S II
Des surfaces du second degré.
Définition.
95 . Toutes les surfaces du secoûd degré sont représentées par l'équation générale du second degré entre trois variables :
t\ u^ i^ éiaut les coordonnées d'un point de * la surface , rapporté à trois plans rectangulaires.
La propriété caractéristique de ces surfaces consiste en ce que chacune délies ne peut être coupée par une droite qu'en deux points. Pour le démontrer, menons par un point (it', w'j f^') de la surface du second degré , une droite qui ,
(«43 3 prolongée inclcfîniment , coupe la surface eîi un autre poiot , et cherchons les coordonnées de ce point. Soient :
les éqviations de la sécante.
Mettant dans Féquation (i) , à la place dé f , M , i^ , les coordonnées ^\ m', f^' du point par lequel on mené la sécante , elle deviendra :
+ aBuV+3uBV/'+ajB''/'tt'4-âC<'+2C'«'4-2CV=*ri et en la retranchant de Téqualion (i) , on a :
Désignant par les lettres ^, w, ^ les coordonnées du second point où la sécante coupe la surface , les équations (2) et (5) de celte sécante donnent :
tt» — «'» = (« + tt') (w— a') = m (« + w') (f'— / )^ uç — w V si= ( h' -f-'^^O C^— *' ) »
Il — «' =m((' — /).
Substituant ces valeurs dans l'équation (i)^ et divisant tous les termes par f — y^^ on a:
+aB (u'+mi^ ) + a -B^ ( r+ /f' ) +aB^ ( lu'+ mt—hw'+ bn»
Les équations (2) ^ (5) , (5) , qui contiennent les coordonnées tj u, ç^ étant linéaires, la droite menée par le premier point (^^ u^j ^ } ne peut couper la surface qu'en un second point ; d'où it suit qiien général une droite ne peut rencontrer une surface du second degré qu'en deuoc points*
De la Tangente et du Plan tangent d*une sur/ace du second degré.
96^ Une droite sécante devient tangente , lorsque les deux points oii elle coupe la surface se réunissent en un seul. Les équations (2) , (5) , (5) de la sécante deviennent donc celles d'une tangente , lorsqu'on suppose dans l'équa^ tion (5) (art. 96 ) :
tz=zt'j U:s=:u'f 9:=:i/f
et on a pour les équations de la tangente en un point (/', u', i^') :
(2) t — t'^Hy^v'), (3) II — tt'=t:m(v — F'),
les constantes / 6t m étant liées entre elles par l'équation : ,
(6) ^ou en ordonnant par rapport a / et a m :
t {At^ + Biiu' + jBV + C ) N -^m^BHf ^A'u' +Bi^' +(?) (=50* •f B't' + Jîa' 4. ^V + a» )
Le plan qui touche la surface au point (/', li', p') coniïejit (Géométrie descriptive^ S uppL^ art. 24) toutes les tangentes à la surface^ qu'on peut mener par ce point ,• d'où il suit que l'équa^ tîon du plan tangent . doit être indépendante des constantes / et m qui déterminent l'une de ces tangentes j donc , si l'on substitue dans l'équation (6) , pour / et m , les valeurs
— / ■>. ' 7^ tirées des équations (2)
•I ( 3 ) , on a :
it^t'){At' J^ Bill/ 4. B'/ + C ) + («—«') (-B«^f'+ ^V + Bit' + O -h i^ — ^){B't' J^Bu' + ^V+ Cl)
Réduisant au moyen de l'équation (i)(^vl.^^)^ l'équation du plan tangent devient :
( i46 ) et on a de plus entre les coordonnées ^, u\ v^ du point de contact , l'équation :
Af* + A'i/^ + . ^V^ (8) { +2Bu'v' + a B'v'tf + a. BUfi/ ) = o»
De la Division des surfaces du second degré
en deux classes.
97. Les surfaces du second degré se divisent en deux classes , les unes qui ont un centre , les autres qui en sont dépourvues , ou plutôt dont le centre est à l'infini. Pour le démontrer , supposons qu'elles aient un centre , et que les coordonnées de ce centre soient « , jS , 7. En transportant l'orîgîne des coordonnées au point * ♦ i^ > > > et rapportant la surface à trois nouveaux plans parallèles aux premiers , on a (art. 76) : *
Substituant ces valeurs dans l'équation (i) ( art. 95 ) , elle devient :
Ax^-{'Ay-{-Anjs^+2,Byz+SLB'x£^2Bffxy ^:lx {Am+B'f^+B'y + C) -h s^y (5"* + A'^ ^ By +C)
+ ^ «» 4. A'^"^ 4- A^y* + 2Bfiy + 2B*ay+ xB^^itfi
+ a C« + a jB'/3 + a C V — i5^
On rèmarijueta i<*. que les cJoefïîciëns âen termes à dei^x dimensions sont les mêmes danal Cette équation (a) et dïms Féqttation (i) (art. gS) j 3<*, que le terme Constant de lequation (a) est composé des termes de l'équation (i) (art. gS)^ dans lesquels on chatigerait r , zi , f>, eii ^ , ^ , 7^4
Pour que Téquation (2) ne contienne que dies termes dont la somme des exposans soit paire, il faut que les coefEciens de x^ j-^ :t soient nuls ^ ou qu^on ait :
(3) Act + Bfffi + B'y + C=o^
(4) B''U+A'li + By+at:=,0, l
(5) B'a+ Biè + A^y + Qf =x= o (*).
Nommant — jBfle terme constant de Téqna* lion (2) y elle se réduit à :
Ax^+ AY + A^z''+ aSyz + s.B^xé + ± B^xy = H. (E%
Cette équation (£) sera satisfaite en prenant œ ^ j^ z positivement ou négativement^ ce qui prouve ( art. 92 ) que la surface à laquelle cette équation appartient , a un centre dont les coor-« données « , , 7^ sont déterminées par les équa^ lions (S)^ (4)» (5). Si la constante ^ est nulle 5
iMh
(*) En différenliant Téquation (x) (art. 96) succcssi-^ irement par rapport a ^^ z/ , et t^, on a trois équations, dan» lesquelles mettant pour /, « , p , les coordonnées « , /8, y^ on obtient les Uois équation» (3) ^ (4) f (5) (art. 9.1)4
( M8 ) Toriginie des coordonnées est un point dé )â sur£ice , et ce point en est le centre.
Les équations (3), (4) % (S) linéaires en c^ /3 , ^ ^ donnent , pour ces quantités , les valeurs suivantes :
^^ AB*+A'B'^+AffB*f^^'-^AAa—:iBB'Bff ^' ^ C{BB'^AffBf)+C{AA'''^B'*)+Cff(B'B»—ABJ
^~ AB''+^A'B'*+AfBi*^AAA»—2BB'B'' ' CiBBf'r^AB'y^C'iB'Bi'—AB)+C»iAA'-'B''^^ .
^~ AB-+AB'-+AffB''-'^AAAff'^zBB'Bf
Supposons maintenant que les numérateurs de ces trois fractions soient des quantités finies , et que le dénominateur commun soit nui y ou qu^on ait :
AB^ + A'B'* + A^Bi* -^ A A' A* — n BB'B» =s: d »
les coordonnées m. y fi ^ y du centre de la ^r&cé seront infinies ; d'où il suit qu'il y a deux basses dé surfaces du second degré , les &nes qui ont un centre » les autres qui en sont dépourvues. Lorsque des trois fractions, valeurs de «, JS, 7, une ou deux seulement se réduisent
à — ) l'équation proposée appartient à une surface du second degré , qui a pour centres , tous les points d'un plan ou d'une ligne droite. Nous examinerons ce cas particulier.
I>es Surfaces du second degré qui ont un .
centre.
g8. Toutes les surfaces du second degré qui ont un centre ^ sont comprises dans Tcqua-* lion (E) (art. 97) :
le centre étant l'origine des coordonnées rec-s tangul aires -se 1 J" , 2.
Concevons par un point ( j:', ^•', x' ) de cette surface un plan tangent ; on aura l'équation de ce plaui en mettant dans l'équation (7) (art. 96), au Ijeu de ^, 11, i^, les lettres a?, j-, z , et à la place de (', zi', f^', les lettres ^'5 y 9 ^'- Changeant Kealï^ et en suppD3ai^t iiuUçs les çonstajnies C, C'> C" , l'cquatip» (7) ( art. 96 ) se réduit à celle-ci :
%id% trois coordonnées a:', ^', z' du point de contact sont liées entre elles par l'équation ;
' J^^ pârpendic^ulai» ^u pla^ tangent ^ menée
par le poîut de contact , est la droite qu'on ûppelle la normale. Faisant , pour abréger :
jix' + BHy' + B'z' = L , B^x'+ Ay ^Bt' c=M,r .
B'x' + Bf + A'fz' —N\
Us équations de la normale sont (art. 26) :
JVC*— a/) =i («—«')# iV(/— y')=Jlf(r— ^)-
La parallèle à cette normale , menée par 1^ centre de la surface , a pour équations ;
Des Sommets de là' surface du second degré.
99. Le plan tangent à la surface du second degré détermine la direction de chacun de ses élémens. La normale élevée par le point de contact , contient les centres d'une infinité de sphères , et parmi ces sphères , il y en a deux dont le centre est déterminé par les rencontres 4e, deux normales consécutives , et qu'on nomme les sphères asculatrices de la surface. Jj^s rayons de ces sphères déterminent la couxy ]>ure de la surface du second degré ^ la re^ cherche, de ces rayons est une application du calcul dtfïerentieK Eu n'employant que les
méthodes algébriqt^e^ 1^ oâ pwt iirait^r una
antre question plus simple , et qui néanmoins jette un grand jour sur la théorie des surfaces du second degré. Toutes les normales à la surface d une sphère passent par le centre de cette sphère ; la surface du second degré ayant un centre , on demande s'il existe une ou plusieurs normales qui passent par ce centre?
En supposant que cette normale existe , le point de la surface d'où part la normale, est un sommet de cette surface.
Les sommets d une surface du second degré qui a un centre , sont des points pour les^quels les plans tangens à la surface , menés par ces points , sont perpendiculaires aux dianiètrès qui passent par ces mêmes points. Pour les déterminer , concevons une sphère concentrique à la surface du second degré , et tangente à cette surface en un point (o:',^, z^)^ If ommant R le rayon de la sphère , réquatioa du plan qui la touche au point (^',j^', z^} est i,
(i) xx" +j;x'+^^' — ^^r
et les trois coordonnées, or', j-', z^ du point de contact y sont liés entre elles par Téquation :
j/> ^y^ + x'» c= jR' r or , ce plan tangent ^ d'après la définition de^
sommets^ ne diflere pas du plan qui touche la surface du second degré au même point (a:^,y, z'); donc lequation (i), et l'équation (F) (art. 98) sont identiques ; les con^parant terma à teirrae^ on a les trois équations suivantes :
a/ ^x' + gy 4- gy
y B«x' + A'f + Bz'
Le diamètre qui passe par le sommet a pQur équations :
pu en nommant x et /n les tangentes — r > "^ '
ces tangentes x et /tx déterminent la direction de. la normale qui passe par un sommet, et les trois équations précédentes deviennent :
B» (^BfiK+ A'fc 4. i? ) — /f^ = o, \ (G)
Eliminant successivement de ces trois équa*»
tÎQns deux des trois quantités A , /:x , T7"> ^'^
p6sûnt celte surface rapportée par âés coordonnées obliques à trois' plans diamétraux ^ on demande si ces trois plans peui^cnt être con^ jjugués entre eusc ( art, qS ) ?
Pour résoudre celte question > on se servira des formulés (art. 80) qui servent à passer d un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques.
Reprenons Téquation (E) (art. 97)»
Xjjr^ z étant les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface. Nommant oc^y /', zf fés coordonnées obliques de ce point » on a :
lEt des neuf constantes^ €ï , b^ c, «'^ è', c', a'', y\ cf^ , six seulement sont nécessaires , puisqu'on a (art. i4) les trois équations de condition :
(B^^a'^-f'a^'ssi, i!r*+y«+M»î-£:i, e*+c'*4.e^»=Xi.
Substituant les valeurs de a?, j-,.j5 dans l'équation ( -E ) , elle se transforme *èn celle-ci :
Or ^ pour que la surface soit rapportée à trois plans diamétraux conjugués entre eux , il faut
Lorsque les trois racines de cette équation (/) seront réelles (*), en les multipliant par^, ott aura trois valeurs réelles de /î% et si]^ valeurs
de iyTK Les quantités A, jix, qui déterminent la direction des normales qui passent par les six sommets , étant données par une équation du troisième degré , il suit que les six sommets sont placés sur trois normales ^ et que chacune de ces normales contient les deux sommets correspondans à la distance zt V/t* de ces sommets au centre de la surface.
L'existence des sommets d'une surface du second degré dépend don^ du signe àts racines réelles de l'équation (/)• 'Nous démontrerons^ dans les articles suivans , que les trois valeurs de A et /x , données par les équations {H) et {K) de l'article précédent , sont réelles. A ces valeurs réelles correspondent, en général, trois
valeurs réelles et finies de ^ ou — •> qui sont
données par les équations ( G) de cet article > linéaires par rapport a s-, mais lorsque Tune des
(*) On obtient encore cetie équation (/) par d'autres considérations; voyez les Annales des mathématiques , t. IT^ pag. 33 ; la Correspondance sur PËcole PolyUchniijtte ^ ion. II , pag. 3^4 ) article de M. Petit.
( ï55 ) Taleurs de s sera négative, la distance de deux sommets au centre de la surface sera imaginaire.
Des Plans diamétraux de la surface du second
degré.
loi. Quels que soient les trois plans rectangulaires auxquels on rapporte la surface da second degré , cette surface a trois plans dia^ métraux parallèles aux plans des coordonnées. En effet , reprenons l'équation générale (i) de l'article gS , et résolvons -la successivement par rapport à t ^ à 2/ , et à i^ , on aura :
^;^ (.Bu + B't + cn ^^/y^
ÎT, ï/, y^ représentant , pour abréger , les quantités sous le radical.
La valeur de t est composée de deux parties r la première est l'ordonnée t^ d'un plan qui a pour équation :
or , il faut augmenter et diminuer l'ordounée
1^ de ce plan, delà même quantité ^l^^jpont avoir les deux coordonnées t de la surface qui
Lorsque !«•- /^:^plan divise donc
seront vf ^ . ^^Jates les corde» pa-
de d" ^ ^^'^!j.^^^ ^^ même raison , les
min ,^^ J^^t(fo^ divisent en parties égales,
pa» "''Jji^^^fjlâ^^ à M et à f', sont :
^ rtc^^^ surface a un centre , un plan dia- ^fpBSse ncçessairemcnt par cç cçntre. D'oii ^ '^qae le point d'intersection des trois plans j.^^'traux représentes par les équations (i), /)^(5) de cet article , est le centre de la snrfg^ce du se«ond degré j on voit , en effet , que ^^5 trois équations ne difierent pas des équations (3), (4)r (5) de l'article. 97 , dans lesquelles, au lieu de «, j8, 7, coordoinnées da centre , on. mettrait t ^ « , ♦^ t coordonnées du. point d'intersection des trois plaQS dianiétraux,
102. Le système de plans rectangulaire^ auxquels on a rapporté la surface dû second degré , détermine les trois plans diamétraux auxquels ils sont parallèles ; d'oi^ il suit que. la surface du second degré a une infinité de. plans diamétraux, et que tout pkn qui passf.
I^ar sou centre , est un pls^n diamétral. En sup*
posant cette surface rapportée |)ar dès côor* 'données obliques à trois' plans diamétraux , on demande si ces trois plans peut^ent être con^ jjugués entre eusc ( art, 95 ) ?
Pour résoudre celte question j on se servira «es formulés (art. 80) qui servent à passer d'un système dé coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques.
Reprenons Téquation (E) (art. 97)»
Xjfy z étant les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface. Nommant ac^, y^ zf les coordonnées obliques de ce point , ou a :
lEt des neuf constantes* a , i, c, «'> &', c',
ïï'^, 6^', c''^ six seulement sont nécessaires ,
puisqu'on a (art. i4) ^^ ^^^^ équations de condition :
u-'+a'^-^i'aV^^x^ *»-f.y*+M*îSs:i, «r»+c'»4.<?^»=ii. Substituant les valeurs de x^y-yZ dans l'équation ( iS ) , elle se transforme en celle-ci :
Or, pour que la surface soit rapportée à trois plans diamétraux conjugués entre eux , il faut
divise en parties égales, coupe la surface en un point x' , j"' , a', ou — a:' , — y^^ — z\ pour lequel on a :
d'où l'on tire :
Substituant ces yaleurs dans Téquation (6), elle devient :
{x{Am' -J^ SY + B'x'^ \ + y iBftx'+ Ay + Bz' ) 1= o.
+ z ( B'x'+ By + A'fz') 3
Le plan représenté par cette équation (7) est
évidemment parallèle au plan qui touche la
surface au point ac^y j^^ tf ^ et qui a pour équa* {
tiou (art. 98) :
« ( ^«' + Bnf^ B'z' ) \ + jr ( JS/V4. Ay+ Bt')\=i H. {F)
