S. IV

De la Transformation des coordonnées. ■

76. La transforixiation de coordonnées la plus simple consiste à ne changer que ]'origine des coordonnées , en donnant aux nouveaux axes la même direction qu'aux axes primitifs. Nommant « , jS , ^^ les coordonnées de la nou* veUc origine, ;r, ^, js les coordonnées primitives , et 00^, /', z^ les nouvelles coordonnées , on aura les équations suivantes :

Ces équations auront lieu dans le cas oii les axes primitifs des coordonnées seront rectangulaires , ou comprendront entre eux des angles donnés.

n^. Un point étant rapporté à trois axes rectangulaires par les coordonnées oc^ y^ z, si on imagine une droite menée de ce point à l'origine des coordonnées , la longueur de celte droite, et les angles quelle lorme avec les trois axes rectangulaires , déterminent la posilipn du point dans l'^spaeç.

On appelle celte droite rayon vecteur. Soient t ce rayon , et a , |S , ^ lels angles qu'il forme avec les axes rectangulaires des a:, des y^ des z , On a les ée^uatious saÎTazites (art. 61 ) :

ac = r cos « , y=^r cos fi j z z=zr gos y.

On sait d*ailleurs (art. i4) qu'on a Téquation de condition :

COSV 4" ^OS^fi -j- COS*y =: I.

Lorsqu'on substitue ces valeurs de a:,y^ a, l'origine des coordonnées devient un pôle d'où partent les rayons vecteurs qui correspondent aux différens points de Tespace.

78. Si, au lieu de donner les trois angles ^[tte le ïiayon vecteur fait avec les axes des cooràannées ^ on suppose ce rayon projette sur l'un des tjrois plaas rectangulaires , par exemple sur le plan des ay^ ce rayon fera, avec sa projection , un angle <j> , et cette projection feyrmatit avec l'axe des x un second angle 4 p ks trois quanlilcs r, 4 , 4 détermineront la position du point dans l'espace . En effet , on aura :

itr = r sin ^ I ^ =: r sin f sin 4 » x ssz r sîn (ç cos 4«

79. Parmi les transformations de coordonnées y il en est un« dont on fait souvent usage, et

qui $ert à passer d'un sj&téme ie i^Qm^oni»ém rectangulaires, à im ^jfstéme de çoor doAi^éaft obliques. On a vu ( art. i ) qu'^yafibt mené pçir un point fixe de l'espace , trois droites faisant; enire eJles tels angles qu'on voudird^ v un* ks^-^ portait, à ces trois droLèes un autce. fQm^ quel-* conque, en regardant la droite qui joint ce dernier point et le 'premier comme la diagonale d'un parallélipipède dont les arêtes sont parallèles aux trois droites passant par le poînf fixe. Ce parallélipipède est rectangte ^ lorsque les droites menées par le point fixe, et^qu-oiï nomme axes des coordonnées , sônt'penpen-»

diculaires entre elles. Par le' même* poîn! def l'espace , pris pour origine des* coordonnée**, on conçoit deux systèmes d'axes', le^ uns rec-i tangulaires, les autres inclinés sous des èingîes: donnés : en rapportant un point pris à vo}€^mo dans Fespace , à l'un ou à l'autre système , la droite menée de ce point , à rbrîgîne det coordonnées, est Une diagonale commune à deux parallélipipèdes , l'un rectangle > et Fauire oblique ] les arêtes du paralléjipîpède oblique sont les coordoniiées du point tiont il s'agit de déterminer |a pi^siripa.- Çoaiiaps^iU. I^iScangle^ que les axes des coordonnées ol^liques font avec U^ 9X65 d^s cqôrdorinéiç? «çt^ngufediW*^ liouj

(Tl8)

allons établir les relations qui existent entre les cosinus de ces angles , et les arêtes des deux parallélipipëdes.

De la Transformation des coordonnées rectartr claires en coordonnées obliques.

80. Nous ferons observer que si les axes des coordonnées rectangulaires et obliques n'avaient pas même origine , on les ramènerait d'abord à une origine commune par les équations de l'article 76.

jc y jy J5, étant les coordonnées rectangulaires d'un point pris dans l'espace, soient a:', j-', z' Ï6s coorddnpées de ce même point par rappox*t aux trois axes obliques des ody desj*', desz'. Supposons de plus que les axes obliques foripent avec les ^xes rectan£[ulaires , des angles dont les cosinus soient a,^ a\ d^ pour l'axç des oc^iby Vy y^ pour l'axe des y^Cy c\ c'' pour Taxe des z^. Ces axes obliques oi;it pouj^ équations (art. i4) :

axe des ^x' < a? = — r- z % r = — 7- z> y

(■■9) ^ Qu'on imagine les deux paralIélipipeJes qui

ont pour diagonale commune , la droite menée de Forigine des coordonnées au point ùc^j^z.

Cette diagonale étant le quatrième côté de deux quadrilatères dont les trois autres côtés son(, pour l un y les arêtes consécutives x , y^ z du paralléîlpipède rectangle^ et, pour l'autre, les arêtes a:', ^, «' du parallélipipcde oblique i les projections linéaires de ces deux quadriiaicres sur une droite quelconque.^ sont égales ( ar&» 60 ). Or j la projection du premier quadrilatère ( xyz ) sur Taxe des oc , se réduit à Fabcisse x-, les projections linéaires des côtés du secand quadrilatère (â:[^V), sur le même axe des ^, ont (art. 61.) pour expression& axf y by , cz' ; donc on a l'équation r

En considérant les projections linéaires ê[t% deux quadrilatères sur les axes dès ^ et des z , on a de même :

Les cosinus des angjes que l^xe des ac^ fait aTec les axes rectangulaires des a: , des j-, àesZy. éteint a y a^ af^y on a (art. i4}'**^

a» 4. fl'» -j- tf ^» s=.i ♦ ;

DU a ^ par la même raison y les deux am^.ea^

quations de condition :

ce qui réduit à six le nombre de constantes nécessaire pour déterminer la position des axes obliques.

Désignons , par une seule lettre , chacun des coefficiens de a; , dç jr, de » dans les équations de ces axes ^ et supposons :

-^=x, ■^=^, -ÎF—^* Wf^' 'çii' ' 7""'^'

on aura : ,

V'' SIS ■ ■■ ■ ■ i ■»— 1— ^ •

}es équations des axes deviennent*:

axe desy {x = x'xr , ^ = f«'f }, i = W^ ^-b^,

çt les valeurs de jc , ^ , 2 se cbtogeûf eu celles-ci : , . - /. j.r^

j- = afft x' 4- * vy + ^ V^^' ^

( lai )

Examinons le cas où les xvouveaux axes des cé^ des ^, des z' sont, comme le$ primitife, per^ pendîculaires entre eux»

J)e la Trans/armat^ion des coordonnées reo^ tangulaires en d'qiitr^s coordonnées recian-r gulaires,

8i. Pour rappeler les dénominatipns pré* çédentes > formons le tableau suivant :

Axes des

av«fwa«a^MB

Il «Il y l 'f

jii J II .. I I

Ce tabl^a^ indîitjue i^*, que les angles de Faxa des cz;^, £(v.ec. les axes des ce, des^^^ des s, ont pour cosinus a , u', a!J ; ^^« que les angles de Taxe àts oc , avec les axes des ocf.y des y\ des z[ j ont pour cosinus a, 6, c, etc.; d'où il suit qu'en |)rojeuant succeçsiYçmeiit les de^x

quadrilatères qui ont pour calés les. droites a/, y^ 4^, et les droites ;r , /, « > sur les axes des o^, des^, et des z^, et comparant les deux projections linéaires , on aura :

a:'' = flx -f- a^y + a^sf ^

jBf z=i cas -jr i/jr + c^z.

Aux trois équations de l'article précédent i

«•^a'>^a/r«Ly i'-f^i^'-f-^^'Œi, c»+i/«+<?^*=i.r

il faudra (art. 14) joindre celles-ci :

83. De ces douze équations de condition , six seulement sont nécessaii^es , et elles sont équivalentes aux six autres. Pbur le démontrer , il suffit d'observer que les coordonnées ce , ^, z ^ eta:',/^ ô' appartenant au même point, et ayaat même origine , la distance de ce point à l'origine est inditréremment ou v/a:*-4-j^^+«* , o»

\/a:'* +/'* + z'\ Carrant les valeurs de a?, y, a^ et les ajoutant , on devra égaler à lunité les coefficiens de a>^ , y^ , z^ , et à zéVo les coefficiens des produits x^j^ , y ^^9 ^'«'i c® ^^^ donnera les six équations t

a5+a'3'-(.fl//^''=o, bc+b'c'"{^fcff=:Oy ac+a'c'+a^c^^io.] ^^^

Les trois dernières expriment que les trois axes des a:', des ^, des «' sont perpendiculaires entre eux.

Carrant les valeurs de a:', j-', V, et les ajoutant , on égalera à l'unité les coeOiciens de * o:^,^*, j5*,-et à zéro les coefficiens des produits oc^^j-Zj x%i ce qui donnera les six équations suivantes, dont les trois dernières expriment que les trois axes des x , des jr , des z , sont perpendiculaires entre eux :

4U^^VJ^=io, a'a*+^'ô"+i:'c^=:o, fiû^+W^-Hc//=o.P ^

Elles sont équivalentes aux six premières , parce quelles expriment ainsi quelles l'identité des

deux expressions \/x*-f-7-»-|-«»j y^'^-i-7'*-h^'*« On peut encore démontrer synthétiquement que ces; deux sjrstémes d'équations/ sont équi?r valens.

' 85. Une sphère du rayon i étant l'apportée à trois plans rectangulaires, qu'on regarde le centre de cette sphère comme le sommet d'une pyramide triangulaire formée par trois plans f «rpeudiculair^ cintre ei». Siipposons que les

points oii les trckîs arêtes de eetre pypatinidm coupent la surface de là sphère , aieot peûp coordonnées les neuf quantités a , a' , o^' , b, è', 6'', Cy c', c'^ ]No^lll;l0^3 CCS poims J, B, C.

Soient a ^ ck\ a" les coordonnées 4» point ^, b,U y V^ les coordonnées du point i?, c, c', d^ bs coordonnées du point <7, on aura évidemment les trois équations :

de plus , il est facile de voir qua Ijçs rayons de la sphère menés par les points* ^ y B y C font, avec les trois axes rectangulaires auxquels la surface 4© la sphère esir fapportcc , des angles dont les cosinus sont les coordonnées de ces mêmes points; d'où il suit (art.

14) qu'on a les équations de condition qui expriment que ces rayoas , p^i& deux fi deu¥ t sont perpendiculaires entre eux :

fiH-^'^+tf*^^*=o, *H-*V+*M=o, tf<:+a^y-f^^c^=^

84* Considérons maintenant les trois rayons passant pap les points A^B^ Cooûinme les intersections de trois nouveaux plan« rpotan^rr paires atixquds 0» vapporte )a 'Surface ^ie U sphère. ' » ' r;

•'■- (les trois pianf reetengulaires^ primitifs cpiHV

(ia5)

J)ti5iitiènt entre eux une pyramide triangulaire ' dont les arêtes coupent la surface de la sphère en trois |jcFfiit^. Désignons ces points par les lettres fj^ Mj iV, et supposons que leurs coordonnées soient,

Pour le point L , /? /', /'^

Pour le point M, . . • . . m , m', m''.

Pour le point N^ /i, n^^nfL

De ces neuf coordotinées parallèles aux rayons passant par les points A^ B^ C, une quelconque a son égal parmi les neuf coordonnées des points A^ B^ C parallèles aux rayons passant par les points L, M^ N. Désignant par O le centre de la sphère , formons le tableau suivant , dans lequel une lettre quelconque représente le cosinus de l'angle formé par les deux rayons que l'on a écrits sur les premières colonnes horisoniale et verticale , et qui ré* pondent à la case ou la lettre est placée.

Rayons.

aff

rkff

nff

( >a6) A la seule inspection de ce tableau , on voit qu'on a :

Mais on a entre les coordonnées des points L, i(f,iV des équations semblables à celles qu'on a trouvées ( art. précédent) entre les coordonnées des points A^ B^C^ on aura donc les six équations suivante^ :

lm+ïfm'+lffm^s=:oj mn+m'n'+mfnfss=:Oj In + l'n* + l»n(!s

Substituant dans ces équations les identités données par le tableau , elles deviennent :

«* + *•+ ^' = I f «'• + *'• + C* =1» «*' + M» + c«^»= tftf'+ W+ cc'= o , a'a^+i'A"+ c/^r^ïsso, aa^+bbff + ccffi

Les identités données par le tableau résultent de ce que les deux côtés d'un angle étant égaux , les perpendiculaires abaissées de l'extrémité du premier côté sur le second , ou de l'extrémité du second côté sur le premier , sont égales entre elles,- ce qui est évidente puisque les côtés de l'angle et les perpendiculaires à ces côtés , forment deux triangles rectangles égaux.

85 . Les six équations de condition (e) ou (e*) ( art. 82 ) réduisent à trois le nombre de

( «^7 ) constantes nécessaires pour passer d'un systémo de coordonnées rectangulaires à un système d'autres coordonnées rectangulaires. ^,^, s^ étant les coordonnées d'un point dans le preinîar système, ^^ ^y^ % z' les coordonnées de ce point dans le second système, on a (art. 8a çt 8i ) entre ces coordonnées les relations suivantes :

j=a'a/+by + c'z', > ou ^ y^bx + yy+bffz^

L'es neuf constantes qui entrent dans ces équations étant liées entre elleâparsix équations de condition^ ces formules deviendront d'un usage plus commode, lorsque les coefficiens de ^'i J ^ *' dans les valeurs de a: , ^ , z , ou les coefficiens de oc^y^z dans les valeurs de oJ^ y y z^y seront exprimés au moyen de sinus et cosinus de trois angles indépendans.

Autres Formules pour le changement des coordonnées rectangulaires en d'autres coordon^^

nées rectangulaires.

86. Les axes des oc^ et des j^ sont dans un plan qui coupe le plan des a:jr suivant uae

droite : supposons que les angles de celle dtroîtë avec les axes des ac et desl xf soient donnes , et qu'on ait àst plus Tangle A^s deux plans des acj et dès o(^y^ ; il est évident que ces trois angles déterminent la position respective des axes des deux systèmes. Les relations entre les lignes trîgonômétriques de ces trois angles et des neuf angles que les axes des deux systèmes font entre eux , dépendent de la résolution des triangles sphériques.

Soient (fig. 9, Pi. 1 ) O-ST, OJT, OZ les trois axés des oc , des/, des z j OX\ or, OZf les axes des or', des 7', des zf* , ON Tititersection des plans des ccy et des x^jK

On suppose !**• que tes deux plans font entre eux un angle ê égal à l'angle ZOZ^ compris entre les axés OZ, OZ^ perpendiculaires aux plans des xy et des x^y^ ; a*, que la droite ON fasse , avec les axes OX , OX^ les angles 4 > ^ * et on a les équations suivantes (*) .

(^) Cette notation a été proposée par M. Français , professeur aux écoles du génie et de Partillerie. L'expression cos (jc ^ «' ) signifie le cosinus de Tangle forme par le» axes des x €t d«s mft

tos (dP| ^) c= a =: ces ê sin 4^ sin ç -|* co$ 4 cos 9 ^ C05 (jx^y ) s= 6 ==: cos I sia 4 cos 9 «^ cos 4 ^^^ ? f cos («, r') = <^ = sin tf sin 4> ces (^, ^^ ) s±: a' =: côs tf cos 4" sin 9 -^ sin 4^ cos ^ « cos (j^9^ ) = i' = cos I cos 4^ cos 9 -f* sin 1]/ sin 9

Côs (jr, «' ) = 1/ = sin * cos 4 »

COS (£9 «') s= a'c=: — » sin ^ sin 9 , cos (r, j^') =M= — sin é COS 9i COS (x, x') =s c'=: cos I.

On substituera ces valeurs dans les équations de l'article précédent ^ et on aura cdies de oc ^ y^z y ou de oc^^ j^y z^ exprimées en sinus et cosinus de trois angles indépendans 4 > <P » ^*

87. Pour trouver les valeurs de a^ hjCy considérons d'abord le triangle sphériqtie NXX^ qu'on obtient en décrivant du point O (fig.Q» PI. i'*. ) comme centre , et du rajon pris pour unité , trois arcs , dont deux mesurent les angles 4 , 4> que la droite ON fait avec les axes OXy OX^y et le troisième est compris entre les axes OXj OXL Ce dernier côté du triangle spbérique est opposé à l'angle fl ; d'où il suit que j d'après la formule (1) (art. 44) » ^^ ^^^^ •

cos QOX y OX' ) y on a = cos I sin 4 &in 9 -f- cûs 4^ ces 9.

Regardant toujours le point O comme le

( iSo)

centre d'une sphère , on a un second triangle sphérique compris entre les droites ON y OX ^ OY\ qui ne diffère du premier NXX' que par le côté ^, qui devient 4> + ioo<* j or

•tnff +ioo*)=scOs^, cos(94-ioo^) = — sinf :

donc ) on aura :

€05(0X90^)^ ou ^sscostf 8in>)/cosf — co$4^^i^9*

Un troisième triangle sphérique, correspondant aux trois droites ONj OXy OZ', a pour cotés Tangle NOX= 4 , Tangle NOZ^ =100% et Fangle Z^OX formé par les axes des x et des zL Or , ce dernier côté Z'OX est opposé h Fangle 100*» — du triangle sphérique» Ea comparant ce triangle au premier NXX^y on a 4 = 100^ , cos ^ = 0, sin <p = I , et cos 8 devient sin 9 ; ce qui donne :

to$ ÇfiX^ OP ) s r K sin « sin ^.

88. On trouvera, de la même manière , les valeurs de a', i', cf y en considérant les trois triangles sphériques formés par les arcs qui sont interceptées i**. par les droites ONy OYy OX' ; 20. par les droites ON^ OV, OY^ i 5°. par les droites ONy OY, OZK

Eu comparant le premier de ces trois triangles

àii triangle NXX' , on voit que le côté ^ et l'angle sont communs > que le côté 4 devient 4+ loo^j où déduira la valeur de a de celle de a^ y en y mettant cos 4 pour sîn 4 > et sin 4 pour cos4> ou aura donc :

cos (OF, OX' ) = ;o' = co^ I cos 4 co» 9 -^^ sîn 4 cos f •

Les valeurs de b et de v deviendront celles de y et de c' , en y mettant de même cos 4 pour sin 4 > c' — sin 4 pour cos 4 i ce qui donne :

cos (0 F, P ) ss Vss cos $ cofi 4 c<>s 9 + ^^" 4^i" ^» ' cos {Or, OZ' ) = <?'= siu 4 cos 4.

En(în » des valeurs de a^ b, c> on déduira celles de a'^ f , c", en observant que dans les trois iriaùgles spbériques formés par les axes qui sont interceptés par les droites OiV, OZ combinés successivement avec les axes OX' ^ or, OZ^ Fangle NOZ est de loo^ En les comparant au triangle sphérique NXX' ^ le côte 4 de ce triangle devient ioo<>^ d'où il suit que cos 4 = 0, sin 4 = i • ^^ P^^s 9 l'angle des deux plans NOZ , NOX^, ou NOZ et NOY^ est de ioo<> + flj donc, si dans les valeurs de a et de 6 , on supposé que cos S devienne — sin 6 , on tirera les valeurs suivantes

( i5:i ) de a\ bf' :

Gos {OZ f OX' ) = û* s=s — . sin ^ sîn if , cos (JOZ y or ) = ï5# t= — sin I cos 9 ;

quant à la valeur de c'' , îl est évident qu'on a :

cos ( OZ^ OZ' )=<?«' = cos I.

Il résulte de cette application de la trigonométrie sphérique à la transformation des coordonnées rectangulaires, que les neuf cosinus a, b, Çy a^ , b^j d y a'^ &'', c'^ ont pour valeurs des quantités exprimées en sinus et cosinus de trois angles indépendans. Les formules qui résultent de ces expressions , servent à démontrer plusieurs théorèmes importans de mécanique.

De la transformation des coordonnées obliques en d^ autres coordonnées obliques.

89. Le problème le plus général de la transformation de» coordonnées consiste à passer d'un système de coordonnées obliques à d'autres coordonnées obliques (*)•

i*) ^oy^JS une solution analytique de ce problème par M. Français, Correspondance sur TÉcoU polytechnique, tom< II, pag. 6.

( i35 ) Nommons a: , y , zles coordonnées obliques d!un point de Fespace ^ ^' , ^' , z^ les nouvelles coordonnées obliques qui ont même origine <jue les premières y et supposons que chaque axe des nouvelles coordonnées soit donné par les trois angles qu'il forme avec les plans des coordonnées primitives , en remarquant que de ces trois angles, deux seulement sont uécessaires. Ayant mené par Forigine des coordonnées, trois axes auxiliaires perpendiculaires aux plans primitifs des ocj- , des œz , des jz , désignons ces axes par les trois lettres Z , JT^ -X. Les angles que les axes auxiliaires et les axes des nouvelles coordonnées font entre eux , sont connus , puisqu'ils sont les complémens de ceux que ces derniers axes font avec les plans des coordonnées primitives.

Supposons que les cosinus de ces angles soient représentés par les neuf letliTS a, a', c'^, è, 6', è'^ c, c^ d^y de sorte qu'on ait:

a= cos (jc', X), o'sr cos (x\ F), a//=: cos (a/, Z) , b = cos(y,X), *':^cos(y, F), M = cos(y,Z), csscos (r', X), c'5=cos {z^y T), tf//=r cos {z'^Z).

La droite menée par l'origine des coordonnées a un point déterminé de l'espace , et les trois coordonnées primitives ^9/9 ;: de ce point

forment un quadrilatère (^72) (art. 79) : çetlci tnéme droite et les trois nouvelles coordonnées x', jf', 2' forment un second quadrilatère (icy^Q. Ces deux quadrilatères (^^), Ça:^yz^)\ qui ont un côté commun, étant projettes ( art. 60 ) sur Fun quelconque des trois axes auxiliaires Z , K, -ï, leurs projections seront égales. Or, la projection des trois coordonnées ^ , / , « sur Tun de ces axes se réduit toujours à la projection de rordonnéc qui n'est pas dans le plan perpendiculaire à cet axe ; d'où il suit que les projections du quadrilalèra (0:73), sur les axes auxiliaires Z, JT, JT, se réduisent aux projections des côtés « , ^^ «sç de ce quadrilatère. Les projections de Ces côtçs ont (art. 61 ) pour expressions :

rcos(z,^), J^ços(j,y), xcos(:r,X);

donc, en égalant les projections des deux quadrilatères ( acj'z ) , ( j^y'z' ) sur chacun des axes Z , JK, Xj on aura les trois équations suivantes :

JT cos ( a; , X ) p= ax' -f iy' -f. ^z'^ >cos(y, r ) = £i'j/ 4. iy + c:'*% . .

g cos ( z , Z ) = a^a/ -}- b^ + €iz\

Lorsque les axes primitifs des ar, des^, des % i^ont perpendiculaires entre eux, ils se confondent avec les axes auxiliaires .^ ^ 1^ Z , de

( i55 ) sorte qu'on a !

CQS (4P , X) ==r I , COS ( «, I^) =r I , COS («^ ^ ) =: 1 1^

et les trois équations précédentes ne diflercnt pas des équations de l'art. 79.

90. Dans le cas général » les axes primi^ tifs sont déterminés par les trois constantes cos ( jc , X) , cos (jr, y) , 00» (ZjZ)j qui sont égales aux trois sinus : sin(jt:^^z), sin(^|ars), sin {Zyocjr). Des neuf constantes a, è, c, a', etc. , relatives au second système de coordonnées oblio» ques, six seulement sont nécessaires , et, par les formules de la trigonométrie sphérique , on établirait des relations entre les lignes trigono«* métriques des angles qui déterminent le premier système des coordonnées obliques et les neuf cosinus relatifs au second système; au moyeu de ces relations , les valeurs des lignes trigo*^ nométriques relatives aux deux systèmes d'axes, $e déduiraient les unes des auties. Il suffira, d'ajouter aux équations (-4);, (B)^ (^) > {^) ( art. 45 -^ 4? ) > celles qui déterminent les trois arcs de grands cercles , menés des trois, sommets d'un triangle sphérique ,. perpendîcu^ lairement aux côtés opposés à ces sommets.

I^onunaat 4 , 18 , ^ les tf ois grçs respectivement

perpendiculaires aux côtés a , b^ c du triangle sphérique ABC (fig. 5, PL i^^.) (art. 43 ) , on a Ibs trois équations :

sin a =: sin 3 sîn C = sîn JS sin f ^ sin i8 = sin c sin ^ =s sin C sin a, sin y =: sina sin j? s=: sin ^ sin b.

Ces arcs •(*) <* , , > mesurent les angles cpe les rayons de la sphère , menés par les points A^By C.(fig, 5jPL i'*^.), font avec les plans des côtés aybj c du triangle sphérique A ^ B , C.

(*) Nommantyj g^ hj h les arêtes et les diagonales d'un parallëlipipède, qui concourent vers un même point ^ on a l'équation suivante :

«a' {A 8h ) siu> (s y A ) «in' {h.fg) + aco8(/,^> ——-—-— —

Cette expression (y, 6' ) ou (A,y^), conforme à la no* Vition de M. Français , signifie : angle dçs arêtes y et g ; angle de la diagonale k et du plan qui passe par les arêtes

/etér.

On obtiendrait d^autres relations , en considérant les pa-

rallélipipèdes formés sur des droites perpendiculaires aux

plans qa^on mènerait par les droites/*, gy hy k prises deux

^ deux.