusieurs problèmes relatifs à la
ligne droite.
Prob(.£me I**".
8. Par un point donné dans l'espace , mener une droite parallèle à une autre droite donnée ?
Solution. Soient oc^^y^^z^ les coordonnées du point donné , et supposons que là droite donnée ait pour équations :
les équations de la parallèle à cette droite seront de la forme :
A cause du parallélisme , il est évident qu'on aura a^ =z a ^ 6' = i j d'oii il suit que , des
quatre constantes a', 6', *', jS', les deux premières sont relatives à la direction de la droite demandée , et les deux autres <t\ j8' seront déterminées par la condition que cette droite passe par le point a:', j', js', En effet, on a pour ce point :
a/ := û-t' + «' , ^' = Jf' + i3' , d'où Ton tire :
et on a, pour les équations de la droite de* mandée :
d'où Fon déduit cette* troisième équation en vc et j^ :
De ces trois équations , deux quelconques déterminent la position de la droite menée par ^n point donné , parallèlement à une droite .donnée^ .
Pkobl. il
Trouver les équations d'une droite menée par deux points donnés dans l'espace , et la longueur de la droite comprise entre ces deux points ?
9. Solution. Soient a:', y^ ^ z^ les coordonnées du premier point donné , et :r'^, j"'', z^^ les coordonnées du second point. La droite demandée devant passer par le premier poiat, ses équations seront de la forme :
En supposant que , dans cette équation , les coordonnées a? , ^ , z d'un point quelconque de la droite deviennent a:'^, j'', s'', on aura, pour déterminer les valeurs de A et de B y les équations suivante» :
d^où il suit que la droite demandée a pour équations :
xff iX' y^— •y'
(II
ou en réduisant :
X {zff — z' ) =: z ix" — x') + x'zf— xffz'y ) yizf/-z')=ziyf-y)+yz'r-yfz\i ^ ^
{Menant par chacun des deux points donnés , trois plans parallèles aux plans des coordonnées , on aura six plans parallèles , deux à deux , qui comprendront un parallclipipède rectangle , dont la droite qui joint les deux points donnés, ^est une diagonale. Nommant R la longueur de cette droite , on a :
Les plans menés par les extrémités de la droite /î perpendiculairement à Tun des axes, interceptent une partie de cet axe , qui est ht projection de la droite R sur ce même axe.
lo. Si , dans cette expression de la longueur d'une droite , on regarde x^', /'', z^' comme les coordonnées variables dW point d'une sphère du rayon R , dont le centre est au point ocf^y^ z' , il est évident qu'on aura , pour l'équation de la sphère ( 4 ) •
Lorsque le centre de la sphère est à l'ori-
(la) giue des coordonnés , cette équation devient ;
1 1 . En traduisant les équations (£) de Tari, g. Tune ou l'autre renferme le théorème suivant : Une drqite quelconque étant rapportée à deux axes rectangulaires dans le plan desquels elle est comprise , et une partie quelconque R de cette droite étant ( 9 ) projetée sur les deux axes ; si l'on prend sur cette droite un point quelconque M, la somme ou la diffé-* rence des aires des deux triangles qui ont leur soiximat commun dans le point ilf, et qui ont pour bases |es projections de la partie R de la droite , est égale à l'aire du triangle qui a pour base la partie elle-même Ry et dont le sommet est à Torigine. C'est la somme où la différence , selon la position da point M par rapport aux axes rectan-* « gulaires. » »
Pour démontrer ce théorème , mettons lia seconde des équations (E) sous la forme suivante :
Soit (PI. I". , fig. 1) AB une droite comprise;
('5) entre les axes rectangulaîres KY^ KZ des y et des z: Si on nomme y, a' les coordonnées KA\ A^A du point A^ et j^'', z^^ les coordonnées iCS', jS'^ du point B , le triangle KAB qui a sou sommet à l'origine A'des coordonnées ^ et dont la base est la droite AB ^ a pour expression
de son aire : * En effets ce triangle
est égal à la somme du triangle KBB^ et du
trapèz'e AA^BB^ diminué du triangle KAA^ :
or , Taire du triangle KBB^ est ■ ' ■ ■ ■- ; celle
da trapèze ^^'5;B' est -^= — JL-J^ — 1-L ;
laîre du triangle KAA^ est * ' : donc on a ,
pour Taire du triangle KAB\
OU en réduisant : ■ ■ ■ '^ - , second membre
de Téquation (£').
Soit -W^ ( fîg. 2 ) un point quelconque» de la droite AB » dont les coordonnées sont y et ». ^JB', -^'^iB'^ étant les projections ( 9 ) de la
droite AB sur les axes des y et des z , il est évident qu'on aura :
A'B' = f — ^'% A^fB^ = zit — z' ; donc les aires des triangles MA^B^ ^ MA^'B^f^
ont pour expressions les quantités — ^^^ ^-^— >
Y(z'^^zf)
^ j or, par Fcquation (£0, la somme
de ces deux quantités est égale au triangle KAB ; donc, chacune des équations (£?)com* prend le théorème énoncé au commencement de cet article. On peut encore démontrer ce théorème par la géométrie , de la manière suivante.
12. La droite AM (Gg* 2) ne changeant pas de position par rapport aux axes KV, KZ , supposons que la partie AB de cette droite se meuve dans sa propre direction , jusqu'à ce que le point A se trouve sur l'axe KV^ cotnme on le voit fig. 3. Il est évident que les triangles KAB , MAB^, MKBf' de cette figure , sont égaux en surface aux triangles KAB, MAŒf, MAffB" de la fig. 2. Or (fig's), le triangle MKB^^ est moitié du rectangle Amj le triangle MB^B^ est moitié du rectangle B'trii donc la somme de ces deux triangles est moitié
du rectangle total KB , ou égaie au triangle KBB' } on a donc l'équation :
MRBff + MBB^ = KBB'.
Ajoutant dans chaque membre de cette équa* tion le triangle ABB^^ on a :
MKB^f + MBB' + ABB' = KBB' + ABB' ,
à cause de
MBB' + ABB' = MAB\
et de
KBB' + ABB' — KABB',
Féquation précédente se change en celle-ci :
MAB' + MKBff = KAB ;
d'où il suit qu'on aura aussi (fîg- 2) :
