OC

du triangle. Connaissant^ dans un triangle sphérique trois angles , on peut ( Géométrie des^ criptis^e , Supplément , art. i ï 4 ) construire le triangle. Ce triangle étant construit , Tare

qui est opposé à Fangle — - , est le côte du

polygone sphérique déterminé par les trois nombres oc^y^ z. On peut aussi calculer ce côté , au moyen des formules relatives aux triangles sphériqucs rectangles , que nous allons faire connaître.

Des principales Formules de trigonoTfiétrie

sphérique.

42. Les relations entre les arcs qui mesurent les- angles et les côtés d'un triangle spbérique , sont exprimées par des équations transcendantes très-compliquées. En substituant à ces arcs leurs lignes trigonométriques > et recherchant

la propricic doùt ces lignes jouissent entre elles , on parvient à des équations algébriques , d'où l'on déduit directement ou par transformations y la solution numérique d'un triangle sphcrique, en faisant usage des tables de logarithmes. On nomme Formules les équations auxquelles on peut appliquer le calcul des logarithmes* La méthode que nous allons suivre pour obtenir ces formules , suppose qu'on ait résolu géométriquement la pyramide triangulaire. ( Voyez Géométr* descript. , SuppL ^ art. io6 — 119- )

Du rapport entre les sinus des angles d'un triangle sphérique et des côtés opposés à ces angles.

43. Théorème. Les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés à ces angles.

Démonstration. Soit (PI. i , fig. 5 ) ABC un triangle sphérique. Joignant les trois points Ay B j C, et le centre O de la sphère par des droites , on forme une pyramide triangulaire OACB qui a les mêmes angles que le triangle sphérique ABC ^ et dont les faces BOC y COA ^ AOB ont pour mesures les

(64) arcs de grands cercles BC , CA , AB j côtés du triangle sphérique.

Supposons cette pyramide développée sur le plan de la face AOB , et soit ( fig. 6 ) ce déve-^ loppement ^ dans lequel les faces BOC'j AOC^ qui ont pour mesures les deux côtés a et h^ sont séparées par la face AOB de la pyramide ou par le troisième côté c du triangle sphérique. Nommons A ^ B ^ C les angles de la pyramide opposés aux faces a^ b^ c : on construit les angles A et B comme il a été dit ( Géométr^ descr. , Supplém. » art. 109). Soient DEG et jyPG ces deux angles , dont les plans CG , OG , perpendiculaires aux droites OA , OB ^ passent par le même point C ou C de Taréte OC ou Oa. Les côtés DG, UG des deux triangles rectangles DEG , D^FG sont égaux par construction. Or, en prenant 0C=^ OCi pour le rayon des tables :

DG r=: sin ^ sîn 5 ; D'G = sin a siti Si

donc

«in ji Mb ss sin sin £ ^ OU

sin A Isin B :: sin a : sin b^

ou , suivant l'énoncé du théorème , les sinus des angles d'un triangle sphérique sont proportionnels aux sinus des côtés opposés à cesangles^

téÈ prôpor&ons résultent des trois ^UilUdiul ^vantes :

tÔ siti Asinhsszmu siti B \

(a) sin jB un r = sin & sio C > (/Q«

(3) tin Cmutsd An fin A j

De rÉquation fondamentate entre tes lignes ttigonométriques des côtés d^uri triangle sphérùjue et d'un angle de ce même triangle.

44- a^hfC étant les trois côtés d^un trian^l0 ^pbérique ^ A Tangle opposé à luti quelconque a de ces côtés ^ on a Téquation :

tos a ss cos ( ces c «j* siil I siii t cbê A.

Soit (fig. 6, PL 1 ) OC ou OC le rpyon dm tables ; OF le cosinus de l^ngle fiOÔ = a , et on a : EG =5 cos A sin b. Ayant mené ES perpendiculaire à OB ^ et Gff parallèle à cette même droite OB » le cosinus OF est la somm<i^ des deux droites OK et KF^ ou OK et Gff}

OKrsz cot t co$ Cf

ÙHssEGm GSHhzÈG siii c^t^ A âin t An et

donc:

(1) OFastùiésBcaêtci9ÊC'J^siniûAeto$Ai

On trouve t de la même maniée # les deux équations suivantes i / (^

(3) €08rss^€Os«ci>st*^smasmlcosCi

Du Triante sphérique supplémentaite.

45. Au triangle spliériqne dont les côtés soût^ a^b,c^ correspond un triangle supplémentaire (voy. Géom. descn , SuppL, art. 107 ) , dont les angles et les côtés sont snpplémens des côtés et des angles du premier. Nommant A^^ B^, C^ les angles de ce triangle supplc* tnentaîre ^ a' ^ V ^ d les côtés opposés aux angles y on a , en supposant la circonférence divisée en 4^0 degrés : '

Le triangle supplémentaire étant ce qu'on a nommé pyramide supplémentaire {SuppL , art.

cité 107 ) , Tangle A' de cêtlô pyramide se mesure dans le plan de la face a de la pyramide primitive ; par la même raison \ c est dans le plan de la face a' de la pyramide supplémentaire qu'on mesuré l'angle A^ car le plan de cette face af est perpendiculaire à i'aréie de la pyramide primitive» qui est opposée à la face a de cette pyramide ^ et les deux droites qui forment la face a' , sont perpen-^^ diculaires aux plans qui comprenneâit Tangle :^'« D'oii il suit que langle A^ étant de ^OQ^'^a\

(6?) Je c6té a! opposé à cet angle A\ est !ioo^ — A\ On démontre de la même màiiière , que les angles B^ y C du triangle supplémentaire étant les supplémens des côtés b et c du triangle primitif y les côtés V y d opposés aux angles B^ y C , sont les supplémens des 'angles B tlC de ce dernier triangle»

46. Les équations (i?) (art. 44) ^y^nt également lieu pour un triangle sphérique quelconque , et pour le triangle supplémentaire qui en dé*^ rive , on peut substituer ^ dans ces équations 1 aux angles a^ by c, A ^ B ^ C dà triangle' proposé, les angles a\ i', c', ui'^ B^j C dvL triangle supplémentaire , et elles deviendront t

j^iy «M. cos A = cos S cosC — sin S sîn C cos tf y ) (a) -**• cos B c= cos -/if cos C — sin ^ sin C cos ^ > / (^) (3) «- cos C a cos^ cos jB •— sin^ sin B cos c. }

47* La valeur de cos c donnée pat l'équa-* tîon (5) (B) (art. 44) étant substituée dans l'équation (i) (B) ( même article ) , on a :

cosa = cosâ cot'i 4" sii> ^ ^°^ cos5cosC «f- sin^sinccos^^

Remplaçant cos* b par i — sin* b, et supprimant le facteur commun sin b , on obtiendra :

. tosa$inbssi-sinaxoiicos:C '{*nin€ QosAi

fttbstituant dans cette équation , pour sm c^ n

sinasinC ^ . , ...

râleur " ■ ' : " : " ■ > donnée par la troisième

des équations (w^) (art. 45)9 elle dertent:

(1) cot tf tin ( = cot AshkC -j^ coêttosCf

et par analogie :

(2) cot A sîn a = cof J? sm C -f* cos a tos C , (S) ^ot tf sin r=r cot yf sîn J3 -f^ cos e cos if, ^ v^/ Ci) cdt c sin a ;^ cot C sinB ^^ cos cos JB ,

(5) cot t sin ^ = cor B sin ^ 4* ^^^ ^ ^^^ -^ v

(6) cot c shi ^ :s cot C stii\/4 -f- cos f cos ^^

Les quatre systèmes d'équations (^)f (B)^ (C), (£?)(art. 45— '4?) I expriment les relations simples qui existent entre les lignes trigonomé* triques des trois cdtés et des trois angles d'un triangle sphérique , et comprennent la solution de toutes les questions relatives à ces six élémens. De ces quatre systèmes d'équations , trois sen* lemant sont nécessaires ; un quelconque se dé duit des trob aittres. Chaque équation de Ton o l'autre système renferme quatre élémens du triangle sphérique 9 en sorte que trois de ces élémens étant donnés, le quatrième sera déterminé.

On a deux systômeS d'équations (B) et (£>) entre deux côtés et deux angles , parce que les côtés peuvent être respectivement opposés aux deux an-^ glesyou comprendre entre euxrun de ces angles^

(69) T^&S Triangles sphériques rectangles*