OU
(a) ècx -f. aey + abz = ofc i
Cette équation (2) , plus symétrique que l'équation (i), sera d'un usage plus général que celleci* Désignons les quatre produits abc^ bc^ac çt ab par les quantités coastautes K^LyM^N^
dont trois seulement sont nécessaîres j substituant ces valeurs daus l'équation (2) , elle devient :
Lx + My + Nzs=: K.
Dans chaque cas particulier , on détermine le$ constantes Ly Mj Ny K du plan, d'après les conditions qui fixent la positioix de ce plan par rapport aux axes des coordonnées. Par exemple , dcmande-t-on l'équation d'un plan parallèle au plan des yz : pour tous les points de ce plan , on a a: = constante , quelles que soient les valeurs de ^ et de 2 j faisant donc M=zOy iV= o , la valeur constante de a?
est -y-«
Lorsque le plan passe par l'origine des coordonnées , on a if = o ; et l'équation du plan se réduit à la forme :
Lx + My + iVr =L o.
1 7. De l'équation du plan^a:-|riï:^'+iVi;=iir, 'on tirera les équations de ses traces sur les plans des xz et des yz^ qjx faisant successivement j = o , or = o.
Soit, i». j-zno, les équations dç la trace sur le plan des pfsfi
seront :
Soit , 2^. a: = o, les équations de la trace sur le plan des j-ss seront :
My + Nr s=: K ^ 00 :=r o.
Des équations de ces deux traces on pourra yçvenir à Tcquation du plan ; en effet , les équa* tîons d une parallèle à la première trace ^ 5eront (6) :
L'équation de condition qui exprime que cette parallèle rencontre la seconde trace donnée •ur le plan des j-z, sera :
Regardant la parallèle à la première trace eomme la génératrice du plan , les équations de cette génératrice, dans une position quel-« conque ,. dépendant de fi^ seront.:
L K — Mfi
éliminant jB entre ces deux équations , l'êqualÏQQ du plan» déduite des équations de sos>
(a5) craces sar les plans des xz et des jx , sera :
lx + My + Nz = K.
i8. L'équation du plan étant linéaire entre les trois coordonnées ac^ j-, z d'un point de ce plan , la ligne commune à deux plans est nécessairement une droite ; d'où il suit qu on peut définir le plan une surface sur laquelle on peut tracer une ligne droite dans tous les sens.
Soient les équations de deux plans :
Lx *4- My + Nz =iK ^ pour le premîerf
et
L'x + My+ N'z = AT', pour le second.
en éliminant successivement oc^ y^ a , on déduit de ces deux équations , trois autres équa* tions dont chacune ne contient que deux coor* données , et qui appartiennent aux projections de la droite d'intersection des deux plans , sur les trois plans des coordonnées.
Deux plans parallèles ont des traces parais
lèles sur les plans des coordonnées; les re«
lations entre les constantes des équations des
deux plans, qui résultent de ce parallélisme ^^
» sont (7) :
N ~ N' ^ N '^ Nf'
Problèmes relatifs au plan.
Probl. I,
19. On demande les équations d'un plan qni son parallèle à un autre plan donné , et qui passe par un point connu ?
Solution. Soient a', ^', z^ les coordonnées du point dont la position est connue ; . .
^a: + By •+• Cj3 — D = o réquatîon du plan donné , Lx + Mf + iV^ — K =z o Téquation du plan demandé.
Des quatre constantes L , iW, Ny Kj on détermine d*abord la quatrième K d'après la condition que le plan passe par le point donné. Pour ce point, les coordonnées oc^ j^ z du pian demandé deviennent oc^yj^ 2' j donc on a :
et en retranchant cette équation de la précédente :
L {X - x^) + M {y ^y) + N iz ^ z^^ =zo ,
le plan donné et le plan demandé étant parallèles , on a ( 1 8) :
(27) Substituant ces valeurs dans la dernière équation , elle devient :
yf ( « ~ :c ' ) + 2? ( y — y ' ) + C ( z -. z' ) = o ,
équation du plan qui passe par le point donne , et qui est parallèle au ^ltm^a>{-Bj^Cz — Z)~ o.
Probe. II.
20. On demande Tcquation d'un plan qui passe par trois points donnes dans l'espace?
Solution. Soient les coordonnées des points donnés , a:' , ^' , js' pour le premier point , ac^^^y^yZ^f pour le second, x^ii^jfff^z^ff pour le troisième^ l'équation du plan demandé sera de la forme
Les coordonnées ^r, ^, z d'un point quelconque du plan devenant successivement celles des points donnés , on aura évidemment les trois
équations suivantes :
La/ + Mf +Nz' = K , lxf+Myf+Nzffz=zKj Lx"i+ My"+ Nzf"= K ;
:xy y ^y • i 1 , L M N^
a ou 1 on tirera les valeurs de -tt" ? ir ? -rr ?
ce qui donne :
JV^=y ( a?w — x'' ) 4.y«^(x'— x'") + r"' C**^ — «')>
( Pour effectuer ce calcul , on suppose
-j=- ^= / > -jp- = m , -jj^ = 71 , et par les méthodes connues de rcllmination » on obtîencka les valeurs de /, m, ti. )
31. Substituant ces valeurs dans l'équation du -phn Lx'^Mj+NzzzzK ^ et mettant cette équation sous cette forme :
on en déduit le théorème suivant^ de M. Monge ÇJoum. de r École ^ i4*. cahier) :
•r Un plan quelconque étant rapporté à trois plans rectangulaires , et étant donné sur ce plan un triangle quelconque rectiligne dont on ait les projections sur les trois plans rectangulaires j si Ton considère un point quelconque de ce plan , la somme ou la différence des solidités des trois pyramides qui ont ce
point pour sommet commun » et dont les bases sont les trois projections du triangle ^ est égale à la pyramide unique qui a pour base le triangle lui-même , et dont le sommet est à Torigine. » ( Les signes des coordonnées des sommets du triangle déterminent les signes des solidités des trois pyramides qui ont leur sommet en un point du plan du triangle.)
Soit T le triangle , et ^ , ^' , t^^ ses trois projections sur les trois plans rectangulaires des jrz , des arz , des acy , auxquels on a rapporté le plan du triangle. Nous allons d'abord démontrer , i®. que les aires des triangles ^ , £^ , t^^ ont pour expressions les quantités
L M N . , . . ï jT , — , — j 2«. que la quantité -r A est
le volume de la pyramide qui a pour songnct Torigine des coordonnées , et pour base k triangle T.
22. KXy KY, KZ étant (fig. 4) les trois axes rectangulaires auxquels on rapporte le triangle T, supposons i**. que ce triangle soit projeté sur les plans des j*z, àes xz ^ des œjr suivant les triangles «13 9., «'jôV, «'^i^^V^j dont les aires sont respectivement t, f', f^' j 2*. que les coordoi^inées des sommets «^P,^ ; du triangle t
soient y, %^ pour le premier ^ ^", i" pour Ifc second, j^^\ z'/' pour le troisième •
La valeur de — — se compose des trois quan«
titcs suivantes !
^y[z^ --y^z' \ fyflz^if^yfftff\ /y'ir"'— yr'\ ^
or , on a vu (i i) que « .— ^-^ est l'aire
du triangle KttfL qui a son sommet au point K origine des coordonnées > et pour base le
côté cjS. De même ^ * — est Taira
du triangle K^y ; « • ^"^ ■ •■• ■ •■ "■ est l'aire
du triangle Kay) or , le triangle ti^y est o£[al à la somme des deux triangles Ka^ , Kp^y diminué du triangle Kity , c'est-à-dirè
a la quantité — L : donc on a < == - — =•
On démontre de la mcme manière que les nires t^ et t^^ sont égales aux quantités — M^
•— iVj d'oii il suit que le premier membre
de réquation (i) de l'art* précédeixt est la
(Sx)
somme de iroJs pyramides , qui ont pour sommet commun , un point du plan du triangle T j et pour bases les triangles t ^ t* ^ t'\ projections du triangle T sur les trois plans rectangulaires.
La quantité -— K qui est le second membre
de cette éqnalîon (i) , (21^1 , est le volurhe de ia pyramide qui a son sommet au point K^ et pour base le triangle T.
En effet, soient (%. 4) Kcc^y, KJ^^yf ^ KcJ'^'^y^^ les trois projections de cette pyramide sur les trois plans rectangulaires des j'5, des xz^ des â:y. De ces trois projections, une quelconque, par exemple, celle du plan des yz a poiir limite le quadrilatère K«t^y^ qui correspond au quadrilatère formé dans l'espace par quatre arêtes de la pyramide. Ce dernier quadrilatère divise la pyramide en deux parties , dont chacune est terminée par deux systèmes de triangles; le contour des triangles du premier système se projette suivant les cinq lignes pleines K<t , ^jô', p^y , Ky ^ tty ^ et celui des/ triangles ^du secojid système se projette suivant les quatre lignes pleines Ko. ,
«tjg , ^y y.J^^y.i A^ la .%^^ ponctuée K^^ or, si Ton considère • les prismes tronqués qui
ont pour bases les projections des faces de la pyramide, et pour arêtes les lignes par les-quelles on projette ces mêmes faces ^ on verra que les deux systèmes de prismes tronqués qui ont pour bases les unes les deux triangles Kety y tt^y 'y les autres, les deux triangles /TfltjS, K^y ne différent eii volume que par la pyramide qui les sépare j ensorte que la solidité de cette pyramide est égale à la différence des solidités des deux systèmes de prismes tronqués. Mais le volume d'un prisme est égal à la section faite perpendiculairement à ses arêtes , multipliée par le tiers de la somme de ses arêtes ; de plus , les arêtes des deux sys* témes de prismes tronqués sont parallèles à Taxe des x , et ont pour longeurs les abscisses a:', jp'^j ocf^' i d'oii il suit qu'on aura 1 équation suivante.
Le volume de la • pyramide est égal a :
triangle ufiy x( - — ' — ^ \
+ triangle Ko, y f ■ J
- » f^ / *' + «^/ \ — tnangle Kafi ( x 1
~ triangle Kfiy ( * j*
Mettant dans cette équation , les expressîoiisl des aires des triaugles et fi y ^ Katy }' Kit fi ^ Kfiy , on a pour le volume V de la pyra**' mide >
yl^l
yv
x' -|* jp^ 4- A
/ O?' -f- jc/^ N
if 4- x'"
.■il -* !■ »
Rcctuisaut , on a :
it'
jV^O-^
Comparant cette valetif à celle dé ^ K ( art. 20 ) , on reconnaîtra qu elles sont identiques j d'oti il suit qu^on â i /^== — K, Cd
qui démontre le théorème de l'art, ai , rca-*
fermé dans cette équation (i) du même article,
Problèmes relatifs à la Ugne droite et au plan.
PnOBL. I.
35. Étant données Jes coordonnées d'un point , et les équations d'une droite , trouver Téquatioa du plan qui passe par la droite et le point ?
Solution. Soient a:', j^^ J les coordonnées du point ,
a: := tf r 4- et » \
yz=ibz'-\-fij > hi8 équations de la droite ;
le plan dont on demande l'équation passe par le point donné, et de plus par le point où la droite donnée coupe le plan des œj^ point 4ont les coordonnées sont :
Si on suppose que ce plan ait pour équation : 0a aura :
Ramênam la droîtfe et le plan parallèlement h eux-mêmes jusqu'à rotîgine dus coordonhéés , leurs équations deviëndrotit , pour la droite :
et pour le plan :
z sz= Lx -4- My ;
or , dans cette nouvelle position , la droite est encore contenue dans le plan ; donc on aura :
(3) I = Xa + Mb.
Les équations (i) , (2) , (5) donneront les valeurs de L^ M, N, et Féqualion .....
z = Lûc + Hfy --j- N deviendra :
PROBL. II.
:24. Etant données les coordonnées d'un ^oint et les équations de deux droites , trouver l'éqUation du plan mené par le point , parailèlemeat wa deux ^îiei?
Solution. Soient a^ ^ /', ^ les coordonnées du point donné -y x = az^A , j zrzbz^^ fl les équations de la première droite donnée 5 a: =i a'z + ûJy ^ =: b^z-h fi les équations de la seconde droite^ s = La:+itf^-{-iV l'équation du plan démandé; on détermine la constante N par la condition que le plan passe par le point donné ^ij'i :s^, et réquatîon de ce plan devient:
Pour que ce plan soit parallèle à la première droite , on a (2 3) Téquation de condition :
1 = £a -|- Mb.
La condition d'être parallèle à la seconde droite est exprimée par Téquation
Tirant de ces deux dernières équations les valeurs de Z; et de it/, et les substituant dans l'équation (i) , on aura pour Féquation du plan demandé :
PllOBL. IIL
•^' a5. jEtant^ données les équations d'une droite et celle d'un plan, tvouver les conditions qui
expriment que la droite, est perpendicuTairè au plan ? . .
Sqlution. Soient a: ^= izjs +• « , yzrzhz-^^l^ les équations d'une droite , et z= ^a:-|-.6j-+-C, Téqualion d'un plan.
Lorsqu'un plan est perpendicuL ire à une droite , les traces du plan sur les plans des coordonnées et les projections de la droite sur ces mêmes plans , sont ( Géom . descript. j art. i6, Supplément ^ art. 21 ) perpendiculaires entre elles. Le plan donné a pour trace, sur le plan des xz, la droite représentée par l'équation J5 = ^a:4- C : elle est par hypothèse perpendiculaire à la droite a? = az-f- «t^ pour que ces deux droites soient à angle droit , on a réquation de condition ^4=: — a. En raisonnant de la même manière par rapport à la trace J5 = i5^+C, et à la droite ^ = fc-+-j3, l'équation B =: — 6, exprime que ces deux droites sont perpendiculaires entre elles ^ d'oii il suit que les deux équations -df = — a ^ JB = — bj ont lieu en même tems , lorsque la droite et le plan sont perpendiculaires entre eux. Mettant ces valeurs de ^ et B dans l'é- <juation du plan z = Ax + Bj -4- C , on a pour l'équation d'un plan perpendiculaire à la.
( 59 ) droite j^o^ t^^ œ + « , j- = &s+4):
tpus les plans dont l'équation ne différera de celle-ci que par la constante C, seront per-' pendiculaires à la même droite.
PROBL. IV.
a6. Étant données l'équation d'un plan et les coordonnées d un point , on demande , M^'. les équations de la perpendiculaire abaissées du point sur le plan } 2^. les coordon-* nées du pied de la perpendiculaire ; 3*. la longueur de la perpendiculaire?
Solution. Soient z=zAa:'^Bj-^C Féquatîon du plan donné, et oq^x /'> ^' ^^s coordonnées du point d'où l'on abaisse une perpendiculaire sur ce plan. Soient de plus . .
a: = n2 + a, j- = &z-+-i8 les équations de la perpendiculaire. Puisque cette perpendiculaire doit être menée par le point a/, y^ yz\ on doit avoir :
de plus , les constantes A et ô sont (art. précédent) égales aux constantes du plan — A ^ — ;fi ; d'où il suit que les équations de la
(59) perpendiculaire au plan mené par le poîat donné , sont :
Combinant cette équation avec celle du plan (3) x=iAx + By + Ù,
on obtiendra les valeurs des coordonnées Xjj-^z du pied de la perpendiculaire.
Ayant mis Téquation (5) sous cette forme :
on y substituera pour a: — oc' et j- — y leurs valeurs tirées des équations (i) et (3), et on aura :
Pour distinguer les coordonnées du pied de la pei^endiculaire , désignons-les par lès lettres Xf y y Z , cette dernière équation donne pour z qui se change en Z , la valeur suivante :
^==^+ — r+2^qrm —
Les valeurs àe ce éi jr qui se changent dans les équations (i) et (2) en -X"et K, deviennent-:
Y. B{C + Ax' + Bf^z^^
La longueur de la perpendiculaire comprise entre le point -ST, 1^, Z et le point a/, j^ ^ «'
est (8) : ^
ou
Lorsque le point d'où Ton abaisse la perpendiculaire est à l'origine des coordonnées, on a a:' = o , J-' = o , a' = o ; et la longueur do la perpendiculaire a pour expression :
y/i^^>^fi»
Probl. V,
:37. Ayant les équations d'une droite et leâ coordonnées d'un point, trouver, i^* l'équation du plan mené par le point perpendiculairement à la droite, ^®. les équations de la perpendiculaire à la droite menée par le point donné ; 5®. les coordonnées du pied de la perpendiculaire ?
Solution^ Soient ocf^ y^ z^ les coordonnées du point oc=iaz-^ùL, ^^lèz+i^, les équations de la droite donnée, Oai^ démontré (a5)
qu'un plan perpendiculaire à celte droite avait pour équation aoc-^bj^z^iC. Déterminant la constante C d'après la condition que le plan passe par le point œ^ ^ y ^ z^; l'équation de ce plan sera :
On a trouvé (^S) pour l'équation du plan qui passe par ce point et par la droite :
(^) (x-«o (^y^hz'—fi) + (y-y) (x'-^r— «) + (z-r'){K*'-*)--(y-/8)f=o.
La perpendiculaire abaissée du point a:(,j'', z' sur la droite donnée est Kutersection des plans menés par ce point perpendiculairement à là droite, et par la droite même; donc les équations (i) et (2) sont celles de la perpendiculaire.
Pour trouver les coordonnées du pied de la perpendiculaire (;r = az-j-fit , ys = èz-j-jQ ), mettons les équations de cette droite sous la forme :
y—y = b(^z — z') +/5-^y '\-bz*.
Substituant dans l'équation (1) ces valeurs de X — xf et y -— ^' , on aura :
DésigBOBS par X\ V\ Z^ les eôordoaiiées 4a pied de la perpendiculaire , z se change , dans celte dernière équation ^ en Z^ y et on a, après aivoir réduit :
Ijes équations de la perpendiculaire donnent :
Quant à la longueur de la perpendiculaire coaiprise entre le point JC', y, Z' et le point donné ^^ ^^ 2^ elle a pour expression :
<Kt
Lorsque la droite passe par Forîgine des coordonnées > on a « = 0, j3 = o, ei ia longueur de la perpendiculaire devient :
Dans la même hypothèse où la droite passe par Forîgine des coordonnées , la partie de cette droite comprise entre l'origine et le pi^ed de la perpendiculaire , a pour exprCvSsion :
Piton. Vï.
âS. Étant données les é({uatîon8 ie deux plansL, trouver l'angle que ces deux plans font entre eux?
Solution. Soient les équations données :
Lx -|- My -^-Nz = iST , pour le premier plant
i'a? -}- My + ^^^ = ^\ V^^^ "^ second plan*
Si , par Torigine des coordonnées , on conçoit deux droites perpendiculaires aux plans donnes , l'angle de ces deux droites sera évidemment égal à l'angle des deux plans; lés équations de la première perpendiculaire sont {2S) :
Nx — i;^ = o , Ny — Mz c= o.
La seconde perpendiculaire a pour équatips^ :
mais le cosinus de l'angle formé par ces droites,
est (i5) : *
LL'+MM'+NNf i« ■ ■■ ■ ■ ;
donc , cette quantité est aussi Fexpressîon du cosinus de l'angle formé par ces deux plans«
Lorsque , des deux plans donnés , le second se confond avec l'un des trois plans des coordonnées, deux ^ts trois constantes L', M, W deviennent nulles ; d'oii il suit que les cosinus des angles qu'un plan fait avec les trois plans des yz , des ocz , des xy , sont :
L M ' JS
désignant ces trois cosinus par les lettres i/, i/, «^^, la somme w* + w'* + £/'* des carrés de ces trois cosinus , est évidemment égal à l'unité. Celle équation est une conséquence dune proposition déjà démontrée (i4)j caria perpendiculaire ati plan menée par l'origine , fait , avec les axes des coordonnées , des angles égaux à ceux que le plan déterminé par les constantes L, M^ iV, fait avec les plans des coordonnées j et on a vu (i 4) qu'en ajoutant les carrés des cosinus des angles qu'une droite fait avec les trois axes rectangulaires , la somme était égale à Funitc.
Nommant f', i^\ i^^ les cosinus dés angles
que le second plan forme avec les plans des
jZy des œz ^ des xy ^ ou aura de m^me . •
^%j^^ujl^^Uz z=zi ^ ei le cosinus de l'angle des
deux plans' sera :
cosinus de l'angle des deux plans = »e -J- uV+ u^9^m
Probl. vu.
39. Etant données les équations d une droite et d'un plan , trouver l'angle de la droite et du plan ?
Solution. Soient les équations de la droite:
»« — /z = I , ny — mz = k ,
et prenons pour Téquation du plan donné :
Lx + My + Nz^=zK\
l'équation du plan mené par l'origine des coordonnées perpendiculairement à la droite donnée , est (a5) :
Ix -f- my -J* w;? = o.
Or, ces deux plans font entre eux un angle qui est le complément de l'angle formé par la droite et le plan donnés j donc, le cosinus de l'angle des deux plans , ou le sinus de l'angle demandé, est (28) égal à
Ll + Mm + JVti V/X' + M* + iV» v/'' + /7i'+ /i»
Nommant w, u\ u!^ les cosinus des angles qua la droite donnée fait avec les axes des oc , des j, dos J5 , et V , f ' , v^' les cosinus des angles que
le plan donné fait ayec les plans des y% » des xz^ iits xy , le sînus de Tangle que la droite et le plan font entre eux , sera (i4) et (a8) :
PRORL. VIII.
5o. Deux droites étant données, trouver, i^. les équations de la perpendiculaire sur lamelle on mesure leur plus courte distance; a**, la longueur de cette perpendiculaire ?
Solution. On démontre ( Géorh. descrip. , art. 5i , Supplément y art. 25) que, quelle que soit la position des deux droites données, on peut , par un point quelconque de Tespace , mener un plan parallèle à ces droites. Supposons ce plan connu , et par chacune des deux droites données , menons un plan qui lui soit perpendiculaire. On aura deux plans dont chacun contiendra la perpendiculaire aux deux droiteir données ; d'où il suit que les équations de ces plans seront celles de la perpendiculaire.
Pour avoir la longueur de la perpendiculaire , qu'on imagine par les deux droites » deux platis parallèles à-la-fois à ces droites et pinacles entre eut; ayant abaissé» d'tin poût
qntelconque de Fespace , par exemple de Forîgine des coordonnées , une perpendiculaire sur les plans parallèles , la portion de cette perpendiculaire comprise entre les plans , sera la plus courte dislance des deux droites données.
3i. Soient les équations des deux droites dominées :
9 = a^z + «S ^ ^= ^^^ + /^% pour la seconde.
Ces deux droites rencontrent le plan des xy en deux points qui ont pour coordonnées Fun j8 = 5 a:==ât,/=^, Fautre j5=o, œ-=Lj^ yz=.ff. Désignons ces points par les lettritt Pet F.
Les plans menés par les points P'eX P parallèlement aux deux droites données sont (24)::
Les perpendiculaires à ces plans parallèles^ menées par les points jP et P', ont pour équations :
l'une X rs Az + «, jr = flir-}-/l,
l'autre a: = ^* -f- «% y:zzBz^f^£
«h £aiisam ^ pour abréger :
La première de ces perpendiculaires , et la première droite donnée , qui ont un point commun P, déterminent le plan qui contient la perpendiculaire aux deux droites j Téquatlon de ce plan est (a3) :
z iaB^Jb) = (5 — 3) (x— «) + (a — ^) (y— ^)*
Pour obtenir celte équation , il faut , dans l'équation (3) de Fart. 24 , substituer aux coordonnées ^^fj'^j ^', celles du point P(«, jS , o), et mettre ^ et jB à la place de a' et l/.
La seconde perpendiculaire et la seconde droite donnée , qui ont un point commun P', déterminent un plan dont l'équation est (aS) :
* (afB-^Ab') = (5-30 (x— aO + K— ^) (^—iSO.
Substituant les valeurs de ^ et de i? dans ces deux dernières équations , On aura , pour les équations de la droite perpendiculaire aux deux droites données :
(ar-.*'){ûrû'+3'(û3'-a'3)} . \ —
+{y'>^')[b-b''-a\ab''a'b)} -z{a'>-a')+i'(*-3')} J ^^*
La seconde de ces équations, aurait pu se dér
( 49 ) âuire de la première » en y changeadt i
tàfbja^fi en afj 3% «e% fi\ et a', ¥ cii a et h.
Z2. Si , de Torigine des coordonnées , on abaisse une perpendiculaire sur chacun des plans (^)(^) (art.Si) parallèles aux deux droites données , ces perpendiculaires ayant même di* rection , se confondront , et leur didcrence ^ qui sera la distance des deux plans , sera égale à la plus courte distance des droites données i mesurée sur la perpendiculaire à ces droites 4 Lies pêrpendiculail*es aux plans des équations (e) (ef) (art 4 5i) , Ont (riG) pour expressions , iWe 2
Tautre :
dont la diflfcrencé est i
Lorsque les droites se rencontrent, cette diifcrence est nulle , et on a l'équation déjà tt'ouvée ( 7 ) ) qui exprime que deux droites se coupent :
33. Lorsqu'on suppose que la direction des deux lignes droites dont on demande la plus courte distance , est donnée par les sinus des arDgles que ces droites font avec les axes des coordonnées , alors les équations de ces deux droites deviennent (i/\)'
« = — T-r-|-», jrzrz-^z^fif pour la X". droite^
et
X = — j" J^ •+• «'f J^ = —y ^ + i8'. pour la a«. droite ,
De ces trois cosinus i' , »^, ^" , et m , w', v!^ des angles que les droites données font avec les axes <Ies œ, des j^, des z, deux seulement sont nécessaires , a cause des équations (14) de condition :
Substituant , dans Texpression de la plus courte distance, pour a, t, a', b' ^ leurs valeurs
"TT^ ^77 > — r> —77, elle se change en celle-ci:
çff ç'f u^i IV* ' o
(^^«') {ç^ufl'^çfff/) — (^ — /3') {vuff—v^u)
Nommant ^ l'angle des deux droites données , ou plutôt des parallèles à ces droites menées par un point quelconque de l'espace, on a (1 4) •
cos J^= vu + 9'u* -f- y^^uf^ )
substituant celte valeur de cas /^, et ayant cgard aux équations de condition , la plus courte distance des deux droites devient :
yffuff sin ^ ^
expression dans laquelle f^ est la mesure de Tangle que les deux plans menés par les droites données et leur plus courte distance , font entreux.
$. II
De ta Trigonométrie sphèrique.
34. Un triangle sphérique est une partie de la surface d'une sphère comprise entre trois arcs de grands cercles tracés sur cette sphère. Les plans de ces grands cercles forment une pyramide triangulaire, dont le sommet est au centre de la sphère, et qui a pour base le triangle sphé^ rique. On nomme les angles que ces plans iont entre eux angles du triangle sphérique , et on prend pour côtés de ce triangle , les arcs de grands cercles qui mesurent les angles formés par les arêtes de la pyramide.
Des six angles formés ou par les plans des grands cercles ou par les rayons de la sphère ^
ifaiersections de ces plans , trois étant donnés ^ la trigonométrie sphérique a pour objet de déterminer les trois autres.
La perpendiculaire abaissée du sommet d'un triangle sphérique sur le CQté opposé à ce sommet 9 est un arc de grand cercle dont le plan est perpendiculaire à celui de t^e grand cercle. Dans la pyramide triangulaire qui a pour base le triangle sphérique , cet arc mesure l'angle qu'un rayon arête de la pyramide fait avec la face de la pyramide opposée à cette arête , ou autrement , l'angle d'une arête de la pyramide et de la projection de cette arête sur la face qui lui est opposée. Ainsi , dans un triangle sphérique ou dans la pyramide qui a pour base ce triangle , il y a neuf angles à considérer , savoir : les trois angles des faces , les trois angles des arêtes, et les trois angles des faces et des arêtes.
55. Lès plans qui forment le triangle sphérique ou la pyramide triangulaire étant prolongés indéfiniment , il est évident que les angles de là pyramide ne changent pas. Ainsi les relations entre les lignes trigonomé triques de ces angles sont indépendantes du rayon de la sphère sur laquelle on considère le trianglo
ftphérique. Mais l'aire de ce triangle dépend évidemment de la grandeur du rayon de la sphère à laquelle il appartient. Nous allons d'abord résoudre cette question : <r Connaissant les angles d'un triangle sphcrique, et la gran* deur du rayon de la sphère sur laquelle il est tracé , trouver l'expression de l'aire du trian-^ gle?j» (Par angles ^ on entend ceux que les pians des trois côtés du triangle font entre eux. )
De VAire d'un triante sphérique.
56. La suriace entière de la sphère est équivalente à l'aire de quatre grands cercles de cette sphère. Prenant le rayon de la sphère pour unité, et 9r pour la circonférence de l'un de ses grands cercles , :3 tt (ou huit angles droits ) sera l'aire totale de la sphère. Qu'on imagine cette sphère découpée en fuseaux par des plans passant par un diamètre de cette sphère : deux quelconques de ces plans comprennent entre eux un fuseau^ dont l'aire dépend évidemment de l'angle compris entre ces deux plans. Sup* posons cet angle mesuré par un arc A du grand cercle m. Les aires de la sphère entière #t du fuseau , sont dans le rapport de v kA^
On ^ doûc la proporlîon :
w l ji II 29 surface entière de la sphère ! aire du fuseau ;
d'où il suit que 2j4 est l'expression de l'aire de ce fuseau. Cela posé, considérons le triangle sphértque -<^fiC (PL i, fig. 5), dont un côté ^B^ est un arc du grand cercle ABB^ qui partage la sphère en deux parties égales , l'une au-dessus, et l'autre au-dessous du plan de ce cercle.
Soient ACA\ BCB'^ les deux autres grands cercles. Les plans de ces trois grands cercles comprennent entre eux trois fuseaux. En comparant les aires de ces fuseaux à Taire de Fhé- ^nisphère supérieure, on voit que cette hémisphère est composée i^. du faseàu Jlji^BC^ti^. du fuseau BB^AC diminué du triangle sphérique ABC , 5°. du fuseau CC^AB^ diminué du triangle sphérique A^B'C^ ^ dont l'aire est égale et opposée à celle du triangle ABC : or, A^ B^ C étant les angles donnés du triangle sphérique , les aires des trois fuseaux AA^BC ^ BffAC y CC'A^B^ sont respectivement 2-^, nB^ aC Donc nommant T l'aire du triangle sphérique donné , et se rappelant que v est Taire de Thé** xnisphère> ou a Téquation suivante :
tfoii l'on tive ;
c'est-à-dire que Taire d'un triangle sphériqûé tracé sur une sphère dont le rayon est l'unité ; est l'excès de ses trois angles , sur deux angles droits, la sur&ice de la sphère étant huit angles droits.
De VAire d'un polygone sphériqiie qui n^a point d'angles rentrons.
37* On suppose qu'un polygone sphcrîque a
pour cotés des arcs de grands cercles delà sphère
3ur laquelle.il est tracé. Ayant pris un point
à volonté dans riotcrièur du polygone., iner
nonsp par ce point, le centre de la sphère;
et les sommets des angles du polygone, une
suite de plaus qui divisent le polygone eisi
autant de triangles sphériquçs qu'il y a de
cotés. Là somme des aires de ces triangles est
,(.art. précédent) égale à l'exaès de la somme de
tous les anglies intérieurs de ces triangles sur
deux fois au(a|it d'a;çigles droits (ju'il ^ a de
triangles ou de côtés dans le polygone ; mais '
la somme de ces angles intérieurs ^se^ çi^pa-
pose des axïgles qui .o^t pow: sommet rcommusâ
J[e point |ir:is dans l'intérieur du polygone, dt
dont la somme est de quatre angles droits , et de tous les angles intérieurs du polygone ; donc ^ si y de la somme des angles intérieurs ^Un polygone sphérique, augmentée de quatre angles droits , on soustrait deux Jois autant • d'angles droits qu'il y a de côtés dans le poljgone , la différence est l'expression de Taire du polygone sphérique.
38. Problème. Déterminer en combien de manières on peut couvrir la surface d'une sphère avec des polygo^es égaux et réguliers ?
Solution (*). Soit x le nombre des côtés de l'un des polygones réguliers qui recouvrent la sphère , j le nombre deé angles qui s'assemblent autour d'un même point, et z le nombre des polygones. Désignant l'angle droit par \/i^ , la surface de la sphère dont le rayon est l'unité
est (36) 8u^, et celle dij polygone régulier -^-r^^.
Or , l'aire du polygone est (57) , en appe^ lant S la somme de ses angles intérieurs :
(*) Cette solution cle M. Laplace est i^objet d'une leçon dpnne'e en lygS , à l'ancienne École normale. Çiff^yPTt le Jaurnal ife V Ecole Polytechn. , cahiers 7 t\ 8 J«
donc on a :
jnais le nombre des angles intérieurs du pOr lygone est égal au nombre dés côtés de ce polygone ; donc chaque angle intérieur est :
SA slA {x—^)
xa.
jr étant le nombre d'angles qui s'assemblent autour d'un même sommet du polygone sphé* rique , chaque angle intérieur est encore égal a quatre angles droits divisés par y ; on aura donc l'équation ;
SA 2.A(^x — a) /^4
xz X y ^
ou
yr (a? — a) + 4j^ = aa:r,
équation indéterminée dans laquelle ccy y, z sont des nombres entiers positifs qui ne peuvent pas être plus petits que trois.
Sg. Quoique cette équation renferme trois variables » elle ne peut être satisfaite que de huit manières. Elle donne pour ^ la valeur suivante :
Cette expression fractionnaire étant nécessairement positive , il faut que le dénominateur soit positif , ce qui donne : x(jr — ^ ) < ^Jf t
on x< — -i^ — , ou enfin a: < 2-4- ■ '
Mais la plus petite valeur de j esc 5 ; d'où ii
suit que la plus grande valeur de a -j y
jr 3
ou de a: 9 est a + 4 ^^ 6* Cherchons maintenant les valeurs de z et de j^ qui correspondent aux nombres 5 , 4 9 ^ » ^ > ^^î ^^^^ les seules valeurs possibles àt se.
\^. a?r:= 3 , auquel cas le polygone sphcrique est un triangle sphérique équîlatéral.
L'équation (£) donne :
On voit par icette équation qu'on ne peut |>rendre, pour la valeur de j", que l'un des noml)res 5,49^9^»^^ 1^^ ^^^ valeurs de z correspondantes à ces nombres , sont : 4 » ^ > ^o , «t l'infini ; 'd'oii il suit qu'on |»euc recomrrir la sphère avec quatre , pu liuit ou vingt, on une infinité de triangles éqnilaiéraux.
2». Supposons le^ polygone sphérique de quatre côtés , ou a: 5= 4-
(59) La TaleUr de z , donnée par l'équadoxi ( J?) , est :
On ne peut prendre , pour la valeur de j ^ que Tun .des deux nombres 3 et 4 9 auxquels correspondent > pour les valeurs de js , le nombre 6, et rinfîni. On ne peut donc recouvrir la sphère qu'avec quatre quadrilatères spbériqucs finis , ou avec une infinité de ce^ quadrilatères dont chacun est un infiniment petit.
5o. On suppose le polygone sphérîque d^ cinq côtes , ou a: = 5
On tire de l'équation {£) :
10 — iy
On ne peut prendre, pour la valeur dej^, que le nombre 5 , auquel correspond le nombre 1 2 pour la valeur de 2 ; d'où il suit qù'om ne peut partager la smface de la sphère en pen^ tagones sphériques réguliers que d'une seule manière.
4**. On suppose le polygone sphérîque de six côtés , ou a: p= 6.
Prenant dans l'équation (JE) la valeur de % correspoiïdant , on a :
Au nombre 5 , qui est la seule valeur admis*» sible de y , correspond pour % , un nombre infini ; te qui signilSe qu^on peut couvrir la surface de la spbëre avec une infinité d'exagonet réguliers à côtés infiniment petits.
40. Si l'on no considère que des polygones iiniSy on voit que la surface de la spbëre ne peut être divisée que de cinq manières , en polygones égaux et réguliers , qui sont le triangle, le quadrilatère^ et le pentagone, savoir: dune manière par le quadrilatère ou par le pentagone , et de trois manières par le triangle. Lorsque les polygones spbériques sont infiniment petits , on peut les considérer comme des polygones rectilignes , et on a encore trois manières de recouvrir la spbëre , savoir ; avec des triangles , des carrés , et des exagones. En effet , dans ce cas , le polygone doit être considéré comme une très-petite surface plane , et on sait qu'on ne peut recouvrir une surface plane que par ces mêmes polygones réguliers.
La spbëre étant supposée recouverte de po*lygones réguliers , tous les somihets à!^% angles d'un même polygone spQt situés %^ un petit
Cercle de la sphère, et les droites qui joignent, deux à deux , les sommets de ceç angles, forment un polygone recliligne inscrit au petit arc de la sphère. Considérant ce, polygone comnw la face d'un polyèdre, il est évident qu'on aura autant de polyèdres réguliers à faces planes qu il y a de polygones sphérîques qui peuvent couvrir entièrement la surface dWe Sphère j d*où il suit qu on peut former cinq polyèdres réguliers à faces planes : pour trois d'entre eux, les faces sont des triangles , et pour les deut autres ^ elles sont des carrés ou des pentagones.
4** ^^ polygone régulier sphérîqué a un centre. On détermine ce centre en divisant chaque angle intérieur du polygone en deux parties égales par un plan« Deux de ces plans se coupent suivant une droite qui rencontt*e la sphère au centre du polygone. Les arcs de grands cercles menés du centre du polygone aux sommets des angles intérieurs , divisent Faire du polygone en triangles sphériques iso*cèlesi. Des trois angles de lun de ces triangles^ deux sont égaux à un demi-angle intérieur du polygone , et le troisième est égal à quatre angles droits divisés par le nombre de côtés du polygone. On a vu (38) que chaque angle
LA intérieur du polygone est ; d'où il suit
que deux des angles înicrieurs du triangle sont
^ ^ n A éeaux chacun à • Le nombre des côtes du
\A polygone étant :t, — — est le troisième atigle
