OU I
Eemarqiiani que la quantité sous le radical est «ne différence de deux carrés , décomposaUje en deux facteurs, et nommant «9 />> > les angles | des arêtes du parallélipipède , prises deux à deux dans Tordre suivant : (/, |r ) , (/, h) ^{g^h), l'expression du volume devient :
wmmm^'^m^mmmmtmmm^^Êmmmmm.^fttU
L+^+yX . /«4-/« — y
P^ quelques propriétés dont jouissent les projections orthogonales des lignes droites sur trois axes rectangulaires » et des aires
planùs sur trois plans perpendiculaires enM eux.
60. On projette ( art« 9 ) une droite sur w^ ^utre droite , en menant par les deux ^irémités de la première , des plans perpendiculaires à la seconde. La partie de cette seconde droite f comprise entre les deux plans , est h projectîM
(9i) lîfiéaîirê de la première droite. La projection orthogonale du cootonr d une aire plane soie un plan iise dont la posiiion est donnée^ compirend nme portioii de ce plan qui est la -projection superficielle de Taire plane.
11 suit de tM définitions ^e lorsqu'une droite ^ ou uhe aire piane , se meut dans Tespacè parallèlement à elle-même , la projectioii linéaire de Tune , ou la projection superfi<^ cièlle de l'autre , en changeant de position , ne varie pas de grandeur.
La projection lincaire dnn polygone se compose des projections linéaires de ses côtés, soit que ses côtés soient situés ou non dans un même plan. La projection linéaire dun côte ^elconque d'un polygone fermé , est :égafle à la somme des projections linéaires de tous les autres côtes , en prenant les unes po^ sitivement , et les antres négativement. D'où ii )&uît que lorsque deux polygones fermés ont un <îÔté Goinmnn \ la somme des prQJection$ linéaires de tous les autres côtés est la même •potnr Flin eft l'aùire polygone*
6« • THiSontMC. Le carré d'une ligne droitif ^st égal à la somme des carrés de ses trois pro<A jectkms linéaires sur trois axes rectangulaires ?
Démonstration. Soit a la longeur d^uxfn droite dont la direction est déterminée par les angles «, fi^ y^ que cette droite ou sa parallèle fait avec les trois axes rectangulaires. Nommant p^ p\ p^^ ses projections sur les trois axes , on- aura évidemment :
p z=z a cos d^ p' z=i a cos fi, p^f ^r a cos y.
Carrant ces équations , et les ajoutant , on aura :
P^ + P'* + ^"* = û* ( cos «• + cos fi* -J- cos 7* ) 2 or (art. i4)
cos «* -^^ cos fi* -f* cos y» t=: I ;
donc , on a , suivant l'énoncé du théorème î
«• = p» + p'» -f- pff\
Multipliant les valeurs p^ p'^ p^^ scpavément par cos tty cos ^ , cos^^ et les ajoutant^ on aura:
aznp cos H + p* cos ^'^rP^ cos y.
Ce qui signifie qu'en projettant les trois droites p^ p^i p'' sur la drpite dont la longueur est a, la somme de ces pjrpjections de projections ne diffère pas en Ipt^gueur de la droite a.
Considérant, dans un parallélipîpède rectangle, la diagonale comme la droite dont la longueur est a , et les trois arêtes partant d'une extré-^ mité de cette diagonale , comme les projections
libéàircs p, p\ p'^ de la diagonale sur ces arêtes , on verra facilement la vérité des deux dernières équations :
Problème !«*•.
6:2. Connaissant, dans uù parallélipipède , les trois arêtes AB y AC ^ AD (PI. i , fig. 8), qui concourent au sommet A de Ttin des angles solides de ce parallélipipède , et les angles qu6 ces arêtes font entre elles y déterminer la lon^ gueur de la diagonale AA' ?
Solution. Soienty, g y ky A les longueurs des arêtes AB y AC , AD , et de la diagonale AA^^ on aura :
^»=ZD'*+ A* + a i.u^fl'. cos D^D';
or
AD' =;=/* + r + a/^ cos (/, ^) ; donc
y<* =/• ^ é^»+ A*+ a/^ cos(/, g) ^^h.AD' . cos DAD\
Projettant les trois côtés du triangle ABD^ sur l'arête AD == A , on a ( art. 6i ) :
'AD' cos ( DAD' ) =/cos (/, A ) + ^ cos (^ , » ). Substituant dans l'équation précédente y
Nommant 5, C, D, les trois autres diagohales 55^ CC^ />/)', on aura ,
B-=p + S* + h- ^SLjg cds (/^ tf ) — à/A cos (/, A) 4- ai^A cos (^, S)^
^2fgcoè(Jfg) + a/A cos (/, A)— 2^Ac0s («•,*)! + a/^ cos (A ^) ^ 2;/% cos (/ , h) — ajA cos {gi h);
d'oîi il suit que Ja «drame -#^»w|*Jλ+C*+J> est égaje à ja sommcdes carrés 4/**4'4ê^'+- 4^*5 c'est à-dire que , danâ un parallélipipëde oblique i la somme dès carrés des quatre diagonales est ji^ale à 1^ scMttime dés carrés des douze arêtes:
pROBh. Iti
65. ' Cdnnaîssani les j^rojectîôlis dWe droite t) sur troi$ ,ayçs jrjectatngulîiiiîes j on deinaûdé h projection de cette droite D sur une autre droite JP' doiiLtJap<isit)ojai fist idomiée par fappOT\ sitix axes reclauigu^ires ?
Solution. Soient « , jSt , >* les angùs que là droite Z^-Àtf iatec les' trois axes rectangulaires ; <F I 4 a ^ 1^ angte que la droite l^j sttr
(97) laquelle on la projette, fait avec les mêmes axes ; nommons a la longueur de la droite D ^ b la longueur de sa projection qu'il s'agit de trouver, c l'angle des droites Del D' ^ on a (art. i4) •
Êos c =: C06 « cos 9 -f* cos fi cos 4^ "f" ^^^ 7 ^^^^ **
Multipliant cette équation par a , elle devient :
a cos cu=za cos a cos 9 -j* ^ ^^^ /^ ^^^ ^ H* ^ ^^^ V <^05 « ^
mais
a cos £ issb f
et (art. 61 ),
« cos et s=:p , o cos /d = p\ a cos y sssp^j donc (i) S = /? cos f + /^' <^o* 4^ + P^ ^os ».
Soient q , ^', ^'', les projections d'une autre droite af sur les trois axes rectangulaires, et b^ sa projection sur la droite dont la position , par rapport à ces axes , est déterminée par les angles 4> , -^j'jr^on aura :
(2) ^ = y cos 9 4- 9' cos 4" -f* ^^^ cos » ; de même pour une troisième droite a'' :
(3) i'^ = r cos ç + r' cos 4/ + ^^^ cos »• '
Ajoutant les équations (1)^. (a), (5), et nommant B la somme è-f- ô'+6'^ . . , Pla somme P + ^+ r. . . , PMa somme ;^'+ ^'+ r'. . . ,
( 98 ) P^ la somme ^'^+^''-+-r". . . , on aura Téquation :
£ =P cos 9 4- P' cos 4^ 4- P" COS T. (f)
Considérant les droites a , a' , a''. . • comme les côiés d'un polygone situés ou non dans un même plan , les sommes P, -P, P^^ sont les projections de ce polygone sur les trois axes rectangulaires , et B est la projection de ce même polygone sur une droite qui fait, avec les trois axes rectangulaires , les angles <$ » 4 » ^*
64. Problême. Connaissant les projections Py -P, P^ d'un polygone sur trois axes rectangulaires , on demande les projections B, B\ &^ de ce même polygone sur trois autres axes rectangulaires , ayant même origine que les premières ? ( Pour distinguer le premier système d'axes du second système^ on nommera les premiers , axes des âc , des y , des s ^ et les axes du second système, axes des a:\ des/^, desz'.)
Solution. Soient <p j 4 > ^ ^^^ angles de l'axe des œ' ^ et des trois axes du premier système^ <f', 4^ ^ ^^ 4>'^ 4^^ ^'^ l^s angles que ces trois axes font avec les axes des j*^ et des z' du second système.
L'équation {é) de l'article précédent donne ,
(99) pour la valeur B de la projection du polygone sur l'axe des x^ :
B :=:P ZOS (^ -\' P' CCS -^ -{- Pf COS «• (é)
On a de même , par rapport aux deux projectioris B^ et B'^ sur les axes des y^ et des z^ :
B' =P COS Ç' + P' COS 4/' + P" COS »' , (tf')
£"=Pcos<p// + Pcos^^'!^ + P'' cos,'S (^e^)
Carrant les membres des équations (e) , (e^) , (e'Q , les ajoutant, et observant qu'on a (art. i4) =
COS* (p 4" ^0** ^' +* ^°** <p" = I I
COS'i}/ -j- COS* 4''+ COS' 4'" î= I >
COS' » + COS* t' + ^os* w" = I ,
COS ^ COS 4' + COS 9' COS 4^' + COS ^^ COS 4*" = o ,
COS 4^ COS X + COS 4^' COS »' -j- Ci)S 4^^^ COS »" = o ,
COS » COS (p + COS »' COS (p' + COS »" COS (p" = O,
la somme des carrés des seconds membres se réduira à P* + P'* •+- P^^^ , et on aura Féquatîon réduite :
résultat très-remarquable, en ce qu'il est indépendant de la position respective des deux systèmes d'axes rectangulaires.
65. Multipliant les équations (e), (e'), (e'^) respectivement par les quantités cos<|>^ cos^', cos V, et les ajoutant, on. aura:
-B cos (p -}- J5' cos ç' -|- ^" cos (p'' =2 jP, JB cos ^J/ + 5' cos 4' + B' cos 4// = P', ^ jB cos t + B' cos tt' + iî'/ cos »«^ = p//.
Ces dernières équations feront connaître le« projections P, P', f sur Jes axes des x^ dcs^, des s, lorsque les projections B j B\ J?'' sut les axes des oc^ ^ des j^^ des 2', seront données.
Les équations d'où l'on a déduit les propositions relatives aux projections linéaires des polygones, servent encore à démontrer que les projections superficielles des aires planes jouissent de propriétés analogues (*).
Des Projections superficielles des aires planes.
66. Théorème, Une figure plane quelconcjue ^tant projetée sur trois plans rectangulaires 1 le carré de Taire de cette figure est égal à la somme des carrés des aires de ses trois pro-* jections orthogonales ?
Démonstration. Supposons d'abord la figure terminée par un polygone , et concevons ,
C^) C'est sur CCS propriétés qu'est fondée la nouvelle théorie des moihens , que M. Poisson a doknée dans 8> Mécanique y tom, i^,| pag. iti«
par les sommets des angles de ce polygone, des plans perpendiculaires à la droite d'intersection du plan du polygone et du plan sur lequel on le projette. On formera, dans le plan du polygone , autant de trapèzes que le polygone a de côtés ^ cliaque trapèze sera formé d'un côté du polygone , des deux perpendiculaires abaissées des extrémités de ce côté sur la droite d'intersection du plan du poly-r gone et du plan sur lequel on le projette, et de la portion de cette droite comprise entre les deux perpendiculaires. Cette portion de droite étant la base du trapèze , on a la surface de ce trapèze , en multipliant la demi-somme des deux côtés perpendiculaires à la base par la base même : or, la projection de ce trapèze est un autre trapèze qui a même base , et dont les côtés parallèles sont aux côtés parallèles du premier , dans le rapport inverse du rayon au cosinus de l'angle formé par le plan du premier trapèze et du plan sur lequel on le projette; d*oii il suit que les aires de ces deux trapèzes , dont l'un est la projection de l'autre , et qui ont une base commune , sont dans le rapport inverse du rayon au cosinus de l'angle formé par les plans de ces deux trapèzes.
Iljps trapèze; qui correspondent aux côtés
4u polygone embrassent Taire de ce polygone ; d'où il suit qu'on peut regarder celte aire comme la somme de trapèzes, les uns pris , s'il est nécessaire , positivement , et les autres négativement. Mais la somme des trapèzes est à la somme de leurs projections dans le rapport du rayon au cosinus de l'angle formé par le plan du polygone , et par le plan sur lequel on le projette j donc , quel que soit le polygone , les aires de ce poljT' gone et de sa projection superficielle , sont dans le même rapport
Soient p ^q ^r^ les cosinus des angles que le plan du polygone fait avec les trois plans rectangulaires sur lesquels on le projette j soient de plus T l'aire du polygone , et f , t\ /" les aires de ses trois projections, on a (art. précédent) :
Girrant ces trois équations, et les ajoutant, on a :
r 4- f* + tff* =: r» {p* + y» + r»).
Or, la somme p^^q^+r^ des carrés des trois cosinus py q^ r, est égale (art. 28) à l'unité j donc , on a :
67. Au lieu de considéi*cr le polygone comme une somme de trapèzes, les uns positifs , les autres négatifs, on pourrait le décomposer en triangles ^ et en nommant T un de ces triangles, et tjtf^ t'' ses trois projections , on déduirait 1 équation T^ = ^*+/^*+^'^% de ce qui a été démontré (art. 22). En effet, on a prouvé : •
i^. Que l'équation du plan du triangle étant L»X'+^Mjr'-\^Nz:=:Ky on avait:
2^. Que la pyramide qui a son sommet à Torigine des coordonnées , et pour base le
triangle T, était égale en volume à -^-ff. Or ,
la hauteur de cette pyramide est la perpen-
dicnlaire (art. 26) y ' 1 1 abaissée
de l'origine des coordonnées sur le plan du triangle; donc, on a:
ou
ou enfin
Soit S un autre triangle contenu dans le plan du triangle T, et ^ , ^ , s^^ ses trois projections , on aura de même y
ou
mais on a
T"~"F' T""""!^^ T^T"' donc
Effectuant le carré de iS+T:
t= 5» + 5'« 4. 5//» -f 25f 4. 2 y«' + 2s'ftf+ V + <'»4. r**
En prenant dans le plan des deux premiers triangles T et Sj un troisième iî, dont les trois projections sont r^r^^ r'', on arrive de la même manière à l'équation suivante :
d'oii il suit qu^un polygone dont les côtés sont situés dans un même plan ^ étant projeté sur trois plans rectangulaires , le carré de Faire du
(io5)
polygone est égal à la somme des carrés de ses trois projections superficielles.
68. La figure plane, au lieu d^étre un po« fygone , pourrait être terminée par une courbe fermée. Dans ce cas , on considérerait la courbe comme la limite de deux polygones semblables , l'un inscrit , et Tautre cironscrit à cette courbe, et le théorème précédent , démontré par rap^ port à chacun de ces polygones , quelque petite que soit leur différence , s'applique par le principe des limites à Taire de la courbe.
69. Dans une pyramide triangulaire dont les trois arêtes qui partent d'un même sommet , sont perpendiculaires entre elles , les trois faces formées par ces arêtes sont les projections su* perficielles de la quatrième face sur les plans rectangulaires des trois premières. D'oii il suit qu'en nommant M, iV, Pies trois faces for^mées par les arêtes perpendiculaires entre elles ,^ et Q la quatrième face , on a l'équation :
Si les arêles ne sont pas perpendiculaires entre elles , on démontre que la valeur de Q* est donnée par Téqualion suivante :
Q^:;=:M'+IY»;4-P'--aZVPcosm-aPafcosii-.:>MA'^cos;?, (^»
( io6 )
my Hj p étant les angles dièdres opposés aux faces MjN,P.
Pour obtenir cette équation, on remarque ^ ( Géométrie de position , par M. Carnot , p. 5 1 o) que dans un polyèdre quelconque , et par conséquent dans une pyramide triangulaire , une face quelconque est la somme des projections superficielles des trois autres fisices; ce qui donne les quatre équations suivantes :
M=N eos p ^ P cos » + Ç cos « f N = M cos p +~P cos m + Q cos j8 j P :=M cos » -f- iV cos m -{- Ç cos y , Qz=zM cos « -|- iV cos jS + P cos y j
tty ^y y étant les angles dièdres de la face Q et des trois autres faces M^ N, P.
Substituant dans la dernière équation , pour cos « , cos j8 , cos y , les valeurs de ces quantités données par les trois premières , on parvient , par une réduction très-simple , à réquation Ç/i).
70. Problème. Connaissant les projections P* P^ P^^ d'une aire plane a sur trois plans rectangulaires , on demande la projection su^ perficielle b de cette aire sur un plan dont la position est donnée par rapport aux trcHS plans rectangulaires?
Solution. Concevons le plan de Taire don* née , et le plan sur lequel on la projette , transportés parallèlement à eux-mêmes , jusqu'au point d'intersection des trois plans rectangulaires y et menons par ce point des droites perpendiculaires aux deux premiers plans. La position de ces droites déterminera celle des plans. Nommons « , jS , 7 les angles que la perpendiculaire au plan de Taire qu'on projette , fait avec les axes rectangulaires ^ et <^ , -^^^rles angles que la perpendiculaire au plan sur lequel on projette l'aire , fait avec les mêmes axes. L'angle des deux perpendiculaires est évidemment égal à Tangle des deux plans ; donc , si on nomme c cet angle , on aura ( art. 14)*
cos c a= cos m cos 9 -f" ^^^ ^ cos 4^ + cos y cos ».
Multipliant cette équation par a, grandeur de Taire plane donnée , on a :
a cos c = a cos et cos <p 4* ^ <^os /S cos ^)^ -f- tf cos y cos V ;
mais 9 d'après Tart. 66 ,
aco8<; = 3^ âCOsap=p, a cos fiz=:p'^ «COSy=/>^.
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente , elle deviendra :
(l) b =:pCÙBf ^ pf COS 4 -{- p^^ COS ».
En comparant cette équation à Téquation (i)
( 108 ) (art. 63), onr voit que la proposition rela« tive aux projections linéaires d'une droite; s'étepd aux projections superficielles d'une aire plane , et se déduit de la même équation.
Soient </ , q\ q^\ les projections superflu délies d'une autre aire a! sur trois plans rectangulaires , et V sa projection sur le plan dont la position est déterminée par les angles
(a) ^^ £= ^ cos (p -f- y' C05 4^ + î^ <^o* » »
de même pour une troisième aire ai^ i
(3) h^ = r cos (p + y^ cos -vj/ -|- '*^ cos »•
Ajoutant les éqijations (i) , (2), (3) , et nommant B la somme 64-&'+i'^.. , P la somme iP H" ^ + ^••. > P^ la somme /?' + ^^ + r'.. . , P'^ la somme />'' + ^'' +• r^' ., , la valeur de jff en P, jP, P^ sera donnée par l'équation suivante :
JB =r Pcos f + P' cos 4/ 4- F' cos »• (O
Considérant les aires a ^ a! ^ clK,. comme les faces d'un polyèdre , iP, P ^ P' sont les prpjections de ce polyèdre sur les trois plans rec- ' tangulaires , et B est la projection superficielle de ce même polyèdre sur un plan qui fait , nvec les trois plans rectangulaires , les angles;
^ t . pROBLéfinc. Connaissant les projèctîotis
JP, P', P'' d'un polyèdre conlinu ou discon*-
TÎnu sur trois plans rectangulaires , on demande
les projections By 5', B^^ de ce même polyèdre
sur trois aùtfes plans rectangulaires qui se
coupent au même point que les premiers ?
(Pour distinguer les deux systèmes de plans ,
on nommera les droites suivant lesquelles les
plans du premier système se coupent , axes
primitifs des a:, des ^, des z, et les droites
d'intersection* des plans du second système ,
axes secondaires des cr', des j^, des z^ )
Solution. Ayant adopté lés dénominations de Tarlicle 63 , pour déterminer les axes des sc/^ des y y des z', l'équation (e) de l'article précédent donne , pour la valeur B de la projection superficielle du polyèdre sur le plaa perpendiculaire à l'axe des a:^ :
On a de même par rapport aux deux projections B' , B^^ sur les plans perpendiculaires, aux axes des j^ et des z^ :
B' n=:P cos (^' + P' cos 4/' + pi cos »% (•)
£" = P cos <f " + P' cos 4 " + Pff cos %v. (^
Par un calcul semblable à celui de l'articleélf
(no)
fin déduit de ces trois équations (e) , (e^) , (e^'), la suivante :
Jî» + B'> 4. Bv« r=: P» + P'* + P«^s (£)
équation qui est indépendante de la position respective des deux systèmes de plans reclangulaireSt
72. Multipliant les équations (e) , (ef)y (é') de l'article précédent, par les quantités cos ^ , cos <}>^, cos <|>^^, et les ajoutant , on aura :
£ cos (p -f« j?' cos <p'-f- jB" cos ^^z=z P, B cos ^ 4- B' COS.J.' + jB<' cos 4^ = P'', iB cos » + jB' COS »' 4. 5'/ cos »// = P//-
Ces dernières équations feront connaître les projections superficielles P, P, P^ sur les plans perpendiculaires aux axes des ac , des j* , des z, lorsque les projections superficielles B , ^', B^^ sur lès plans perpendiculaires aux axes des ^') des y^ des ^' seront données.
75. Examinons ce que devient Téquaiion (E) de l'article 71 , lorsque les aires û, û', û^'..sont situées dans un même plan , qui fait , avec les trois plans rectangulaires , les angles et y fi^y* Dans ce cas , les aires et leurs projections sont dans le même rapport, et on a (art. 66) :
'^""y'^T*"' p'^/""/^'"' ^~^~7^*"' ; d'où l'on tire :
tf ' a ' a .
^^=z^—aj / = -^.aS K = — •«%
tfi a a
/""crs — — .41'' j ♦••••
formant les valeurs de P, P', P'^ on a :
JPt=ip -l-y +7* .... = -^ (a4-iï^ + c^^•..)^
Substituant ces valeurs dans l'équation (£) dclWt. 71, fi*+fi'*+^'* = />«+/^»-HFS elle devient :
Mais (art. 66) ,
et (art. 14) donc
(lia) L'équation (£') devient :
Or, les aires û+ a' + a'^.. peuvent être considérées comme appartenant à une même figure plane : d'où il suit que le carré de cette figure est égal à la somme des carrés de ses trois projections j proposition déjà démontrée ( art. 66 et 67).
74. Problème. Connaissant la grandeur et la position d'un nombre quelconque d'aires situées dans des plans donnés , on demande la position du plan sur lequel on doit les projeter , pour que la somme des projections superficielles des aires soit la plus grande pos* sible ?
Solution. Des trois quantités B ^ B\ B^ qui expriment (71) les sommes des projections 4ës aires planes sur trois plans rectangulaires , l'une quelconque , par exemple i?, dépend des deux autres, et, en résolvant l'équation {E) (art. 72) on a :
équation dans laquelle la somme des carrés P*+P'* + P^'* est une quantité constante et
donnée, tl est évideiït qtie la valeur de É serA la plus gtiadde pdssible , lorsqu'on aura :
te qui réduit les trois cquatioQS de rarûcle 7 ^ aux suivantes :
d'oii Ton lire :
COS (p = -K- 5= ' - • -^— ,
•B y/pa ^ p/a ^ p//*
Pff Pff
