COS
Pour ces deux derniers cas, on décompose le triangle sphérique en deux autres triangles rectangles , par un arc mené du sommet de Tangle B de ce triangle perpendiculairement au côté h opposé à cet angle \ cet arc divise ce côté en deux segmens <^ et ^\ adjacens Tun à Fangle A , et l'autre à f angle C« £a effet ^ mettant l'équation ....«• «^ « « • tang ^ = tang c cos A , sous la forme de l'équa-
tion (4) Œ) (art. 481 -^ cos ^ = 5
OU cot ^ cos A =: cot c r on voit que les côtés c et ^ comprennent entre eux l'angle >df d^uu prerbier triangle) sphérique rectangle , dont Vangle droit est opposé au côté c. Le second iriangle rectangle est formé par l'hypotfaépuse
u et par le côte V; en soçte ^u'oii a data ci second triangle rectangle :
€ot a =s cot p* Cù$ C»
54* pROBiiMis. De ces qnatre ttigles , deut côtés a et bf et deux angles A eiC dont un teul est opposé à l'un des côtés donnés , trois étant connus , détermider le quâtriènié ?
Soluiîon. Ce problème en renferme quatre \
lo. Déterminer A par a^b^C ; iÊ^. bi^dxu^A^Ci
5*. a par 6, A^ Cj
4®. C par a^b^ A.
i^. La première des équations (D) (art. 4? ) donne :
&tnC
Pour réduire le second membre de cecie équa« tion en facteurs » on fera :
cot 0= cot^^ cps C|
(e qui revient (55) à diviser le triangle proposé ett deux triangles rectangles , par un arc qui par*^ tage le côic b en deux segmens 4 et 4' , comme dans l'article précédent. Substituant cette valeur de cot a , on aura :
ftin C '
bu
cotisa ■' f 'iii U . ^ , >i N- . f . >
4' ^tant le segment de b adjacent à l'atigle d; 2^» Déteirminer b par a^ A;^ Ci La dernière équation donne :
et Tare ^' est connu ^ puisqu'on a par hypti^ thèse , cot y cps C = cot €>•
5*. Déterminer o par b^ A*^ Cl
' «- Pour réduira en fàcteuts rétjuation (i) (2^)
fart. 47),
, i <;ot ^ Bill; , . i *^
fioît cot A = cos 6 tang 4* £û comparant cette ëquation à la troisième {E) (art, ifi)j on toit qiié, les deux atiglès ^ et 4 appartiennent à uii triangle spheriqtle rectangle ^ dans lequel le tôté b est opposé à l'anfi^b droit. On bbtiênt ce triangle en abaissant du son^met dé Tangle C dû triangle à résoudre , un arC peiipendiculairc àii côté c. Uàngle 4 > q^® ^^s plans de bèt at'c ti du bôté è' font entré eux '^ est adjacent aii côté ô;
Subsûtuam . la valeur de cot^i^ on a :
col a = cot 3 ( sin (7 tang >)/ -f~ ^^^ ^ )
= ■ ■■ : ' ( sin C sin ^1/ 4- cos C cos d/ ) • cos4
ou .
cot h cos (C -— ^ )
cot a
I ■ ji
cos ^
4®. 'Déterminer C par a^ b^ Al La dernière fsqaation donne :
>/, , N Cos4/,cot« tos(C-4.)= ,^„,, , ,
et l'angle 4 ^^^ cotinu, puisqu'on a> par hy-* po thèse , cot ^ js^cÔs b tang 4-
55. Problême. De ces quatre suigles d'un triangle sphérique, trois angles -^, B^ C, et un côté n y trois étant donnés » trouver le quat]:ièn[ie ?
• Solution. Cette question en comprend trois :
I®. Déterminer le cote a au moyen des trois angles A ^ B^ Cl .
2*». Déterminer A par le côté ta qui lui est opposé, et par les deux angles B.^ C adjacens à ce côté a? . .'
,^ 3«* Déterminer J?.par le côté d, et les deux angles A^ Cl
Oû résout ces trois cas pat les formulée Suivantes :
tOS « t , ^ t ■ tos M ' Ti ' , i t i ,
f.cot^=X / / t L__V
..A+Cri-^. b + c-.aÇ
Vf
- cosCsin(J3— t)
SIQ 7
^ ' côs C
56. On obtient ces formules "pax la consî* dération du triangle supplémentaire dont on a désigné les angles et les côtés (art.'45)!P^f les lettres û', è^, c', A^^B'^ C^ En appliquant à ce triangle la formulé de l'ai^t. 5i , on aura :
s.n(^-- jsm(^ J
■il *■! <«■
siil • ■ ■ ' — ' '
Substituant à ces angles leurs supplémèhS , cette
équation donnera la valeur précédente de cot-^.
L'équaiîon (i) (^) (art. 44) devient, pour Içj triangle supplémentaire :
COS a' = COS ô' ces c* + sin ^ sîn c' tos A^.
Pour réduire cette e^uâtiou en façteur»^^ OU
suppose t
tang ^ cos ^^ =s cot.Vf oQ tang C cos o =s cdl #^ Subsuiuaac cette valeur :
CQ34l^eS€«i
\ siii 9 / sih 1»
Mettant^ au lieu de a^ &', c^ leurs supplémens^ cette ^ équation devient :
cosy<= ■ ; ^ ^;
sm sr
d'où Ton tire :
. ^ -- ^ cos ^ sifi ir
6t l'angle ^r est donné par réquation
tang C cos a :75 colf ir*
i«lii*^BAw«MPai^»*
©ô fo Rêsi^tHtîonâ'¥ntricmçt0sphé'i^ oh connaît les trois ^ôtés , c« supposant ces 00tés très-petits par rapport au rcQron ds h sphère sur laquelle on les a mesurés.
57. Lorsj^é les longueurs des côtés des triangles sphériques sont très-^petites pv rapport au rayon de lai sphère , les tables trigonométriiques n'offrent plus iine 'pricisîon
#aâiâdiite pour le (^^ 4es iwidei ($t d9C oéiési
il est nécessaire , dans ce cas « d'avoir recours à une solution telle qu'on puisse estimer les difiérentes parties du triangle à une quantité
de l'ordre --j- , r étant le rayon de la sphère »
et n un nombre entier d'autant plus grand , que l'approximation est plus exacte. Pour ar» river à cette solution y qu'on reprenne l'équa* tien (i) (B) (art. 44)
. cdsa — cosS CAStf $inbsiac
Soient «,/},> les longueurs des c6tés mo^ sures sur la sphère du rayon r^ les côtés a » by c deviendront :
et }'é<|uation précédente Se changera éil cellé-ci ,
ut (i y
cos -^cos— — cos*—
. fi > y r r
Les développeinens connus pour sia oc qt cos ^ donnent :
cm s s: dp •«• -l- ■ ■ ■ ■■ — — etc^
Faisant saceessivemenl a:= — , a:=: — , a: = — >
et négligeant les quantités au-dessous de Fordre -TT ; on aura :
cos— =1 --J — -- — .; sip — = — — — 5-T|
cas — s=
fi fi* . fi^ ^ . fi fi'
— --jt sm — =-T
Substituant ces valeurs , effectuant les produits en négligeant les fermes au-dessous dp,
l'ordre —r , on a :
or , ■ ■ ■ " '■ : T' donne ( en effectuant la
division) pour quotient ^^z^proché jusqu'aux, quantités de Tordre de --jr '•
( 87 ) Substituant , au lieu du facteur, ce quolîent ,
on a :
négligeant lé terme divisé par M,
iÔ' 4« y' — #* <t^ -4" <g^ + r^ "^ a ft'jg' — â «*y* ^.- 2 ;8» y*
Si on supposa le rayon r infini ^ ou — = Q ,,
la surface sphérique se transforme en un plan ,
et le triangle sphérique en un triangle recti-
^ ligne qui a les mêmes côtés « , fi 9 y i la valeur
ce^
de cos ji se réduit à — ^' Nommant
A' l'angle du triangle reçtiligne opposé au
côté tty OVL SLl ^
COS ^ 2^3 ■■ *i^" I ■ 1 ■ -•
a/Sy
Pe celte formule de trigonométrie rectîligoe , on tire :
Sm ji'-ZZZ 111 I ■■ ■ • I m. I I » I l«L m
• 4^V donc
^ cos ^=: cos ^ — « r-- — ^
( 88) ùt , -'r;?rr — r— esi 1 aire du tnaogle reciiligne j ^n la nommant ê ^ on anrà :
tOS A ZSS QC^ A' '^ ^
3> ' çpf f v<*+ ot: J 5= CQ» ><' cos «-T- -T- sîn ^' sin ^-j ;
pa négligeant les quantités 4^ l'dr^re ^ f pn a:
donc
cias ^4< + ^ j == CQS ^'~ -— s=: ço^ ^;
4'où il suit qu'on a :
ji I
on a f par la mémo raison :
puisque la quantité A est une fotxction syxné* trique des trois côtés (^ , fi^ y.
Ajoutant ces trois dernières ^quat^ons , elles donnent :
mais
A' + A' + G' = deux droits == aB |
donc
(89) or ^ le second mesmbre de cette équation , est Texpression de la surface du triangle sphérique (art. 56); donc, en négligeant les quantités de
Tordre «r-r, Faire du triangle réctiligne est
^gale à celle du triangle sphérique ; et Tune peut être prise pour l'autre^ sans qu'on ait k craindre une erreur sensible , lorsque r es% trës-grapd p$^r rapport aus^ cotés du triangle.
^ 58. TpÉoi^EME. Étant proposé un triangle
sphérique dont les côtés sont très-petits par rap-*
pOT% au rayon de la sphère « si , de chacun de
ses angles ^ on retranche le tiers de Texcçs de
la somme des trois angles sur dèut droits ^ les
angles ainsi diminués pourront être pris pour
les angles d'un triangle réctiligne y dont li^
çôlés sont égaux en longueur à ceux du triangle
sphérique j ou en d'autres termes , le. triangle
sphérique très*peu côufhe^ dont les angles sont
^, jB, C> et les céteâ opposés a^ ^^ 4^, rét
poiàd toujours à un triati^e rtittilighé éqtiit
valent en surface , et qui a les côtés de mémo
longueur a^ b ^ Cy tl dont les angles opposés;
. ^ ces côtés , sont :
( 9<> ) « étaut l'excès de la somme des angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droits (i) ?
Démonstration. Les angles du triangle rectiligne ayant été désignés par les lettres A^y B'j C'y on a les équations
Or, — = ^ + JÎ+C— aP, etc.
Pe la solidité d'un parallélipipède oblique donê on connaît les arêtes , et les angles que ces arêtes /ont entre elles.
59. La recherche de Texpressian du volume de ce parallélipipède est une application très-
(1) Ce théorème a été donné par M. Legendre , en 1 787, {Voy. sa Géométrie, 9*. édition , pag. 4^6). Ce géomètre €n a fait Tapplication la plus heurtuse à la mesure du méridien terrestre. ( Voy. la Correspondance , tom. I^^ ^ pag. 387).
On peut encore se proposer de résoudre un triangl# sphérique dont un côté seulement est très-petit par rapport au rayon de la sphère. C'est de là que dépend la détermi^ nation des Ipngitudes et latitudes. (Voy. la Correspondance^ tom. li , pag. 236 , article de M. Tuissant )^
C,9» ) simple de la formule (i) (art. 44)- Nommotis J\ ^^ A les trois droites AB ^ AC^ AD (PI. i, fig. 8 ) j arêtes d'un parallélipipède qui concourent au même point A\ Le parallélogramme construit sur les côtés J\ g ^ pour expression fg sin (/i g). Menant , par le point D , extrémité de Tarête AD=^hy un plan DKO perpendiculaire à l'arête AB =^f\ et dans ce plan les droites jDA^, DO perpendiculaires, lune à la droite AB , Tautre au plan ACBU ^ on
aura> ;
DOsnDKsmDKO; mais
donc j le volume du . par^Uélipipcde est :
Jgh sin (y , é' ) sin (/, A ) sIn DKO.
-Considérant la pyramide formée par les trois prêtes y, gj h di^j parallélipipède ^ on a ( formule (i) art. 44) •
^^. t\vn €os (gi A) — cos C/f 8^ cos ÇA ^) ,
COS JE/AU = . p— : — --. V . r r ' j.\ >
sin C/, ^ ) sin (y, A )
d'oii l'on tire
sin'C A g) sin»( /; A ) — { cos (^, A) — cos (/, ^)cos.(/, A) f»\
■ m I ni— — fc -
"nC/;^)«n(/, A)
donc le volume du parallélipipède est .*
