CHAPITRE IL

Des Surfaces dont F équation est algé-hrique^ et principalement des Surf aces du second degré.

gi. On a vu (art. 4) quune surface est représenlée par une seule équation entre les trois coordonnées variables d'un point de celte surface. Réciproquement, toute équation entre trois variables représente , en général , une surface dont chaque point a ces variables pour coordonnées. Si cette équation peut être ramenée par des transformations , à ne contenir que des termes de la forme Aa^f^z"" ^ dans lesquels les exposans l^ m, n des co ordonnées a: ^ y ^ z soient des nombres donnés entiers et positifs , et ^ un coefficient déterminé y on dit alors qu'elle est algébrique.^

92 . Etant donnée V équation algébrique d'une surface , on propose de reconnaître si elle a un centre ? si elle a des plans diamétrau<c ?

On appelle centre d'une surface, un point tel que toutes les cordes de la sur&ce , qui passent par ce point, sont divisées en deux parties égales. Lorsqu'une droite coupe une surface eu deux points , la partie de cette droite comprise entre les deux points d'intersection , est une corde de la surface.

Si la surface proposée a un centre , concevons qu'elle soit rapportée à trois axes passant par co centre. Une droite quelconque menée par l'orir Çine des coordonnées , sera un diamètre , et coupera la surface en deux points. Les coordonuées du premier point étant ^ , ^ , ^ , celles 4u second seront — x, ~ y , — jb , c'est-à-dire que l'équation ^uac^y^zàe la surface aura lieu , soit qu'on prenne les variables positivement ou négativement. Pour qu'elle satisfasse à cetto conditiou , il faut que la dimension de chaque terme, c'est-à-dire la somme des exposans des trois variables dans ces termes , soit de même rang ( pq^ir ou impair) que le degré de l'équa-. Ûon , 4e mauière que dans une équation de degré pair, la dimension de chaque terme soit paire „ et que dans une équation de degrç impair , tous les terzues soient de dimension impaire. Ainsi y( r, ^, r) = o étant l'équation algébrique 4'ane surface rapportée à trois plans quelconques^

( ^59 ) on fera , daniS celle équation :

Substituant ces nouvelles valeurs de r^ s^t^ pn aura (art. 76) en a?, ^, js, Téqualion de la surface rapportée à trois nouveaux plans parallèles aux premiers » et passant par le point qu'on suppose être le centre de la surface. Tous les ternies de cette équation seront , par hypothèse , de la forme Aoc^j^z'\ Si, par des valeurs particulières et réelles assignées aux trois coustantes a , ^ , c , on peut faire disparaître tous les termes dans lesquelles la somme /+m+/i des çxposans des trois coordonnées açyy^z sera Sun autre rang {pair ou impair) que le degré de l'équation /(ry Sf t):= o , la surface proposée aura \Ln centre, et un nombre infini de diamètres.

9S. Des Plans diamétraux. On appelle plan diamétral d'une surface , celui qui divise çn parties égales un système de cordes parai* lèles entre elles. On dît que trois plans diamétraux §oi^t conjugués entre euoç ^ lorsque Tun çle ces plans coupe en parties égales les cordes de la surface parallèles h la droite d'intersection des deux autres plans.

Lorsqu'une surface a un centre et des plana diamétraux , on distingue le diamètre parallèfe

aux cordes que ce plan divise en parties égales ^ en le nommant diamètre conjugué au plan.

Réciproquement le plan diamétral conjugué à un diamètre , divise en parties égales les cordes de la surface parallèles à ce diamètre (*).

Lorsque la surface dont l'équation algébrique est donnée , aun plan diamétral, on peut supposer, i®. qu'elle soit rapportée à ce plan comme Tun des trois plans des coordonnées , ou autrement , que ce plan diamétral contienne deux des trois axes auxquels la surface est rapportée , par exemple , les axes des ce et des y j 2®. que le troisième axe, ou l'axe des z soit conjugué au plan diamétral. Cette hypothèse admise, lexposant de js dans chaque terme doit être un nombre pair , puisque le plan des ocy divise en parties égales toutes les cordes de la surface parallèles à l'axe des z.

94. Soîty(r, ^, ^) l'équation algébrique de la surface rapportée à trois axes quelconques obliques ou rectangulaires. On rapportera la surface à trois nouveaux axes. Les constantes qui déterminent les nouveaux axes sont au

(*) Voyez la Correspondance sur i^Ëcole polytechni^nCi^ t#n). a , pag. 5. ^ Article de M. Binet. J

lion^iYi de neuf; de ces neuf constantes , sept donnent hi position de la nouvelle origine des coordonnées ^ de l'un des nouveaux axes , par exemple de Taxe des a: , et du plan qui contient les deux autres axes des y et des ;;.

Lorsque , par des valeurs particulières et réelles assignées aux se|)t constantes, on peut faire disparaître les ternies oii les exposans de la coordonnée parallèle à l'axe des ce , sont des nombres impairs, la surface proposée a pour plan diamétral , le plan des œy^ Les équations qu'on obtient en égalant ci zéro les coefficiens de ces termes, contiennent les sept constantes, et servent à les déterminer. Par l'élimination , on obtiendra d'autres équations telles que chacune d'elles ne contiendra plus quWe seu]e constante qui sera l'indéterminée. Résolvant cette équation , en considérant la constante Comme Tinconnue, le nombre des racines réelles de cette équation déterminera le nombre des plans diamétraux de la surface.

Si, par des valeurs particulières des neuf constantes qui déterminent les trois nouveaux axes , on parvient à une équation entre les nouvelles coordonnées a: , ^ , x , telle que lek exposans de ces coordonnées soient dans tous les termes de l'équation , des nombres pairs ,

la surface a#àù moins trbis plans diamctraux conjugués (art. gS).

En prenant pour exemple la surface dont Téquation algébrique el^t du second degré ^ on y appliquera la méthode précédente, pour déterminer le centre et les plans diamétraux die cette surface;