Un triangle sphérique est rectangle

lorsque deux des trois plans qui le compren*

nent , sont perpendiculaires entre eux. Design

nant, comme dans les articles précédens , Jes

trois angles et les trois côtes d'un triangle rec-*

tangle , par les lettres jé ^ B^C^a^ b^Cfei sup«

posant que Fangle A soit droite les équations (i)

des systèmes (J) , (B) , (C) , (D) (art. 45 — 47) ,

donnent :

(0 (£) «-««-ry»

{pkj (£) cos asscos b cos c ,

(3) ( JS^ coft a = cot J? cotC , ou cos tang BsseoiCf

(4) C^) col a = coi > cos C.

L'équation (a) du système (C) (art. 46)» cl Féqnation (5) du système (D) (art. 4? ) » donnent t

(5) (£) cos£ = sinCcos»,

(6) (£) cot Ji s cot ft sin r«

Les six équations (£) sont sous la forme convenable pour Tubage des logarithmes. Elles ne donnent pas seulement la solution . des triangles rectangles , elles peuvent encore servir à résoudre les autres triangles ^ qui sont toujours décomposables en triangles rectangles, comme on le verra dans les articles suivans.

( 7«>) Des Pofyèâres réguliers. (PI. i , fig. 7 ).

49* Pour faire une application de ces formules {E) , relatives aux triangles rectangles , proposonS'DOus de déterminer le côté de l'un des polygones réguliers dont on peut recou* vrîr la surface d*une sphère. On a vu (art- 41) que chacun de ces polygones a un centre , qu'il est décomposable en autant de triangles isocèles égaux entre eux, qu'il y a de côtés dans le polygone. Considérons (fig. 7) un de ces triangles ACB , et décomposonsrle en deux triangles rectangles sphériques ACD , CDB , en menant par le centre C du polygone qn plaa perpendiculaire au côté de ce polygone qui ^rt de base au triangle. On connaîtra, dansTuu ou l'autre des deux triangles rectangles , le demiangle intérieur DAC du polygone , qui est égal

(4i) à ' ' '■> etTangle — ^ opposé au demi-,

côté AD du polygone , A étant Tàngle droit, ou de 100**, ^ le nombre de côtés dupolygonç, y le nombre d'angles ou de polygones qui s'assemblent autour d'un même point de la sphère. L'équation (5) (E) ( art. 4^ ) donne ;

^ cos B ÇQ* h = . ^. .

sm C *

(7«) Supposons que b soit le demi-côté JID àvk polygone sphériltpie , on aura :

cm cos AD es

C!onsîdérant ce demi-côté a4D comme appartenant à deux des polygones sphériques qui couvrent la surface de là sphère ^ l'angle des droites qui joignent les centres de ces deux polygones est égal à Fàngle des deux faces planes du polyèdre rcgulîeV , qui borreâpondeut aux deux polygones, et il a pour mesure le doubla du côté CD du triangle sphérique rectangle

ACD^ opposé à l'angle — ^.

Le plan AOC du côté AC du même triangle 3phérique9 contient le triangle rectangle j^O^^ qui a pour hypothénuse le rayon AO zs: R àt la sphère circonscrite au polyèdre , et pour côté adjacent à l'angle droit , . le rayon OEz=zr de la sphère inscrite au même polyèdre* Or, le cosinus de l'angle AOE formé par ces deilx rayons est , d'après l'équation (3) (£) (art. /Ifi) ;

çol — — «cot*— *t

donc on a:

R cos jiOK =c H.coU — col •

JX étant lliypothcnuse du triangle rçctilifpe

AOE^ et r le premier cdté adjacent à Tangle

droit, concevons par \% second c6\^JMy un plan

perpendiculaire au ra^on OE de la sphërç

inscrite* Ce plan contient iine face du polyèdre

régulier, et par conséquent la cordç AB du

côté du polygone spbérique. La moitié AF de

cette corde » le cété AE du prepiier triangle

reciilign^ ^OJ?^ et la pa:*pendiculaire£/^sur

le nptiiîeu de la corde ÀB , forment un second

triangle rectiligne AEF dont l'angle A^F %

^A pour me3ure ■ > ■ yr , car les droites JËF> ^A %

sont dans un plan AEFy pen^endiculalre à 1^ droite OE^ et mesurent langle AEFdes deux pians AOC y COD, Nommant 2^ la covà^ AP.x qui est le côté du polyèdre régulier ^