MA'B' + MA^B^ := KAB
Ou , en traduisant cette équation , on aura l'énoncé du théorème de l'article précédent.
PnoBL, m.
i5. Étant données les équations de deux droites , trouver le cosinus de l'angle formé par les parallèles à ces droites, menées par l'origine des coordonnées.
( i6 ) Solution. Soient a: = ûj3 + a , ^ = iz + /é les équations de Tune des droites données , a: = a'z -4- et' , yz=zVz'\- jS' les équations de la seconde droite; les parallèles à ces droites menées par Torigine des coordonnées , ont évidemment pour équations»
9^=1 az ^ y^s=.hz^ x**. Parallèle
x:=ia'x^ y^=.Ve^ a*. Parallèle*
Ayant pris sur la seconde parallèle un point dont les coordonnées sont oc) , /', jsî', on abaisse de ce point une perpendiculaire sur la pre« mière parallèle; cette perpendiculaire et les deux parallèles comprennent entre elles un triangle rectangle dont Thypothénuse est la
dislance \/x'* '\^f'' H" ^ * du point {oc' ^ j'y z') à l'origine des coordonnées. Le côté adjacent
à l'hypothénuse est la distance ^ac^^j^-^z^ du point (jî, j-, js) de la première parallèle» à l'origine des coordonnées. Cette origine , le i point {a^y 7', «' ) et le point {oc^j^z) sont situés
sur une sphère du diamètre y a:'* + J"'* •+" ^'"^ • On a (9) , pour Téquation de cette sphère,
dont le centre est au point f - — j -^ ' ^ J '
(»7) OU en réduisant ,
^* -h y* 4- iP» -- âBa/ ^yf -. tz^ ^ o,
Cette équation exprime que le point (^ , r , z) ^ est le sommet de l'ànglë droit duû triangle rectangle.
Mettant dans cette équation, pour ,a: et y^ leurs valeurs tfj5 et tz, et divisant par z, ello deviendra :
! pu eu substituant pour ad et j^ leurs valeurs ûV , Vz^ , on aura :
tfoii l'on tire
t t + aa^ 4" **'
Or^ lé cosinus de Tangle des dieuît parallèles
est \
S/x^-^-y^ +^' i: V^i 4- fl« 4- ^ r
> > I — ou • ■ • — ;
ào&c f en nommant cet angle i^^ on a !
yj. + «» + j* Ki+ «»'* + ^'*
Lorsque les parallèles aux droites données , menées par l'origine des coordonnées , sont
perpendiculaires entre elles , on a :
cos r = o , ou I -f- aa^ -f" ^^' = o. ,
14. La droite des équations a:z=az, j"t=^b% forme avec les axes dés a> y des j- et des 55, des angles qui ont' pour cosinus
mettaût pour a: tt / leurs valeurs az et bz , ces cosinus deviennent ; '
Par la même raisOn, la droite des équations 0:'=^ dzy j :=. Wiz> fait-avfec les mêmes axes des coordonnées, des angles dont les cosinus sont :
j/i-f-o'«'-^^i'« yi^a''+b'* |/t + a',^' + ^'»
nommant ces ooâiiiu^ f^, (>', ^" pour- la première, droite , et w, M^y 11!^ pour la seconde , on aura ç^^^^;/! ^ ^fi% = j ^ ^/i -^ ^^2 -j--^^^ = ï t
et le . cosinus ^ de i'ai^ïe T^'^ des deux droites p sera : ' i ■- . . "^ v •• ^• • '^ ^
Lorsque Tangle /^ est droit ^ cos i^=s o ^ et on a réquation
Si j pour abréger , on nomme k et ^ les deux
radicaux y^i -i-a* + 6* et V^i + a^^ -i- Z? ^ , on a :
Ô==/fC, ^=À/j t=iÀi'«^,
doîi l'on tire :
^-TT» ''^iJ-* *--;;r»
^-IHT' '^-yt^ ^-"Vr-
En substituant ces valeurs de aJj è, a', b^ datiS les équations deS deux droites (i 5)^ elles deviennent :
iKz=:-—z + d'i jr = '-^Z'^^'. a*. droIt«4 u'' u"
De VEquatioh du platî.
t5. L'équation d'un plan èicprîihe niid t^* laiion entre les trois coordonnées d'un poiiit
tîe ce plan. Lorsqu'une surface telle que le plan , est prolongée indéfiniment dans tous les sens , Il n'y a aucun point de l'un des trois plans coordonnés , qu'on ne puisse considérer comme la projection d'un point de la surface; d'où il suit qu'aux deux coordonnées a:, y d'un point d un plan , correspond nécessairement une troisième coordonnée z^ quelles que soient d'ailleurs les valeurs de a: et y.
On suppose qu'un plan soit connu , i<*. par l'ordonnée du point du plan, situé sur l'axe des z , et nommons cette ordonnée c ; 2**. par les tangentes des angles , que ses traces sur les plans des ocz et des yz , font avec le plan des acy ; désignons ces tangentes par les lettres Jl et Bp l'équation entre les trois coordonnées Xj y j z d'un point du plan sera :
En effet, ce plan aura pour traces sur les plans des ccz et des yz , des droites dont lea équations sont , pour la première :
et pour la seconde droite :
Ces deux droites passent par un point de l'axe
(ai)
des Zy dont la distance à l'origine des coordonnées est égale à c.
Supposons que la première droite se meuve parallèlement à elle-même, étant dirigée dans son mouvement par la seconde droite ; concevons , par un point quelconque du plan que la trace mobile parcourt , deux plans , l'un perpendiculaire à l'axe des oc , et l'autre perpendiculaire à l'axe des j. Le premier de ces plans cQupe la trace mobile en un point, pour lequel on a les équations :
et le second plan coupe la trace fixe en un autre point pour lequel on a :
Désignons ces deux points par les lettres p et p^ ^ et nommons P le point du plan par lequel on a mené les plans perpendiculaires aux axes des oc et des jr.
Le point p de la trace mobile s'élèvera audessus du plan des ocy jusqu'à ce qu'il ait atteint le point P du plan -, or , dans ce mouvement , il s'élèvera parallèlement à l'axe des z^ de la quantité Bj- ^ différence de l'ordonnée du point p^ et de l'ordonnée c à l'origine ; d'où il suk
que l'ordonnée totale z sera formée de la quan-* tité ^ar-f-c augmentée de Bjr^ on am^a donc réquatiou
i6. Les points où le plan de l'équation (i), coupe les axes des a: et des j* étant connus , en pommant a, b les coordonnées de ces points,ou aura évidemment (le rayon des tables , étant i) ;
Substituant ces valeurs dans l'équation (i), (art, i5), on aura :
et comme on peut supposer les valeurs de a:
et y positives ou négatives , on peut écriro celte équation de la manière suivante ;
