r ( JB'«'+ By + A^z
Le plan diamétral représenté par l'équation (6) coupe la sur£aice du second degré suivant une courbe : supposons que , par un point a:', ^', z' de cette courbe , on ait mené le plan tangent représenté par l'équation (F) , on aura , pour ce
point :
!x'{Am + Bilfi + B') \
Cette équation (&) exprime que, potiir tous Ici potufts de lu section diamétrale » le plan tangent est parallèle à la droite x:=:iLZ ^ j^^fiz ; car, pour satisÊiire à celte condttion , il faut trans'porter h plan tangent, parallèlemenl à luimême, jusqu'à l'origine des coordonnées, et écrire qu'étant dans cette position , il contient la droite qui a pour équations : i
Mettant dans Féquation (7) «« pour x, et lia pour j^, die devient :
qui est identique avec l'équation (6' ).
104* B ^^^» ^^ Tarticle précédent, que trois plans diamétraux conjugués d'une surface du second degré, sont parallèles aux trois plans laftgentf menés par les extrémités des diamètres, intersections des pkâs diamétram conjugués* On a vu (art. loa) cfue des ' dix coâ&tûntes xelatives à un système de plans diamétraux conjugués, trois sont arbrttrflnres : on peut dé* terminer ces constantes, en se donnant à volonté tin plan diamétral et un diamètre contenu dans ce plan diamétral. En effet , des deux plans
idîamt^traux conjugués à celui qui est donné, lun est parallèle au plan qui touche la surface à l'extrémité du diamètre donné ; l'autre passe par ce diainètre , et par le diamètre parallèle aux cordes que le plan diamétral donné divise en parties égales.
io5. De tous les systèmes en nombre infini de plans diamétraux conjugués^ // n^ en 4Bi qu'un seul pour lequel ces plans soient perpendiculaires entre eux. On nomme les droites intersections de ces plans axes principaux de la surface. Ce^ axes sont dirigés suivant les normales qui passent par les sommets de la surface. En effet, on a démontré ( art. 98 et 99 ) que le plan tangent a^ l'extrémité de la normale représentée par les équations x =:xz , y:=sfjLZ, avait pour équation :
Il résulte de l'article io3 que ce plan tangent est parallèle au plan diamétral qui divise * en parties égales les cordes parallèles à la normale ; donc les équations de condition (g) {art. 99) qui expriment que le diamètre représenté par les équations xz=:xzy ^ = ^s,
est perpendiculaire au plan tangent , expriment en même tems que ce diamètre est perpendiculaire au plan diamétral qui lui est conjugué. Or , les valeurs de x et ^ qui. déterminent les directions de ce diamètre , sont données par les équations du troisième degré (H) et (JST) (art. 99)9 dont chacune a au moins une racine réelle ; donc la surface du second degré a au moins un diamètre perpendiculaire au plan ^ diamétral qui lui est conjugué. Prenant ce diamètre pour l'axe des oc' , rapportons la surface à trois axes rectangulaires des x\ des y^y des z^ , ces deux derniers axes étant pris arbitrairement dans le plan des j^'5' perpendiculaire à Taxe des œ^.
L'équation de la surface , dans cette hypothèse , sera nécessairement de la forme :
Transformant les coordonnées rectangulaires ^■', z\ en d'autres coordonnées rectangulaires ^, , j5/au moyen des formules connues ( Géom. cinaljt, de Biot, 5«. édit, , pag. 92 ) :
y =r^, COS a — • ^/ sîn « , z' ==JK/ ^^^ et, -^ Zi COS a ,
on a , pour le coefficient de jV ;
4 (JV'sin ttCos«— iV«in« cos#i)+'^'^(co6'<»— sîn'«),
( i64 ) « étant l'angle (j^, /) des axes des j-^ et des y.
Égalant ce coefficient à zéro , on a , poiir déterminer l'angle ^ , Téquation suivante :
asîn«c05«(l\r' — IV) 4-JV^ (cos'a— • sin* et ) c=o^ Oti
OU
taiiga« = ~— j^t
valeur qui est toujours réelle, puisqu'elle est donnée par une équation du premier degré.
D'oii il suit que les trois axes des a^ , des j-, , des J5, sont réels, et l'équation de la surface du second degré, rapportée à ces trois axes, est nécessairement de la forme :
P«' + Fy* + P^/«* = t.
Ayant démontré que les trois axcis principaux de la surface du second degré sont réels , et les quantités X , /u qui déterminent la direction de ces axes , étant données par les équations {H^ , (jK) de l'article io5, on doit conclure que les trois racines de chacune de ces équa<^ tions sont réelles.
io6. Les trois axes principaux coupent la surface en six points^ qui sont les sommets
de cette surface. Les parties de ces axes , comprises entre les sommets opposés sont les diamètres principaux de la surface. L'une quelconque des trois équations (6) (art. 99) donne les valeurs des carrés des demi-diamètres principaux qui correspondent aux valeurs réelles de x et /tA. Pfommant €7 , & , c ces demidiamètres , les coefficiens P, JP', P^^ de lequalion /lc*+ P'j^*-+-P"z* =1 1 (art, io5) sont res-
. , I I t pectivement égaux aux quantités -^^-t7--7-
De la Relation entre Iss trois diamètres principauac rectangulaires d'une surface du second degré f et les trois diamètres conjugués de cette surface , déterminés par les angles que ces diamètres font entre eux^
107. On a vu (art. 102) que la surface du second degré étant rapportée à trois diamètres çonjugiués , son équation était de la forme :
Tîommant 3/*, 2g ^ 2 h les longueurs des diamètres conjugués , parallèles aux axes obliques des ce , des j*, des z , cette équation devient :
Concevons une sphère du rayon R , concentrique à la sijrface du second degré , et tangente à cette surface en un point (x', y , js'). La distance du centre de la sphère au point de contact , est (art, 62) :
d'oii il suit que Téquation de la sphère rapportée aux axes obliques , est :
Par le point (a:', j-', z') commun à la sphère et à la surface du second degré , menons des plans tangens à ces surfaces, et les équations de ces plans seront (art. 98) :
'cos(A g) + z^cosig,h)]\ = R\ { z^ +ycos (^, K) + ^'cos {hj)} )
(4) g'h-xx' + hif'yf +f^g'zi' •^f'g'h^.
Supposons maintenant que le point (oc!\y^ z^) soît Textrémité de Fun des trois diamètres principaux: rectangulaires; les plans tangens menés par ce point coincideroat , et les équations (3) , • (4) seront identiques. Egalant les coefficiens de a: j ^% J3 dans ces deux équations ^ on aura :
( '67) y' -^ x'cos U, g) -^ z' cos {g, h) y
Ji' ~ g**
x'+ycos {g,h')+x' cos (A,/) «*
Les équations du diamètre principal qui pass* par le point {oc'^j'^ z') étant;
z zf ^ z z' ^
soient — ^ = <^ , -~- = 4 , et les trois équations
précédentes deviendront :
(5) /Mv + 4cos(/,^) + cos(A,y)î =-R*^,
C6) ^M^+^^««(/'^) + ^«*(^»^)}=-R'^' (7) *M i+4cos(^,A)+çcos(A,/)}=/l»;
d'où Ton tirera les valeurs de /î*, <p et 4 > quantités qui déterminent la longueur des trois diamètres principaux rectangulaires ^ et la di* i*ection de ces diamètres par rapport aux trois diamètres conjugués /'^ g^, h.
Eliminant <^ et 4 > 011 obtient l'équation :
: /i^^-Bn/' + ^ + ^o
Cette équation a pour racines les carrés des
demi-diamètres principaux recrangulaires ; en gommant a^b^c ces demi-diamètres , «elle sera équivalente à ceUe«ci :
Coi^cevons maintenant deux paraliélipipèdes construits l'un sur les trois demi-diamètres principaux a^ b, c^ l'autre sur les trois demidiamètres conjugués^, gjh; l'identité des équa* tions (8) , (9) établit les relations suivantes (*) entre ces diamètres :
lo. La somme des carrés dès trois diamètres principaux est égale à la somme des carres des trois autres diamètres quelconques conjugués entre eux^ '
a^. La somme des carrés des faces des deux paraliélipipèdes est constante -,
5^. Les volumes des deux paraliélipipèdes $ont égaux (art. 69).
Eliminant R'' et ^» ou /i^ et 4 » ^u moyen des équations (5) , (6) , (7) on parviendrait à une, équation du troisième degré , dont les racines seraient les valeurs de 4 ^^ <l6 ^«
m II » i
